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第30讲┃圆与圆的位置关系第30讲┃考点聚焦考点聚焦考点1圆和圆的位置关系外离⇔________外切⇔________相交⇔_____________内切⇔________设⊙O1，⊙O2的半径分别为R，r(Rr)，圆心之间的距离为d，那么⊙O1和⊙O2内含⇔________dR＋rd＝R＋rR－rdR＋rd＝R－rdR－r第30讲┃考点聚焦考点2相交两圆的性质性质(1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦(2)两圆相交时的图形是轴对称图形点拨解有关两圆相交问题时，常常要作出连心线，公共弦，或者连接交点与圆心，从而把两圆的半径，公共弦长的一半，圆心距等集中在同一个三角形中，利用三角形的知识加以解决第30讲┃考点聚焦考点3相切两圆的性质如果两圆相切，那么两圆的连心线经过________相切两圆的性质两圆相切时的图形是轴对称图形，通过两圆圆心的连线(连心线)是它的对称轴切点第30讲┃归类示例归类示例►类型之一圆和圆的位置关系的判别命题角度：1.根据两圆的公共点的个数确定；2.根据两圆的圆心距与半径的数量关系确定．[2012·上海]如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两圆的关系是()A．外离B．相切C．相交D．内含D[解析]∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，又∵6－2＝4，4＞3，∴这两个圆的位置关系是内含．►类型之二和相交两圆有关的计算第30讲┃归类示例命题角度：1.相交两圆的连心线与两圆的公共弦的关系；2.和勾股定理有关的计算．第30讲┃归类示例[2012·宜宾]如图30－1，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1＝2,⊙O2的半径r2＝2，过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D，连结CP、DP，过点Q任作一直线AB分别交⊙O1和⊙O2于点A、B，连结AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E.(1)求证：PAPB＝2；(2)若PQ＝2，试求∠E的度数.图30－1第30讲┃归类示例[解析](1)根据PC、PD分别是⊙O1和⊙O2的直径，证△APC∽△BPD，推出PAPB＝CPPD，代入求出即可；(2)求出cos∠CPQ＝PQPC＝12，求出∠CPQ＝60°，同理求出∠PDQ＝45°，由△PAB∽△PCD，推出∠PDB＝∠PCA，由∠PCA＋∠PCE＝180°得∠PDB＋∠PCE＝180°.再根据四边形的内角和为360°求出即可．第30讲┃归类示例解：(1)证明：∵CP是⊙O1的直径，PD是⊙O2的直径，∴∠CAP＝∠PBD＝90°.∵∠APC＝∠AQC，∠BPD＝∠BQD，又∵∠BQD＝∠AQC,∴∠APC＝∠BPD.∴△APC∽△BPD,∴PAPB＝CPPD＝2.第30讲┃归类示例(2)∵PQ＝2，在Rt△CPQ中，CP＝4,∴∠PCQ＝30°，∴∠CPQ＝60°.在Rt△DPQ中，PQ＝2，PD＝22，∴QD＝2，∴∠QPD＝45°，∴∠CPD＝105°.∵△APC∽△BPD,∴∠PDB＝∠ACP,∴∠PDB＋∠PCE＝∠ACP＋∠PCE＝180°，∴∠E＝360°－180°－105°＝75°.►类型之三和相切两圆有关的计算第30讲┃归类示例命题角度：1.相切两圆的性质；2.两圆相切的简单应用．第30讲┃归类示例[2013·扬州](1)计算：如图30－2①，直径为a的三等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，切点分别为A、B、C，求O1A的长(用含a的代数式表示)；①图30－2第30讲┃归类示例(2)探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图30－2②所示的方案一和如图30－2③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度hn和h′n(用含n、a的代数式表示)；(3)应用：现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米．用这样的集装箱装运长为5米，底面直径(横截面的外圆直径)为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用(2)中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？(3≈1.73)第30讲┃归类示例解：(1)∵⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，∴O1O2＝O2O3＝O1O3＝a.又∵O2A＝O3A，∴O1A⊥O2O3，∴O1A＝a2－14a2＝32a.(2)hn＝na，h′n＝32(n－1)a＋a.(3)方案二装运钢管最多．即按图③的方式排放钢管，放置根数最多．根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，…设钢管的放置层数为n，可得32(n－1)×0.1＋0.1≤3.1，解得n≤35.6.∵n为正整数，∴n＝35，钢管放置的最多根数为：31×18＋30×17＝1068(根)．