重庆大学2015概率论与数理统计试题及解答

《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）1．设事件BA,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(BPAP，则BA,至少有一个不发生的概率为__________.2．设随机变量X服从泊松分布，且)2(4)1(XPXP，则)3(XP______.3．设随机变量X在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2XY在区间)4,0(内的概率密度为)(yfY_________.4．设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为的指数分布，2)1(eXP，则_________，}1),{min(YXP=_________.5．设总体X的概率密度为其它,0,10,)1()(xxxf1.nXXX,,,21是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.解：1．3.0)(BABAP即)(25.0)()()()()()(3.0ABPABPBPABPAPBAPBAP所以1.0)(ABP9.0)(1)()(ABPABPBAP.2．eXPeeXPXPXP2)2(,)1()0()1(2由)2(4)1(XPXP知eee22即0122解得1，故161)3(eXP.3．设Y的分布函数为(),YFyX的分布函数为()XFx，密度为()Xfx则2()()()()()()YXXFyPYyPXyPyXyFyFy因为~(0,2)XU，所以()0XFy，即()()YXFyFy故1,04,14()()()20,.YYXyyfyFyfyy其它另解在(0,2)上函数2yx严格单调，反函数为()hyy所以1,04,14()()20,.YXyyfyfyy其它4．2(1)1(1)PXPXee，故2{min(,)1}1{min(,)1}PXYPXY1(1)(1)PXPY41e.5．似然函数为111(,,;)(1)(1)(,,)nnniniLxxxxx1lnln(1)lnniiLnx1lnln01niidLnxd解似然方程得的极大似然估计为1111lnniixn.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,ABC为三个事件，且,AB相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若()1PC，则AC与BC也独立.（B）若()1PC，则AC与B也独立.（C）若()0PC，则AC与B也独立.（D）若CB，则A与C也独立.（）2．设随机变量~(0,1),XNX的分布函数为()x，则(||2)PX的值为（A）2[1(2)].（B）2(2)1.（C）2(2).（D）12(2).（）3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（A）X与Y独立.（B）()DXYDXDY.（C）()DXYDXDY.（D）()DXYDXDY.（）4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183XYP若,XY独立，则,的值为（A）21,99.（A）12,99.（C）11,66（D）51,1818.（）5．设总体X的数学期望为12,,,,nXXX为来自X的样本，则下列结论中正确的是（A）1X是的无偏估计量.（B）1X是的极大似然估计量.（C）1X是的相合（一致）估计量.（D）1X不是的估计量.（）解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.事实上由图可见A与C不独立.2．~(0,1)XN所以(||2)1(||2)1(22)PXPXPX1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]应选（A）.3．由不相关的等价条件知应选（B）.4．若,XY独立则有(2,2)(2)(2)PXYPXPY1121()()()393929，19故应选（A）.SABC1231111169183112331112918YX5．1EX，所以1X是的无偏估计，应选（A）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A‘任取一产品，经检验认为是合格品’B‘任取一产品确是合格品’则（1）()()(|)()(|)PAPBPABPBPAB0.90.950.10.020.857.（2）()0.90.95(|)0.9977()0.857PABPBAPA.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为3323()()()0,1,2,3.55kkkPXkCk即01232754368125125125125XPX的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251,3.xxFxxxx263,55EX231835525DX.五、（10分）设二维随机变量(,)XY在区域{(,)|0,0,1}Dxyxyxy上服从均匀分布.求（1）(,)XY关于X的边缘概率密度；（2）ZXY的分布函数与概率密度.解：（1）(,)XY的概率密度为2,(,)(,)0,.xyDfxy其它22,01()(,)0,Xxxfxfxydy其它（2）利用公式()(,)Zfzfxzxdx其中2,01,01(,)0,xzxxfxzx其它2,01,1.0,xxz其它.当0z或1z时()0Zfz1D01zxyx+y=1x+y=zD101z时00()222zzZfzdxxz故Z的概率密度为2,01,()0,Zzzfz其它.Z的分布函数为200,00,0,()()2,01,01,1,1.1,1zzZZzzfzfydyydyzzzzz或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1,1.ZDzFzPZzPXYzdxdyzz20,0,,01,1,1.zzzz2,01,()()0,ZZzzfzFz其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从2(0,2)N分布.求（1）命中环形区域22{(,)|12}Dxyxy的概率；（2）命中点到目标中心距离22ZXY的数学期望.解：（1）{,)}(,)DPXYDfxydxdy22222880111248xyrDedxdyerdrd2221122888211()8rrredeee；（2）22222281()8xyEZEXYxyedxdy2222880001184rrrerdrderdr2228880021222rrrreedredr.七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）2~(,)XN，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x，样本方差20.16s.（1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设20:0.1H（显著性水平为0.05）.（附注）0.050.050.025(16)1.746,(15)1.753,(15)2.132,tttxzz=xxy0122220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.解：（1）的置信度为1下的置信区间为/2/2((1),(1))ssXtnXtnnn0.02510,0.4,16,0.05,(15)2.132Xsnt所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）20:0.1H的拒绝域为22(1)n.2215151.6240.1S，20.05(15)24.996因为220.052424.996(15)，所以接受0H.《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1）设事件A与B相互独立，事件B与C互不相容，事件A与C互不相容，且()()0.5PAPB，()0.2PC，则事件A、B、C中仅C发生或仅C不发生的概率为___________.（2）甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________.（3）设随机变量X的概率密度为2,01,()0,xxfx其它,现对X进行四次独立重复观察，用Y表示观察值不大于0.5的次数，则2EY___________.（4）设二维离散型随机变量(,)XY的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2XYPab若0.8EXY，则Cov(,)XY____________.（5）设1217,,,XXX是总体(,4)N的样本，2S是样本方差，若2()0.01PSa，则a____________.（注：20.01(17)33.4,20.005(17)35.7,20.01(16)32.0,20.005(16)34.2）解：（1）()()()PABCABCPABCPABC因为A与C不相容，B与C不相容，所以,ACBC，故ABCC同理ABCAB.()()()0.20.50.50.45PABCABCPCPAB.（2）设A‘四个球是同一颜色的’，1B‘四个球都是白球’，2B‘四个球都是黑球’则12ABB.所求概率为22212()()(|)()()()PABPBPBAPAPBPB22223322122222555533(),()100100CCCCPBPBCCCC所以21(|)2PBA.（3）~(4,),YBp其中10.522001(0.5)24pPXxdxx，113341,44444EYDY，2215()144EYDYEY.（4）(,)XY的分布为XY1200.40.10.510.20.30.50.60.4这是因为0.4ab，由0.8EXY得0.220.8b0.1,0.3ab0.620.41.4EX，0.5EY故cov(,)0.80.70.1XYEXYEXEY.（5）2216(){4}0.014SPSaPa即20.01(16)4a，亦即432a8a.二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设A、B、C为三个事件，()0PAB且(|)1PCAB，则有（A）()()()1.PCPAPB（B）()().PCPAB（C）()()()1.PCPAPB（D）()().PCPAB（）（2）设随机变量X的概率密度为2(2)41(),2xfxex且~(0,1)YaXbN，则在下列各组数中应取（A）1/