搜索
思维特训2)相似三角形的基本模型类型一平行线型如图9－S－1，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC，形象地说图①为“A”型，图②为“X”型，它们都是平行线型的基本图形．图9－S－1图9－S－21．如图9－S－2，在▱ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE交AC于点G，交BC于点F，则图中相似三角形(不含全等三角形)共有______对．2．如图已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.求证：OA2＝OE·OF.类型二相交线型常见的有如下三种情形：如图9－S－4①，已知∠1＝∠B，则由公共角∠A得△ADE∽△ABC.如图②，已知∠1＝∠B，则由公共角∠A得△ADE∽△ACB.如图③，已知∠B＝∠D，则由对顶角∠1＝∠2得△ADE∽△ABC.图9－S－43．如图在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且∠ABE＝∠ACD，BE，CD相交于点G.(1)求证：△AED∽△ABC；(2)如果BE平分∠ABC，求证：DE＝CE.4．如图9－S－6，小明画了一个锐角三角形ABC，并作出了它的两条高AD和BE，两条高相交于点P.小明说图形中共有两对相似三角形，他的说法正确吗？如果不正确，请给出正确答案．类型三母子型将图9－S－4②中的DE向下平移至点C，则得图9－S－7①，有△ACD∽△ABC，称之为“母子”型的基本图形．特别地，令∠ACB＝90°，CD为斜边上的高(如图②)，则有△ACD∽△ABC∽△CBD.图9－S－7图9－S－85．如图9－S－8，在△ABC中，P为AB上一点，要使△APC∽△ACB，还需具备的一个条件是________．6．如图9－S－9，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似？图9－S－9类型四旋转型将图9－S－1①中的△ADE绕点A旋转一定角度，得到图9－S－10，称之为旋转型的基本图形．图9－S－107．如图9－S－11，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°，连接BF.(1)求证：△CAE∽△CBF；(2)若BE＝1，AE＝2，求CE的长．图9－S－118．2017·阿坝州如图9－S－12，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，P为射线BD，CE的交点．(1)求证：BD＝CE；(2)若AB＝2，AD＝1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，求PB的长．图9－S－12类型五一线三等角型(1)三等角型相似三角形是以等腰三角形或等边三角形为背景的．图9－S－13(2)三直角型相似三角形是以正方形或矩形为背景的．图9－S－149．2017·宿迁如图9－S－15，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.图9－S－1510．在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，∠EDF＝∠B.(1)如图9－S－16①，求证：DE·CD＝DF·BE.(2)若D为BC的中点，如图②，连接EF.①求证：ED平分∠BEF；②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及AEAB的值．图9－S－1611．如图9－S－17，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P处，三角板绕点P旋转．(1)如图①，当三角板的一直角边和斜边分别与AB，AC交于点E，F时，连接EF，求证：△BPE∽△CFP.(2)操作：将三角板绕点P旋转到图②的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F，连接EF.①△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；②△BPE与△PFE相似吗？请说明理由．图9－S－17详解详析1．5[解析]本题图中有两组平行线，故存在平行线型的基本图形，把它们一一分离出来，如图①～④.又由于△ADE∽△BFE∽△CFD，故共有5对相似三角形．2．证明：∵EC∥AB，∴△OAB∽△OED，∠EDA＝∠DAB，∴OAOE＝OBOD.∵∠EDA＝∠ABF，∴∠DAB＝∠ABF，∴AD∥BC，∴△OBF∽△ODA，∴OBOD＝OFOA，∴OAOE＝OFOA，∴OA2＝OE·OF.3．证明：(1)∵∠ABE＝∠ACD，且∠A是公共角，∴△ABE∽△ACD，∴AEAD＝ABAC，即AEAB＝ADAC.又∵∠A是公共角，∴△AED∽△ABC.(2)∵∠ABE＝∠ACD，∠BGD＝∠CGE，∴△BGD∽△CGE，∴DGEG＝BGCG，即DGBG＝EGCG.又∵∠DGE＝∠BGC，∴△DGE∽△BGC，∴∠GDE＝∠GBC.∵BE平分∠ABC，∴∠GBC＝∠ABE.∵∠ABE＝∠ACD，∴∠GDE＝∠ACD，∴DE＝CE.4．[解析]根据相似三角形的判定，图中共有六对相似三角形：△CBE∽△CAD，△AEP∽△ADC，△BDP∽△BEC，△BDP∽△AEP，△BEC∽△AEP，△ADC∽△BDP，所以他的说法不正确．解：小明的说法不正确．图中共有六对相似三角形，它们分别是：△CBE∽△CAD，△AEP∽△ADC，△BDP∽△BEC，△BDP∽△AEP，△BEC∽△AEP，△ADC∽△BDP.5．答案不唯一，如∠PCA＝∠B[解析]本题为开放题，答案不唯一．注意到△APC与△ACB属于“母子”型基本图形，而∠A为公共角，故还需具备的一个条件是∠PCA＝∠B或∠APC＝∠ACB或AC2＝AP·AB(即ACAP＝ABAC)．6．[解析]设经过ts后，△PBQ与△ABC相似．根据题意可得AP＝2tcm，BQ＝4tcm，BP＝(10－2t)cm，然后利用相似三角形的性质：对应边成比例列出方程求解即可．解：设经过ts后，△PBQ与△ABC相似，则有AP＝2tcm，BQ＝4tcm，BP＝(10－2t)cm.(1)当△PBQ∽△ABC时，有BPAB＝BQBC，即10－2t10＝4t20，解得t＝2.5；(2)当△PBQ∽△CBA时，有BQAB＝BPBC，即4t10＝10－2t20，解得t＝1.所以经过1s或2.5s，△PBQ与△ABC相似．7．解：(1)证明：∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，∴ACBC＝CECF＝2，∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF.(2)∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，AEBF＝ACBC＝2.又∵AE＝2，∴BF＝2.∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，∴∠EBF＝90°，∴EF2＝BE2＋BF2＝12＋(2)2＝3，∴EF＝3.∵CE2＝2EF2＝6，∴CE＝6.8．解：(1)证明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAB＝∠CAE，∴△ADB≌△AEC，∴BD＝CE.(2)①当点E在AB上时，如图①，BE＝AB－AE＝1.∵∠EAC＝90°，∴CE＝5.同(1)可证△ADB≌△AEC，∴∠DBA＝∠ECA.又∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC，∴PBAC＝BECE，∴PB2＝15，∴PB＝255；②当点E在BA的延长线上时，如图②，BE＝3.∵∠EAC＝90°，∴CE＝5.同(1)可证△ADB≌△AEC，∴∠DBA＝∠ECA.又∵∠BEP＝∠CEA，∴△PEB∽△AEC，∴PBAC＝BECE，∴PB2＝35，∴PB＝655.综上所述，PB的长为255或655.9．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BDE∽△CEF.(2)∵△BDE∽△CEF，∴BECF＝DEEF.∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∴CECF＝DEEF，即DECE＝EFCF.又∵∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF，∴∠DFE＝∠EFC，∴FE平分∠DFC.10．解：(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠B＋∠BDE＋∠DEB＝180°，∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠DEB，∴△BDE∽△CFD，∴DEDF＝BECD，即DE·CD＝DF·BE.(2)①证明：由(1)证得△BDE∽△CFD，∴BECD＝DEDF.∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∴BEBD＝DEDF.又∵∠B＝∠EDF，∴△BDE∽△DFE，∴∠BED＝∠DEF，∴ED平分∠BEF.②∵四边形AEDF为菱形，∴∠AEF＝∠DEF，AE＝AF＝DE.又∵∠BED＝∠DEF，∴∠AEF＝∠BED＝∠DEF＝60°.又∵AE＝AF，∴∠BAC＝60°.又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴△BED是等边三角形，∴BE＝DE.又∵AE＝DE，∴AE＝12AB，∴AEAB＝12.11．解：(1)证明：∵在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°，∴∠BPE＋∠BEP＝150°.又∵∠BPE＋∠EPF＋∠CPF＝180°，∠EPF＝30°，∴∠BPE＋∠CPF＝150°，∴∠BEP＝∠CPF，∴△BPE∽△CFP.(2)①△BPE∽△CFP.理由同(1)．②△BPE与△PFE相似．理由：由(1)得△BPE∽△CFP，∴BECP＝PEPF，而CP＝BP，∴BEBP＝PEPF，即BEPE＝BPPF.又∵∠EBP＝∠EPF，∴△BPE∽△PFE.