7-充分统计量和习题课

设是取自某总体的样本，n,X,,XX21),(),;(21nX,,XXTTxF统计量总体分布函数1定义的取值后，给定的充分统计量，如果在称为T.,X,,XXn无关的条件分布与21§5.5充分统计量1例的样本，是取自总体，，，设)(1,21bXXXn212211XXTXXXTn，考查两个统计量.21不是充分统计量是充分统计量，则TT2例的样本，是取自正态总体，设,1)(,,21NXXXn.1的充分统计量是否为参数考虑统计量niiXT一个充分统计量。的也是是单值可逆函数，则的充分统计量，是设)(S)()(21Tts,X,,XXTTn定理证明：是单值可逆函数，由于)(tstTsS事件所以事件例：的充分统计量，则是若niiXT1的充分统计量也是niiXnX11.--Neyman因子分解定理判别方法给出了一个简单的，是充分统计量比较困难量定义出发验证一个统计在一般场合下，直接由.则称为充分性原则常将该原化统计推断的程序，通统计量进行，这可以简充分任何统计推断可以基于在充分统计量存在时，统计的一个基本原则：2、因子分解定理为设总体概率函数为n,X,,XX;xf21),(为充分统计量的为样本，则),(21nX,,XXTT1定理),(),(21nx,,xxhtg和函数充要条件是：存在两个，有和任一组观察值使得对任意nx,,xx21,)()),(();(111nnnx,,xhx,,xTgx,,xf.),(的取值而依赖于样本的是通过统计量其中Ttg注：以分解统计量，则样本分布可定理表明假如存在充分为两个因子的乘积。无关，仅与样本有关；一个与可以通过有关，但与样本的关系一个与充分统计量表现出来。.证明证明：对离散随机变量无关与即已知)|,(11tTxX,xXPnn),(11；nnxX,xXP),(11；tT,xX,xXPnn)(),(11；tTPtT|xX,xXPnn)(),(1,tgx,xhn必要性},,{}{11nnxXxXtT充分性)(,tTP})(:){(111);(tx,,xTx,,xnnnX,,XP)(),(1})(:){(11ntx,,xTx,,xx,,xhtgnn时则当令)(},)(:{)(tAXtXTXtA),(11tT|xX,xXPnn)(),(11；；tTPtT,xX,xXPnn)(),(11；；tTPxX,xXPnn})(:){(1111)(),()(),(tx,,xTx,,xnnnnx,,xhtgx,,xhtg})(:){(1111)()(tx,,xTx,,xnnnnx,,xhx,,xh无关与3例.UXXXn的充分统计量求的样本，是取自总体，，，设)(0,21解：总体的密度函数为其他,xxp00,1/);(样本的联合密度函数为其他,xxxpxpiinn0}max{}min{0,)(1/);();(1}{1)()(1/);();(nxnnIxpxp，令取)(nXT1),,()(1/),(1}{tnnxxh,Itg由因子分解定理可知.XTn的充分统计量是)(4例.NXXXn的充分统计量求是未知的的样本，是取自总体，，，设,),(),(2221解：总体的密度函数为}2)(exp{-21);(22xxp样本的联合密度函数为);();(1nxpxp})(21exp{21122niinxniiniinxxn112222221}exp2exp{21niiniixtxt12211,取);();(1nxpxpniiniinxxn112222221}exp2exp{21niiniixtxt12211,取),,(21ttg12222221}exp2exp{21ttnn由因子分解定理，niiniiXXTTT12121,),(是充分统计量1),,(1nxxh.),(),(,22121也是充分统计量故是一一对应的，与进一步SXSXXXniinii时的充分统计量。未知和两个都未知分别讨论当参数有一个的样本形式是来自密度函数为如下，，，：设例,521nXXX.x,,x,xxp0}{exp1)(今天作业P28369101.总体、样本、样本观察值的关系总体样本样本观察值理论分布统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体图直方图、茎叶图、箱线、数据处理2布、常用统计量的抽样分3分位数次序统计量、样本、样本矩、样本标准差样本均值、样本方差p)(、三大抽样分布4常用的结论：则的样本来自正态总体,NX,,X,Xn),(221),(2nN~X)1()(2212n~XXnii独立)()(2212n~Xnii区别)(5应用因子分解定理念、理解充分统计量的概则都服从标准正态分布，和例：设随机变量YX服从正态分布；YX(A)分布；服从222(B)YX分布；都服从和222(C)YX分布；服从F/YX22(D))(n1)()()((2))1(211,,,1,,)(0,niiinnXYniXXYXXXUXXX是其次序统计量，令，，样本，是来自，，，例：设.1相互独立，，证明：nYY22268P作业题设存在唯一的反函数：x,y有连续的偏导数,记vyvxuyuxu,vx,yv,uJ)()()()()(v,uyyv,uxx则|J|v,uy,v,uxpv,upXYUV))()(()(已知(X,Y)的联合密度pXY(x,y)求(U,V)的联合密度函数pUV(u,v)的方法)()(y,xhvy,xgu1yvxvyuxu1)()(x,yu,v0法变换变量对于求多元随机变量的函数有类似的方法),,(),,(),,(),,(11111111nnnnnnnnyyhxyyhxxxgyxxgy有唯一反函数设),,(121nnxxpXXX的联合密度为，，，已知.),,(),,(1111的联合密度求nnnnXXgYXXgY方法nnnnnnyxyxyxyxy,yx,xJ111111),(),(则||)),,(,,),,((),,(11111JyyhyyhpyypnnnnYYn0有连续的偏导数,记nxx,,1),,(),,(),,(),,(11111111nnnnnnnnyyhxyyhxxxgyxxgy有唯一反函数设)(n1)()()((2))1(211,1)(0,niiinnXYn,,i,XXYXX,XUXXX是其次序统计量，令，，样本，是来自，，，例：设.YYn相互独立，，证明：1解的联合密度函数为，，)((2))1(nXX,Xnnnuuu,n!uuup21210/),,,(nnnnnuy/uuyuuyuuy11322211//作变换nnnnnnnyuyyuyyuyyyu1122211其逆变换)(),,,(2121nn,y,,yyuuu|J||yyyyyyyyyyy|nnnnn10000123113121232nnyyyninnnny,,ni,y,yyyn!,y,,yyp01110/)(123221独立，，，可分离变量nnYYY,y,,yyp2121)(统计量，试求是其次序，，，的一个样本，函数为密度是来自分布函数为，，，例：设)((2))1(21)(),(nnXXXxpxFXXX的分布求niiXF1)(ln2(1)的分布求)((2))(kXF的分布求))(1(-)((3))()(nklXFXFlk