充分统计量

总体结构的信息；总体分布中未知参数的信息；§5.5充分统计量样本中所包含的关于总体分布的信息分为两部分：一个“好”的统计量，应该能把样本中包含总体的信息全部提炼出来，即不损失信息的统计量——充分统计量。5.5.1充分性的概念例5.5.1为研究某个运动员的打靶命中率，我们对该运动员进行测试，观测其10次，发现除第三、六次未命中外，其余8次都命中。这样的观测结果包含了两种信息：(1)打靶10次命中8次；(2)2次不命中分别出现在第3次和第6次打靶上。第二种信息对了解该运动员的命中率是没有什么帮助的。设我们对该运动员进行n次观测，得到x1,x2,…,xn，每个xj取值非0即1，命中为1，不命中为0。令T=x1+…+xn，统计上将这种“样本加工不损失信息”称为“充分性”。T为观测到的命中次数。22(,),,,NXS例如，设总体服从用222,XS去估计总体的和，是否将和的信息完全提炼出来呢？统计量T=T(x1,x2,…,xn)抽样分布FT(t)，设样本x=(x1,x2,…,xn)分布F(x)，分析两个分布的区别：1.抽样分布FT(t)有可能包含有关的信息；2.F(x)概括了有关的一切信息。在统计量T的取值为t的情况下样本x的条件分布F(x|T=t)已不含的信息，这正是统计量具有充分性的含义。),1(bnXX,,1nXXT1T)(,,11txxxniin)|,,(11tTxXxXPnn)(),,,(1111111tXPxtXxXxXPniiniinnn设总体为二点分布，为样本，令则在给定的取值后，对任意的一组1111()((1)nniiniiitntPXxPXtxnt）tntnixtxtxxtnniiniiii)1()1()1(11111111tnttnttn)1()1(tn1该条件分布与无关)|,,(2111xxsSxXxXPnn)(),,,,(21332211sXXPxXxXxsXxXPnn332(1)2(1)nniiiisxnsxtts332(1)2nniiiixnxs该条件分布与有关。2.定义定义1922年英国统计学家Fisher提出了描述总体信息是否被完全提炼的概念—充分统计量.1212,,,(,)(,,,)nnXXXXFxTTXXX设是来自总体具有分布函数的一个样本，为一个12,,,TnTtXXX统计量，当给定时，若样本（）的T条件分布(离散总体为条件概率，连续总体为条件密度)与参数无关，则称为的充分统计量.nXX,,1nXXT1T)(,,11txxxniin)|,,(11tTxXxXPnn)(),,,(1111111tXPxtXxXxXPniiniinnn例设总体为泊松分布，为样本，令则在给定的取值后，对任意的一组)(P!)()!(!1111)(11tenxtexentniniixtixniii!)()!(1!11111tnxtxtniniii该分布与参数无关。说明T是的充分统计量。同理：T/n也是的充分统计量。二、因子分解定理1.充分统计量的判别准则定理2.3(因子分解定理)(Fisher-Nerman准则)(1)连续型情况12(,),(,,,)TnXfxXXX设总体具有分布密度12(,,,)nTXXXT是一个样本，是一个统计量，则是的充分统计量的充要条件是：样本的联合分布密度可以分解为12121()(,)(,,,)((,,,),)ninniLfxhxxxgTxxx1212,,,,,,.nnhxxxgTxxx其中是的非负函数且与无关，仅通过依赖于(2)离散型情况12{}(,),(,,),iiXPXxpxi设总体的分布律1212(,,,)(,,,)TnnXXXTXXX是一个样本，是一T个统计量，则是的充分统计量的充要条件是：样本的联合分布律可以分解为12121(,)(,,,)((,,,),)ninniPxhxxxgTxxx1212,,,,,,.nnhxxxgTxxx其中是的非负函数且与无关，仅通过依赖于.证明证明：对离散随机变量无关与即已知)|,(11tTxX,xXPnn),(11；nnxX,xXP),(11；tT,xX,xXPnn)()|,,(11；tTPtTxXxXPnn),(),,(1tgxxhn必要性},,{}{11nnxXxXtT充分性)(,tTP})(:){(111);(tx,,xTx,,xnnnX,,XP)(),(1})(:){(11ntx,,xTx,,xx,,xhtgnn时则当令)(},)(:{)(tAXtXTXtA),(11tT|xX,xXPnn)(),(11；；tTPtT,xX,xXPnn)(),(11；；tTPxX,xXPnn})(:){(1111)(),()(),(tx,,xTx,,xnnnnx,,xhtgx,,xhtg})(:){(1111)()(tx,,xTx,,xnnnnx,,xhx,,xh与无关说明：T如果参数为向量时，统计量也是随机向量，例如22(,),(,).TXS则相应的统计向量可以为以下将通过几个例子来说明判别法则的应用例根据因子分解定理证明解1122{,,,}nnPXxXxXx111111()()()nnniiiiiixnxxnppppp1111111()()()()niixnnnnXnpppppp121212111(,,,),(,,,),((,,,),)()(),nnnnTnTxxxXhxxxpgTxxxpppX其中因而，是充分统计量(1,)Xbp是两点分布的充分统计量。例1211(,,,)().TnniiXXXPXXn设是来自泊松分布的一个样本，试证是参数的充分统计量解111221{,,,}e!niixnnnniiPXxXxXxx11111ee!!niixnnnXnnnniiiixx12121121(,,,),(,,,),!((,,,),)e,nnniinTnnTxxxXhxxxxgTxxxX其中因而，是充分统计量例1211(,,,).TnniiXXXXXn设是来自正态总体N(,1)的一个样本，试证是参数的充分统计量解211212{()}()e(π)niixnL211122exp{()(π)ninixxx22111222exp{()()}(π)nininxxx22111222exp{()}exp{()}(π)nininxxx12212121212122(,,,),(,,,)exp{()}((,,,),)exp{()},(π)nnniinnTxxxxhxxxxxngTxxxTX其中因而，是充分统计量例设总体有概率分布,0,0,1,2(;)!0,xexfxx其它从中取得样本，其观测值为.问是否的充分统计量?12(,)(1,2)122=+解：当时，，而时的概率函数122=1,1224=+4=)0,2()2,1()4,0(),4(212121PPPg!2!2!4224eeeeee)!2!2!4(2342e由充分统计量的定义知，不是的充分统计量.122=+)!2!2!4(2),4(),2(),1(234222eegff2121212例1221212(,,,),,,)(,),.nnniiXXXTXXXXX2设是来自正态总体N(,)的一个样本，试证(是参数=()的联合充分统计量解2211212{()}()e(π)niixnL22222111222exp{}(π)nininnxx212121212221221221111222(,,,)(,),(,,,),((,,,),)exp{(π)},(,,,)(,)nnininnininniiTxxxxxhxxxngTxxxxxnTxxxxx其中因而，是充分统计向量。是一一对应的，这说明在正态总体场合常用的进一步，我们指出这个统计量与(x,s2)(x,s2)是充分统计量。例5.5.4设x1,x2,…,xn是取自总体U(0,)的样本，即总体的密度函数为p(x;)=1/,0x0,其他于是样本的联合密度函数为取T=x(n)，并令g(t;)=(1/)nIt,h(x)=1，由因子分解定理知T=x(n)是的充分统计量。p(x1;)…p(xn;)=0,其它(1/)n,0minximaxxi由于诸xi0，所以我们可将上式改写为p(x1;)…p(xn;)=(1/)nIx(n)