2019高考数学新课标人教A版：第十章第七节离散型随机变量及分布列课件

1．给出下列A、B、C、D四个表，其中能成为随机变量X的分布列的是()A.X01P0.60.3B.X012P0.90250.0950.0025X012…nP121418…12nC.X012…nP1313·2313(23)2…13(23)nD.解析：由分布列的定义可知，选项B为随机变量X的分布列．答案：BX1234P161313p则p的值为()A.16B.12C.13D.142．设离散型随机变量X的概率分布如下：解析：由离散型随机变量概率分布的性质有16＋13＋13＋p＝1，∴p＝16.答案：A3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2X≤4)等于()A.316B.14C.116D.15解析：P(2X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝316.答案：A4．袋中有大小相同的6只钢球，分别标有1,2,3,4,5,6六个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值的个数为________．解析：X的所有可能取值为：3,4,5,6,7,8,9,10,11共9个．答案：95．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是__________．解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C02C34C36＋C12C24C36＝45.答案：451．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为,常用字母X，Y，X，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为．离散型随机变量随机变量2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的，简称为X的．有时为了表达简单，也用等式表示X的分布列．概率分布列分布列P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n(2)离散型随机变量的分布列的性质①；pi≥0，i＝1,2，…，n②.pi＝13．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X服从两点分布，即其分布列为，其中p＝称为成功概率．P(X＝1)X01P1－pp(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝，且，称分布列min{M，n}n≤N，M≤N，n，M，N∈N*X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN为超几何分布列．设离散型随机变量X的分布列为考点一离散型随机变量的分布列的性质X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．[自主解答]由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为：X012342X＋113579|X－1|10123从而由上表得两个分布列为：(1)2X＋1的分布列：2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列：|X－1|0123P0.10.30.30.3保持例1条件不变，若P(Xx)＝0.3，则x的取值范围是多少？解：∵P(Xx)＝0.3，∴P(Xx)＝P(X＝0)＋P(X＝1)，∴1x≤2.Y－123P14m14设随机变量Y的分布列为：试计算事件“Y≤12”和“32≤Y≤72”的概率．解：由14＋m＋14＝1，∴m＝12，∴P(Y≤12)＝P(－1)＝14，P(32≤Y≤72)＝P(2)＋P(3)＝34.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率．考点二离散型随机变量分布列的求法与应用[自主解答](1)法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件．因为P(B)＝C15C22C18C310＝13，所以P(A)＝1－P(B)＝1－13＝23.(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130；P(X＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215；P(X＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310；P(X＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815.所以随机变量X的概率分布列为：X2345P130215310815(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”记为事件C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝215＋310＝1330.若将题目条件中的“最大数字”改为“最小数字”，试解决上述问题？解：(1)同例2解法．(2)由题意，X所有可能的取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝C28C12＋C18C22C310＝815；P(X＝2)＝C26C12＋C16C22C310＝310；P(X＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215；P(X＝4)＝C22C12＋C12C22C310＝130.所以随机变量X的分布列为：X1234P815310215130(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝215＋130＝16.从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)＝0.96.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；(2)若该批产品共100件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的分布列．解：(1)记A0表示事件“取出的2件产品中没有二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中有1件是二等品”．则A0，A1互斥，且A＝A0＋A1，故P(A)＝P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝(1－p)2＋C12p(1－p)＝1－p2.于是0.96＝1－p2.解得p1＝0.2，p2＝－0.2(舍去)．所以p＝0.2.(2)X的可能取值为0,1,2.若该批产品共100件，由(1)知其二等品有100×0.2＝20(件)，故P(X＝0)＝C280C2100＝316495，P(X＝1)＝C180C120C2100＝160495，P(X＝2)＝C220C2100＝19495，所以X的分布列为：X012P31649516049519495(2019·济南模拟)某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：考点三超几何分布A小区低碳族非低碳族比例1212B小区低碳族非低碳族比例4515C小区低碳族非低碳族比例2313(1)从A，B，C三个小区中各选一人，求恰好有2人是低碳族的概率；(2)在B小区中随机选择20户，从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X，求X的分布列．[自主解答](1)3人中恰好有2人是低碳族的概率为P＝12×45×13＋12×15×23＋12×45×23＝715.(2)在B小区中随机选择的20户中，“非低碳族”有20×15＝4户，P(X＝k)＝Ck4C3－k16C320(k＝0,1,2,3)，∴P(X＝0)＝C04C316C320＝2857，P(X＝1)＝C14C216C320＝819，P(X＝2)＝C24C116C320＝895，P(X＝3)＝C34C016C320＝1285，故X的分布列为：X0123P28578198951285某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列．解：依题意，随机变量X服从超几何分布，所以P(X＝k)＝Ck6C4－k4C410(k＝0,1,2,3,4)．∴P(X＝0)＝C06C44C410＝1210，P(X＝1)＝C16C34C410＝435，P(X＝2)＝C26C24C410＝37，P(X＝3)＝C36C14C410＝821，P(X＝4)＝C46C04C410＝114，∴X的分布列为X01234P121043537821114以实际问题为背景，以解答题的形式考查离散型随机变量的分布列是高考考查的热点，且常与排列组合、概率、均值与方差等知识综合考查．[考题印证](2019·福建高考)(13分)设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望Eξ.[规范解答](1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．…………………………………(2分)由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0.所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．……(6分)(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝16，P(ξ＝1)＝26＝13，P(ξ＝4)＝26＝13，P(ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为：X0149P16131316……………………………………………………(11分)所以E(ξ)＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.……(13分)1．离散型随机变量的特点由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是()A．X＝4B．X＝5C．X＝6D．X≤5解析：事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，故X＝6.答案：C2．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X4)＝0.3，那么()A．n＝3B．n＝4C．n＝10D．n＝9解析：P(X4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1n＋1n＋1n＝3n＝0.3，∴n＝10.答案：C3．若离散型随机变量X的分布列为：X01P92－c3－8c则常数c的值为()A.23或13B.23C.13D．1解析：由9c2－c≥0，3－8c≥0，9c2－c＋3－8c＝1，∴c＝13.答案：C4．随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝______.解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝13，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝23.答案：235．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是__________．解析：X＝－1，甲抢到一题但答错了．X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对．X＝2时，甲抢到2题均答对．X＝3时，甲抢到3题均