必修五――线性规划无数个最优解问题、乘1问题-答案

必修五——线性规划无数个最优解问题、乘1问题答案和解析【答案】1.D2.A3.C4.C5.A6.B7.D8.B9.C10.B11.B【解析】1.解：作出不等式组{𝑥+𝑦≥1𝑥−𝑦≥−12𝑥−𝑦≤2表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（0，1），C（3，4）设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（3，4）=3a+4b=7，可得17（3a+4b）=1因此，3𝑎+4𝑏=17（3a+4b）（3𝑎+4𝑏）=17（25+12𝑏𝑎+12𝑎𝑏）∵12𝑏𝑎+12𝑎𝑏≥2√12𝑏𝑎⋅12𝑎𝑏=24∴17（25+24）≥17×49=7，即当且仅当a=b=1时，3𝑎+4𝑏的最小值为7故选：D作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=3，y=4时，z最大值为3a+4b=7．然后利用常数代换结合基本不等式，可得当且仅当a=b=1时，3𝑎+4𝑏的最小值为7．本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z=ax+by最大值为7的情况下求3𝑎+4𝑏的最小值．着重考查了运用基本不等式求最值和简单的线性规划等知识，属于中档题．2.解：满足约束条件{𝑥+𝑦−4＜0𝑦≥𝑥𝑥≥0的可行域如下图所示∵𝑦−5𝑥−1表示可行域内一点（x，y）与P（1，5）连线的斜率又∵kPA=5−41−0=1，kPB=5−22−1=-3，∴𝑦−5𝑥−1的范围是（-∞，-3）∪（1，+∞）故选A画出满足约束条件的可行域，分析目标函数的几何意义，数形结合即可分析出目标函数的取值范围．本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中分析出目标函数的几何意义是表示可行域内一点（x，y）与P（1，5）连线的斜率是解答的关键．3.解：由约束条件{𝑦≥0𝑦−𝑥+1≤0𝑦−2𝑥+4≥0作出可行域如图，由z=y-ax（a≠0），得y=ax+z，∵a≠0，∴要使z=y-ax（a≠0）取得的最优解（x，y）有无数个，a不能为负值，当a＞0时，直线y=ax+z与线段AC所在直线重合时，使z=y-ax取得最大值的最优解有无数个；直线y=ax+z与线段BC所在直线重合时，使z=y-ax取得最小值的最优解有无数个．综上，要使z=y-ax（a≠0）取得的最优解（x，y）有无数个，则a=1或2．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合可行域即可看出使z=y-ax（a≠0）取得的最优解（x，y）有无数个的a值．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4.解：依题意，满足已知条件的三角形如下图示：令z=0，可得直线x+my=0的斜率为-1𝑚，结合可行域可知当直线x+my=0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值，而直线AC的斜率为1−33−1=-1，所以-1𝑚=-1，解得m=1，故选C．增加网友的解法，相当巧妙值得体会！请看：依题意，1+3m=5+2m＜3+m，或1+3m=3+m＜5+2m，或3+m=5+2m＜1+3m解得m∈空集，或m=1，或m∈空集，所以m=1，选C．评析：此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴，区域的三个顶点中一定有两个顶点的坐标是最优解，故此两点处函数值相等，小于第三个顶点处的目标函数值，本题略去了判断最优解取到位置的判断，用三个不等式概括了三种情况，从而解出参数的范围，此方法可以在此类求参数的题中推广，具有一般性！将目标函数z=x+my化成斜截式方程后得：y=-1𝑚x+1𝑚z，若m＞0时，目标函数值Z与直线族：y=-1𝑚x+1𝑚z截距同号，当直线族y=-1𝑚x+1𝑚z的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数z=x+my取得最小值的最优解有无数多个；若m＜0时，目标函数值Z与直线族：y=-1𝑚x+1𝑚z截距异号，当直线族y=-1𝑚x+1𝑚z的斜率与直线BC的斜率相等时，目标函数z=x+my取得最小值的最优解有无数多个，但此时是取目标函数取最大值的最优解为无数个，不满足条件．目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式；②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反；③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．5.解：由题意，使目标函数Z=ax-y（a＞0）取得最大值，而y=ax-z即在Y轴上的截距最小；所以最优解应在线段AC上取到，故ax-y=0应与直线AC平行．∵kAC=3−14−1=23，∴a=23，故选：A．由题设条件，目标函数Z=ax-y（a＞0），取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故最大值应该在边界AB上取到，即ax-y=0应与直线AB平行；进而计算可得答案．本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，知最优解的特征，判断出最优解的位置求参数．6.解：∵目标函数P=ax+y，∴y=-ax+P．故目标函数值Z是直线族y=-ax+P的截距，当直线族y=-ax+P的斜率与边界AC的斜率相等时，目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个，此时，-a=3−55−1=-12，即a=12，故选B．给出平面区域如图所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．7.解：∵z=x+ay则y=-1𝑎x+1𝑎z，𝑧𝑎为直线y=-1𝑎x+𝑧𝑎在y轴上的截距要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则截距最小时的最优解有无数个．∵a＞0把x+ay=z平移，使之与可行域中的边界AC重合即可，∴-a=-1∵a=1故选D．先根据约束条件画出可行域，由z=x+ay，利用z的几何意义求最值，要使得取得最小值的最优解有无数个，只需直线z=x+ay与可行域的边界AC平行时，从而得到a值即可．本题主要考查了简单线性规划的应用、二元一次不等式（组）与平面区域等知识，解题的关键是明确z的几何意义，属于中档题．足线性约束条件{𝑦≤12𝑥𝑦≥00≤𝑥≤2，作出8.解：由x，y满联立{𝑦=12𝑥𝑥=2，解得C（2，1）．可行域．由可行域可知：当目标函数经过点C时z取得最大值1，∴2a+b=1（a＞0，b＞0），∴1𝑎+2𝑏=（1𝑎+2𝑏）（2a+b）=4+𝑏𝑎+4𝑎𝑏≥4+2√𝑏𝑎⋅4𝑎𝑏=8，当且仅当b=2a=12时，取等号，∴1𝑎+2𝑏的最小值为8．故选B．由约束条件作出可行域，并找出目标函数取得最大值时的条件，进而利用基本不等式的性质即可求出．本题考查线性规划的有关内容及基本不等式的运用，确定2a+b=1，正确运用基本不等式是关键．9.解：由题意，z=mx+y（m＞0）在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，最优解应在线段AC上取到，故mx+y=0应与直线AC平行∵kAC=3−2255−1=-720，∴-m=-720，∴m=720，故选C．目标函数Z=mx+y，取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上，目标函数的截距取得最大值，故最大值应在左上方边界AC上取到，即mx+y=0应与直线AC平行；进而计算可得m的值．本题考查线性规划的应用，目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．10.解：满足约束条件{𝑦−2𝑥≤02𝑦−𝑥≥0𝑥+𝑦−3≤0.的平面区域如图示：因为z=mx+y在平面区域上取得最小值的最优解有无穷多个，所以m=12．只有过点（0，0）时，z=mx+y有最小值0．故选B．先有z=mx+y在平面区域{𝑦−2𝑥≤02𝑦−𝑥≥0𝑥+𝑦−3≤0.上取得最小值的最优解有无穷多个找出m=12．再把对应的平面区域画出，借助与图形找到此时z的最小值即可．本题考查的知识点是简单线性规划的应用．在取得最值的最优解有无穷多个时，目标函数通常与线性约束条件中的某一条线平行．11.解：作出不等式组{3𝑥−𝑦−2≤0𝑥−𝑦≥0𝑥≥0，𝑦≥0对应的平面区域如图：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-𝑎𝑏x+𝑧𝑏，则直线的斜率k=-𝑎𝑏＜0，截距最大时，z也最大．平移直y=-𝑎𝑏x+𝑧𝑏，由图象可知当直线y=-𝑎𝑏x+𝑧𝑏，经过点A时，直线y=-𝑎𝑏x+𝑧𝑏，的截距最大，此时z最大，由{3𝑥−𝑦−2=0𝑥−𝑦=0，解得{𝑥=1𝑦=1，即A（1，1），此时z=a+b=2，即12(𝑎+𝑏)=1，∴1𝑎+1𝑏=（1𝑎+1𝑏）（𝑎+𝑏2）=1+12(𝑏𝑎+𝑎𝑏)≥2，当且仅当𝑎𝑏=𝑏𝑎，即a=b=1时取等号，此时m=2，y=sin（mx+𝜋3）=sin（2x+𝜋3）的图象向右平移𝜋6后的表达式为：y=sin[2（x-𝜋6）+𝜋3]=sin2x．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，利用基本不等式的解法和结合数形结合是解决本题的突破点．同时考查三角函数的图象的平移变换．