2011届高考数学二轮复习课件4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数

要点梳理1.任意角（1）角的概念的推广①按旋转方向不同分为、、.②按终边位置不同分为和.（2）终边相同的角终边与角相同的角可写成.第四编三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数正角负角零角象限角轴线角360k(k∈Z)基础知识自主学习（3）弧度制①1弧度的角：_______________________________叫做1弧度的角.②规定：正角的弧度数为,负角的弧度数为，零角的弧度数为,,l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径.③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小,仅与.④弧度与角度的换算：360°=弧度；180°=弧度.⑤弧长公式：,扇形面积公式：S扇形==.把长度等于半径长的弧所对的圆心角rlrl2无关角的大小有关rl||lr212||21r正数负数零||2.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义设是一个任意角，角的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r(r0）,那么角的正弦、余弦、正切分别是：它们都是以角为自，以比值为的函数.(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：.sin,rycos,rxtan,xy变量函数值一全正、二正弦、三正切、四余弦3.三角函数线设角的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M,则点M是点P在x轴上的.由三角函数的定义知，点P的坐标为,即,其中=,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则.我们把有向线段OM、MP、AT叫做的、、.)sin,(cos)sin,(cosPcosOMsin,MPtanAT余弦线正弦线正切线正射影4.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：.(2)商数关系:.三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线MPOMATtancossin1cossin22基础自测1.若=k·180°+45°(k∈Z)，则在（）A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限解析当k=2m+1(m∈Z)时，=2m·180°+225°=m·360°+225°,故为第三象限角；当k=2m(m∈Z)时，=m·360°+45°,故为第一象限角.A2.角终边过点(-1,2),则cos等于（）552.D55.C552.B55.A解析,52)1(22r.5551cosrx由定义C3.已知角的终边经过点(，-1),则角的最小正值是（）43.D65.C611.B32.A解析,2)1()3(22r.611,.23cos的最小正值是是第四象限角又由题意知则rxB34.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A.1B.4C.1或4D.2或4解析设此扇形的半径为r，弧长为l，.122414.2,24,1,221,62rlrllrlrrllr或从而或解得则C5.已知为第四象限角，且解∵为第四象限角，且,21cos.tan1tan122的值求,21cos.3133131)3(1)3(1tan1tan1,3cossintan,23)21(1cos1sin222222题型一三角函数的定义已知角的终边在直线3x+4y=0上,求的值.本题求的三角函数值.依据三角函数的定义,可在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),求出r,由定义得出结论.tan,cos,sin思维启迪【例1】解,043上的终边在直线角yx,5,0|,|5)3()4(,3,4),0)(3,4(2222trttttyxrtytxtttP时当则的终边上任取一点在角题型分类深度剖析.43tan,54cos,53sin,0;43tan,54cos,53sin,0,.4343tan,5454cos,5353sin,5,0;4343tan,5454cos,5353sin时时综上可知时当ttttxyttrxttrytrtttxyttrxttry某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定.但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组要分别求解.知能迁移1设为第四象限角,其终边上的一个点是P（x，-），且解∵为第四象限角，∴x0，且探究提高.tansin,42cos和求x,52xr.315tan,410sin,8,3:,425cos2故解得则rxxxx5题型二三角函数值的符号及判定(1)如果点P(sin·cos，2cos)位于第三象限，试判断角所在的象限.(2)若是第二象限角，试判断的符号.(1)由点P所在的象限可知的符号，进而判断所在的象限.(2)由可判断的范围,把看作一个角，再判断的符号.【例2】)2cos(sin)(cossin思维启迪cossin、2sincos、2sin,cos)2cos(sin),sin(cos解.,0cos0sin,0cos2,0cossin,)cos2,cos(sin)1(为第二象限角所以即所以位于第三象限因为点P.)2cos(sin)sin(cos.0)2cos(sin)sin(cos.0)2cos(sin,0)sin(cos,02sin1,2424,0cos1),(222)2(的符号是负号kkkkkZ(1)熟练掌握三角函数的符号法则是解决此类问题的关键.(2)由三角函数符号判断角所在象限,在写角的集合时,注意终边相同的角.知能迁移2若则角的终边落在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析探究提高,0cossin,0sincostan.,0cos,0cossin的终边落在第三象限角又C,0costan且题型三三角函数线及其应用在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:作出满足的角的终边,然后根据已知条件确定角终边的范围.【例3】.21cos)2(;23sin)1(思维启迪21cos,23sin解(1)作直线交单位圆于A、B两点,连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围,故满足条件的角的集合为(2)作直线交单位圆于C、D两点,连结OC、OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为23y.,32232|Zkkk21x.,342322|Zkkk本题的实质是解三角不等式的问题：（1）可以运用单位圆及三角函数线；（2）也可以用三角函数图象.体现了数形结合的数学思想方法.探究提高知能迁移3求下列函数的定义域：).sin43lg()2(;1cos2)1(2xyxy解.21cos,01cos2)1(xx由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).).(32,32Zkkkx.23sin23,43sin,0sin43)2(22xxx利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),).(3,3Zkkkx题型四同角三角函数的基本关系式（12分）已知是三角形的内角，且（1）求tan的值；（2）用tan表示出来，并求其值.（1）由【例4】sin.51cos22sincos1把思维启迪,1cossin51cossin22及;cos,sin的值可求即可.分子、分母同除以,(2)222coscossin1解(1)方法一②1cossin①51cossin22联立方程.34tan,53cos54sin,.012sin5sin25,②,sin51cos①2是三角形内角整理得将其代入得由2分3分6分方法二,)51()cos(sin,51cossin22.34tan,53cos54sin,57cossin51cossin,57cossin,0cossin,0cos,0sin,002512cossin.254925241cossin21)cos(sin,2524cossin2,251cossin212得由且即3分6分(1)对于这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式的值可求.转化的公式为(2)关于sinx,cosx的齐次式,往往化为关于tanx的式子.10分12分.725)34(11)34(tan11tansincos1222222,34tantan11tancossincoscoscossinsincoscossinsincos1)2(22222222222222探究提高cossin,cossin,cossin;cossin21)cos(sin2知能迁移4分别求的值：tansin、).1|(|cos)2(;1312cos)1(mm解.125tan,135sin,;125cossintan,135cos1sin,.,01312cos)1(2是第三象限角时当是第二象限角时当是第二或第三象限角.1tan,1sin,;1tan,1sin,,1||0;tan,1sin),(2,0;0tan,0sin),(,1||)2(2222mmm、mmm、mkkmkkm则四象限的角是第三若则二象限的角是第一若时当不存在时当此时时当ZZ思想方法感悟提高方法与技巧1.在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|=r一定是正值.2.在解决的问题时,常常用到3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.cossin,cossin.cossin21)cos(sin2失误与防范1.注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.角度制与弧度制可利用180°=rad进行互化,在同一个式子中，采用的度量制度必须一致,不可混用.3.注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示.一、选择题1.若角和角的终边关于x轴对称,则角可以用角表示为（）A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)解析因为角和角的终边关于x轴对称,所以(k∈Z).所以(k∈Z).定时检测k2k2kkk2k2B2.已知点P在第三象限,则角的终边在第几象限（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析∵P在第三象限，由tan0，得在第二、四象限，由cos0,得在第二、三象限，∴在第二象限.)cos,(tan)cos,(tan,0cos0tanB3.若扇形圆心角的弧度