2011届高考数学二轮复习课件7.1 不等关系与不等式

要点梳理1.两个实数比较大小的方法（1）作差法第七编不等式§7.1不等关系与不等式基础知识自主学习R);,(000bababababababa=(2)作商法2.不等式的性质单向性：(1)传递性：ab,bc______.(2)同向相加性：ab,cd_________.).0R(111，bababababababa=aca+cb+d(3)乘法单调性：ab,c0_______;ab,c0________;ab0,cd0_______;ab0(n∈N+)anbn;ab0(n∈N+,n≥2)双向性：ab________.3.不等式的一些常用性质(1)倒数性质①ab,ab0②a0b.nnbaacbcacbcacbdba.11ba.11ba③ab0,0cd④0axb或axb0(2)有关分数的性质若ab0,m0,则①真分数的性质：②假分数的性质：.dbca.axb111).(;0mbmambabmambab).(;0mbmbmabambmaba基础自测1.若x+y0，a0，ay0,则x-y的值为（）A.大于0B.等于0C.小于0D.符号不能确定解析方法一因为a0,ay0,所以y0，又x+y0,所以x0，所以x-y0.应选A.方法二a0,ay0,取a=-2得-2y0,又x+y0,两式相加得x-y0.A2.设a、b为非零实数,若ab,则下列不等式成立的是（）A.a2b2B.ab2a2bC.D.解析（赋值法）令a=-4,b=1,则a2=16b2=1,故A错；又故D错；再令a=1,b=4,则ab2=16a2b=4，故B错，故选C.baab2211baab,441baabC3.若a2b2,则下列不等式成立的是（）A.abB.C.|a||b|D.以上均不对解析a2b2|a|2|b|2|a||b|.2211baC4.若a、b、c为实数,则下列命题正确的是（）A.若ab,则ac2bc2B.若ab0，则a2abb2C.若ab0，则D.若ab0，则解析对于选项A，c=0时，ac2=bc2；取a=-2,b=-1知选项C、D错，故选B.ba11baabB5.的一个充分不必要条件是（）A.xyB.xy0C.xyD.yx0解析xy0或xy0.1yx00011yyxyyxyxyx)(B题型一比较大小【例1】比较下列各组中两个代数式的大小：（1）(x-3)2与(x-2)(x-4)；（2）当x1时，x3与x2-x+1.作差，通过分解因式判断差的符号.解（1）(x-3)2-(x-2)(x-4)=x2-6x+9-(x2-6x+8)=10,∴(x-3)2(x-2)(x-4).题型分类深度剖析思维启迪(2)x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),∵x1,∴x3-(x2-x+1)0,∴当x1时，x3x2-x+1.（1）作差法步骤：作差——变形——判断差的符号.作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小.（2）两种方法的关键是变形.常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的.探究提高知能迁移1(1)比较x6+1与x4+x2的大小,其中x∈R;(2)设a∈R,且a≠0,试比较a与的大小.解（1）(x6+1)-(x4+x2)=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1)=(x2-1)2(x2+1).当x=±1时，x6+1=x4+x2;当x≠±1时，x6+1x4+x2.a1（2）当-1a0或a1时,当a-1或0a1时,当a=±1时,aaaaaaa)1)(1(112;1aa;1aa.1aa题型二不等式的性质【例2】使不等式ab成立的充要条件是（）A.a2b2B.C.lgalgbD.可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证.解析方法一取a=1,b=-2，可验证A、B、C均不正确，故选D.方法二ab2a2b0ba11ba2121.2121ba思维启迪D探究提高（1）判断一个关于不等式的命题的真假时,先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题的真假,当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质.(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法,在命题真假未定时,先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立,则该命题为假命题.(3)说明一个命题为假命题时,可以用特殊值法,但不能用特殊值法肯定一个命题，只能利用所学知识严密证明,在用不等式性质证明命题时,可适当使用一些不等式性质的推广命题,本题就可以利用结论“ab,n∈N+，n为奇数，则”.nnba知能迁移2已知a、b、c∈R，则下列推理：①②a3b3,ab0③a2b2,ab0④0ab1其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4;22bacbca;11ba;11ba.11log)1(logaaba解析由可知c20,即ab,∴①正确.由a3b3,ab0可得ab,ab0，即ab0或ba0，∴②正确.由a2b2,ab0可得ab0或ab0，ab0时但ab0时，故③不正确.22cbca,2222ccbcca,11ba,11ba,11ba∵0ab1,∴loga(1+a)logb(1+a),故④正确.答案C,11log)1(log,11log)1(log,0)1(log11log)1(log2aaaaaaababbbbb又题型三不等式性质的应用【例3】（12分）已知-1a+b3且2a-b4,求2a+3b的取值范围.思维启迪将2a+3b用a+b和a-b表示出来，再利用不等式的性质求解2a+3b的范围.解设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),2分4分5分,32nmnm.21,25nm).(21)(2532bababa∵-1a+b3,2a-b4,8分10分即12分由af1(x1,y1)b,cf2(x1,y1)d,求g(x1,y1)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g(x1,y1)=pf1(x1,y1)+qf2(x1,y1)，用恒等变形求得p,q，再利用不等式的性质求得g(x1,y1)的范围.此外，本例也可用线性规划的方法来求解.,1)(212,215)(2525baba,213)(21)(2529baba.2133229ba探究提高知能迁移3已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,则4a-2b的取值范围是_________.解析方法一设u=a+b,v=a-b,∴4a-2b=2u+2v-u+v=u+3v.∵1≤u≤4,-1≤v≤2,∴-3≤3v≤6.则-2≤u+3v≤10,即-2≤4a-2b≤10.,2,2vubvua得方法二令4a-2b=x(a+b)+y(a-b),∴4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.∴-2≤4a-2b≤10.答案[-2,10].6)(33,41.3,1.2,4babayxyxyx1.用同向不等式求差的范围.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到.2.不等式.如：方法与技巧cbyxdacydbxadycbxa.1111)1(1321211nnn思想方法感悟提高3.倒数关系在不等式中的作用.4.作差法：判定不等关系的基本方法.aba-b0,aba-b0..110;110babaabbabaab1.abacbc或abacbc,当c≤0时不成立.2.当ab≤0时不成立.3.abanbn对于正数a、b才成立.4.ab,对于正数a、b才成立.5.ab,bcac,其中ac不能推出失误与防范,1111babababa或1ba.cbba一、选择题1.下列四个数中最大的是（）A.lg2B.C.(lg2)2D.lg(lg2)解析因为lg2∈(0,1)，所以lg(lg2)0;所以最大的是lg2..2lg2lg,02lg212lg2lg.)2(lg2lg,0)2lg21(2lg)2(lg2lg22即即A2lg定时检测2.已知实数a、b、c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a、b、c的大小关系是()A.c≥baB.ac≥bC.cbaD.acb解析c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,∴c≥b,已知两式作差得2b=2+2a2,即b=1+a2,∴b=1+a2a,∴c≥ba.,1,043)21(1222aaaaaA3.已知a,b为非零实数,且ab,则（）A.a2b2B.a2bab2C.2a-2b0D.解析取a=-4,b=2即可判断选项A、B、D错.ba11C4.已知a、b满足0ab1，下列不等式中成立的是（）A.aabbB.aabaC.bbabD.bbba解析取特殊值法..D,)21()21(.C,)21()41(.A,)21(,)21()41(,21,4141212121212141错错错则令abbbbabbbababaB5.设0ba1，则下列不等式成立的是（）A.abb21B.C.2b2a2D.a2ab1解析∵y=2x是单调递增函数,且0ba1,∴2b2a21,即2b2a2.0loglog2121abC6.若则下列不等式:①a+bab;②|a||b|;③ab;④中，正确的不等式是（）A.①②B.②③C.①④D.③④解析取a=-1,b=-2,验证排除②③.,011ba2baabC二、填空题7.设abc0,则x,y,z的大小顺序是_______.解析方法一y2-x2=2c(a-b)0,∴yx.同理，zy,∴zyx.方法二令a=3,b=2,c=1，故zyx.zyx,)(22cbax,)(22bac,26,20,18zyx则zcaby,)(228.下列四个不等式：①a0b;②ba0;③b0a;④0ba,其中能使成立的充分条件有________.解析因此①②④能使b-a与ab异号.①②④ba11,异号与ababababba0119.给出下列四个命题：①若ab0,则②若ab0,则③若ab0,则④设a,b是互不相等的正数，则其中正确命题的序号是_____.（把你认为正确命题的序号都填上）;11ba;11bbaa;22bababa.21||baba解析①作差可得而ab0,则此式错误.②ab0，则进而可得所以可得正确.③若错误.④a-b0时此式不成立,错误.答案②,ababba11,0abab,ba11,ba11bbaa11,)())(()()()()(0222222222bbaababbbaabbbabaababbababa三、解答题10.已知ab,ef,c0，求证：f-ace-bc.证明∵ab,c0,∴acbc.又∵ef,∴e+acf+bc.∴