高数：常数项级数的审敛法

二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法机动目录上页下页返回结束第十一章四、小结思考题一、正项级数及其审敛法1.定义:，中各项均有如果级数01nnnuu这种级数称为正项级数.nsss212.正项级数收敛的充要条件:定理.有界部分和所成的数列正项级数收敛ns部分和数列为单调增加数列.}{ns且),2,1(nvunn,若1nnv收敛,则1nnu收敛；反之，若1nnu发散，则1nnv发散.证明nnuuus21且1)1(nnv设,nnvu,即部分和数列有界.1收敛nnu均为正项级数，和设11nnnnvu3.比较审敛法nvvv21nns则)()2(nsn设,nnvu且不是有界数列.1发散nnv推论:若1nnu收敛(发散)且))((nnnnvkuNnkuv,则1nnv收敛(发散).定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.例1讨论P-级数ppppn14131211的收敛性.)0(p解,1p设,11nnp.级数发散则P,1p设oyx)1(1pxyp1234由图可知nnppxdxn11pppnns131211nnppxdxxdx1211npxdx11)11(1111pnp111p,有界即ns.级数收敛则P发散时当收敛时当级数,1,1ppP重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.例2证明级数1)1(1nnn是发散的.证明,11)1(1nnn,111nn发散而级数.)1(11nnn发散级数4.比较审敛法的极限形式:设1nnu与1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若1nnv发散,则1nnu发散;,limlvunnnl00ll1nnv1nnu证明lvunnnlim)1(由,02l对于,N,时当Nn22llvullnn)(232Nnvluvlnnn即由比较审敛法的推论,得证.设1nnu为正项级数,如果0limlnunn(或nnnulim),则级数1nnu发散;如果有1p,使得npnunlim存在,则级数1nnu收敛.5.极限审敛法：例3判定下列级数的敛散性:(1)11sinnn;(2)131nnn;解)1(nnnn3131limnnn11sinlim,1原级数发散.)2(nnn1sinlimnnn311lim,1,311收敛nn故原级数收敛.的敛散性.例4.判别级数1211nnln解:nlim221nnnlim1根据比较审敛法的极限形式知.ln收敛1211nn)1ln(21n～21n2n211nln机动目录上页下页返回结束6.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)：设1nnu是正项级数,如果)(lim1数或nnnuu则1时级数收敛;1时级数发散;1时失效.证明,为有限数时当,0对,N,时当Nn,1nnuu有)(1Nnuunn即,1时当,1时当,1取,1r使,11NmmNuru,12NNruu,1223NNNurruu,,111mNmur收敛而级数,11收敛NnnmmNuu收敛,1取,1r使,时当Nn,1nnnuruu.0limnnu发散比值审敛法的优点:不必找参考级数.两点注意:1.当1时比值审敛法失效;,11发散级数例nn,112收敛级数nn)1(,232)1(2nnnnnvu例,2)1(211收敛级数nnnnnu,))1(2(2)1(211nnnnnauu但,61lim2nna,23lim12nna.limlim1不存在nnnnnauu2.条件是充分的,而非必要.limn例5.讨论级数的敛散性.解:nnnuu1limnxn)(11nxnx根据定理4可知:,时当10x级数收敛;,时当1x级数发散;,时当1x机动目录上页下页返回结束例6判别下列级数的收敛性:(1)1!1nn;(2)110!nnn;(3)12)12(1nnn.解)1(!1)!1(11nnuunn11n),(0n.!11收敛故级数nn),(n)2(!1010)!1(11nnuunnnn101n.10!1发散故级数nnn)3()22()12(2)12(limlim1nnnnuunnnn,1比值审敛法失效,改用比较审敛法,12)12(12nnn,112收敛级数nn.)12(211收敛故级数nnn7.根值审敛法(柯西判别法)：设1nnu是正项级数,如果nnnulim)(为数或,则1时级数收敛;1时级数发散;1时失效.例7.证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.解:nnnnnu1由定理5可知该级数收敛.令,nnSSr则所求误差为2121110nnnnnr)()(1)1(1nnnnn)(111111n并估计以部分和Sn近机动目录上页下页返回结束二、交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.nnnnnnuu111)1()1(或莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(ⅰ)),3,2,1(1nuunn;(ⅱ)0limnnu,则级数收敛,且其和1us,其余项nr的绝对值1nnur.)0(nu其中证明nnnnuuuuuus212223212)()(又)()()(21243212nnnuuuuuus1u,01nnuu.lim12ussnn,0lim12nnu,2是单调增加的数列ns,2是有界的数列ns)(limlim12212nnnnnuss,s.,1uss且级数收敛于和),(21nnnuur余项,21nnnuur满足收敛的两个条件,.1nnur定理证毕.收敛收敛nn1)1(4131211)11!1)1(!41!31!211)21nn用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:nnn10)1(104103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;)111nn;!)112nn.)1103nnn发散收敛收敛!)1(1n!1n11nnnuu11011nnnn10nn1101机动目录上页下页返回结束例8判别级数21)1(nnnn的收敛性.解2)1(2)1()1(xxxxx)2(0x,1单调递减故函数xx,1nnuu1limlimnnunnn又.0原级数收敛.三、绝对收敛与条件收敛定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定理若1nnu收敛,则1nnu收敛.证明),,2,1()(21nuuvnnn令,0nv显然,nnuv且,1收敛nnv),2(11nnnnnuvu又1nnu收敛.上定理的作用：任意项级数正项级数定义:若1nnu收敛,则称1nnu为绝对收敛;若1nnu发散,而1nnu收敛,则称1nnu为条件收敛.例9.证明下列级数绝对收敛:.)()(;sin)(1214121nnnnennn证:(1),sin441nnn而141nn收敛,14nnnsin收敛因此14nnnsin绝对收敛.机动目录上页下页返回结束(2)令nnnuu1limlimn121nen)(nen2211nnenlim11e因此121nnnen)(121nnnen)(收敛,绝对收敛.机动目录上页下页返回结束内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发散满足比值审敛法limn1nunu根值审敛法nnnulim1收敛发散1不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限1机动目录上页下页返回结束3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:01nnuu0nnulim则交错级数nnnu11)(收敛概念:绝对收敛条件收敛机动目录上页下页返回结束思考与练习设正项级数1nnu收敛,能否推出12nnu收敛?提示:nnnuu2limnnulim0由比较判敛法可知12nnu收敛.注意:反之不成立.例如,121nn收敛,11nn发散.机动目录上页下页返回结束提高题1.判别级数的敛散性:解:(1)11nn发散,故原级数发散.不是p–级数(2)11nn发散,故原级数发散.机动目录上页下页返回结束2.则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析:∴(B)错;又C机动目录上页下页返回结束一、填空题:1、p级数当_______时收敛,当_______时发散；2、若正项级数1nnu的后项与前项之比值的根等于,则当________时级数收敛；________时级数发散；____________时级数可能收敛也可能发散.二、用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性:1、22211313121211nn；2、)0(111aann.练习题三、用比值审敛法判别下列级数的收敛性:1、nnn232332232133322；2、1!2nnnnn.四、用根值审敛法判别下列级数的收敛性:1、1)]1[ln(1nnn；2、121)13(nnnn.五、判别下列级数的收敛性:1、nn1232；2、13sin2nnn；3、)0()1()2ln(1anannn.六、判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?1、1113)1(nnnn；2、5ln14ln13ln12ln1；3、2ln)1(nnnn.七、若nnun2lim存在,证明:级数1nnu收敛.八、证明:0!lim3nnnanb.练习题答案一、1、1,1pp；2、1),lim(1,11nnnuu或.二、1、发散；2、发散.三、1、发散；2、收敛.四、1、收敛；2、收敛.五、1、发散；2、收敛；3、.,1;,10;,1发散发散收敛aaa六、1、绝对收敛；2、条件收敛；3、条件收敛.