搜索
·1·南京、盐城2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．4参考公式：圆锥的侧面积公式：S＝πrl，其中r为圆锥底面圆的半径，l为圆锥的母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x(x－5)＜0}，则A∩B＝________．2.已知复数z＝1＋2i，其中i为虚数单位，则z2的模为________．3.如图是一个算法流程图，若输出的实数y的值为－1，则输入的实数x的值为________．(第3题) (第4题)4.某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如图频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个．5.从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．6.已知函敬f(x)是定义在R上的奇函敷，且周期为2，当x∈(0，1]时，f(x)＝x＋，则f(a)的值为________．7.若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度后所得的图象与f(x)的π3图象关于x轴对称，则φ的最小值为________．·2·8.在△ABC中，AB＝2，AC＝，∠BAC＝90°，则△ABC绕BC所在直线旋转一周所形55成的几何体的表面积为________．9.已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，满足{a1，a2，a3}＝{b1，b2，b3}＝{a，b，－2}，其中a＞0，b＞0，则a＋b的值为________．10.已知点P是抛物线x2＝4y上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为(0，－1)，则的最PFPA小值为________．11.已知x，y为正实数，且xy＋2x＋4y＝41，则x＋y的最小值为________．12.在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x－m)2＋y2＝r2(m＞0)．已知过原点O且相互垂直的两条直线l1和l2，其中l1与圆C相交于A，B两点，l2与圆C相切于点D.若AB＝OD，则直线l1的斜率为________．13.在△ABC中，BC为定长，|＋2|＝3||.若△ABC面积的最大值为2，则边BC的长为AB→AC→BC→________．14.已知函数f(x)＝ex－x－b(e为自然对数的底数，b∈R)．若函数g(x)＝f(f(x)－)恰有4个零点，12则实数b的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC中，点D，E分别为AB，BC的中点，且平面PDE上平面ABC.(1)求证：AC∥平面PDE；(2)若PD＝AC＝2，PE＝，求证：平面PBC⊥平面ABC.316.(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝bcosC＋csinB.(1)求B的值；(2)设∠BAC的平分线AD与边BC交于点D.已知AD＝，cosA＝－，求b的值．177725·3·17.(本小题满分14分)如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A与小岛圆心C相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A向小岛建三段栈道AB，BD，BE，湖面上的点B在线段AC上，且BD，BE均与圆C相切，切点分别为D，E，其中栈道AB，BD，BE和小岛在同一个平面上．沿圆C的优弧(圆C上实线部分)上再修建栈道，记∠CBD为θ.DE︵(1)用θ表示栈道的总长度f(θ)，并确定sinθ的取值范围；(2)求当θ为何值时，栈道总长度最短．18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点(0，)．x2a2y2b2123(1)求椭圆C的方程；(2)已知△BMN是椭圆C的内接三角形．①若点B为椭圆C的上顶点，原点O为△BMN的垂心，求线段MN的长；②若原点O为△BMN的重心，求原点O到直线MN距离的最小值．19.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x3－x2－(a－16)x，g(x)＝alnx，a∈R.函数h(x)＝－g(x)的导函数h′(x)在[，4]f（x）x52上存在零点．(1)求实数a的取值范围；(2)若存在实数a，当x∈[0，b]时，函数f(x)在x＝0时取得最大值，求正实数b的最大值；(3)若直线l与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切，且l在y轴上的截距为－12，求实数a的值．·4·20.(本小题满分16分)已知无穷数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn.记Tn为数列{an}的前an项和，即Tn＝a1＋a2＋…＋an.(1)若数列{an}为等比数列，且a1＝1，S4＝5S2，求T3的值；(2)若数列{an}为等差数列，且存在唯一的正整数n(n≥2)，使得2，求数列{an}的通项公式；Tnan(3)若数列{Tn}的通项为Tn＝，求证：数列{an}为等差数列.n（n＋1）2·5·数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修42：矩阵与变换)已知矩阵M＝[]，MN＝[]．12211001(1)求矩阵N；(2)求矩阵N的特征值．B.(选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的{x＝2t，y＝12t2)正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝.若直线l交曲线C于A，B两点，π42求线段AB的长．C.(选修45：不等式选讲)已知a＞0，求证：－≥a＋－2.a2＋1a221a·6·【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖；若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖；否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．(1)若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；(2)若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23.已知集合An＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将An的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，Mm)，其中m＝2n.记集合Mk中元素的个数为ak，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0.(1)当n＝2时，求a1＋a2＋…＋am的值；(2)利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，Mm)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|ai－ai＋1|＝1.·7·2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1.{1，3} 2.5 3.－ 4.325 5. 6.0 7. 8.6π 9.5 10. 11.8 12.±1412π252225513.2 14.(1，＋ln2)1215.证明：(1)因为点D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC.(2分)因为AC⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，所以AC∥平面PDE.(4分)(2)因为点D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝AC.12因为AC＝2，所以DE＝1.因为PD＝2，PE＝，所以PD2＝PE2＋DE2，3因此在△PDE中，PE⊥DE.(8分)又平面PDE⊥平面ABC，且平面PDE∩平面ABC＝DE，PE⊂平面PDE，所以PE⊥平面ABC.(12分)因为PE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.(14分)16.解：(1)因为a＝bcosC＋csinB，由＝＝，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．(2分)asinAbsinBcsinC因为sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinCsinB，即cosBsinC＝sinCsinB．(4分)因为0＜C＜π，所以sinC≠0，所以sinB＝cosB.又0＜B＜π，所以sinB≠0，从而cosB≠0，所以tanB＝1，所以B＝.(6分)π4(2)因为AD是∠BAC的平分线，设∠BAD＝θ，所以A＝2θ.因为cosA＝－，所以cos2θ＝cosA＝－，即2cos2θ－1＝－，所以cos2θ＝.725725725925因为0＜A＜π，所以0＜θ＜，所以cosθ＝，所以sinθ＝＝.π2351－cos2θ45·8·在△ABD中，sin∠ADB＝sin(B＋θ)＝sin(＋θ)＝sincosθ＋cossinθ＝×(＋)＝.(8π4π4π42235457210分)由＝，所以AB＝＝××＝.(10分)ADsinBABsin∠ADBADsin∠ADBsinB17772102175在△ABC中，sinA＝＝，1－cos2A2425所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×(－)＝.(12分)22242572517250由＝，得b＝＝＝5.(14分)bsinBcsinCcsinBsinC175×221725017.解：(1)连结CD，因为BD与圆C相切，切点为D，所以△BCD为直角三角形．因为∠CBD＝θ，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB＝，BC＝.1tanθ1sinθ因为岸边上的点A与小岛圆心C相距3千米，所以AB＝AC－BC＝3－.(2分)1sinθ因为BE与圆C相切，所以BE＝DB＝，优弧所对圆心角为2π－(π－2θ)＝π＋2θ，1tanθDE︵所以优弧长l为π＋2θ.(4分)DE︵所以f(θ)＝AB＋BD＋BE＋l＝3－＋＋＋π＋2θ＝3＋π＋2θ＋1sinθ1tanθ1tanθ2cosθ－1sinθ.(6分)因为0＜AB＜2，所以0＜3－＜2，解得＜sinθ＜1，1sinθ13所以sinθ的取值范围是(，1)．(8分)13(2)由f(θ)＝3＋π＋2θ＋，得f′(θ)＝＋2＝.(10分)2cosθ－1sinθ－2＋cosθsin2θcosθ（1－2cosθ）sin2θ令f′(θ)＝0，解得cosθ＝.12因为θ为锐角，所以θ＝.(12分)π3设sinθ0＝，θ0为锐角，则0＜θ0＜.13π3当θ∈(θ0，)时，f′(θ)＜0，则f(θ)在(θ0，)上单调递减；π3π3·9·当θ∈(，)时，f′(θ)＞0，则f(θ)在(，)上单调递增．π3π2π3π2所以f(θ)在θ＝时取得最小值．π3答：当θ＝时，栈道总长度最短．(14分)π318.解：(1)记椭圆C的焦距为2c，因为椭圆C的离心率为，所以＝.12ca12因为椭圆C过点(0，)，所以b＝.33因为a2－c2＝b2，解得c＝1，a＝2，故椭圆C的方程为＋＝1.(2分)x24y23(2)①因为点B为椭圆C的上顶点，所以B点坐标为(0，)．3因为O为△BMN的垂心，所以BO⊥MN，即MN⊥y轴．由椭圆的对称性可知M，N两点关于y轴对称．(4分)不妨设M(x0，y0)，则N(－x0，y0)，其中－＜y0＜.33因为MO⊥BN，所以·＝0，即(－x0，－y0)·(－x0，y0－)＝0，MO→BN→3得x－y＋y0＝0.(6分)20203又点M(x0，y0)在椭圆上，则＋＝1.x4y3由解得y0＝－或y0＝(舍去)，此时|x0|＝.{x－y＋3y0＝0，x4＋y3＝1，)437323