2[1].3.2平面向量的正交分解及坐标表示

平面向量的正交分解及坐标表示复习平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1、e2唯一确定的数量。a=λ1e1+λ2e2复习G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2新课引入G与F1,F2有什么关系?把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解若两个不共线向量互相垂直时aλ1a1λ2a2F1F2G正交分解我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。ayOxxiyjji分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同向量a、b有什么关系?a＝b能说出向量b的坐标吗?b=(x,y)yxAa如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。yxOji设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；a(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.(1)(1,2)a(2)(1,2)b(1,2)A.xyoaxyo(1,2)B.解：b如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.AA1A2abcd解：同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)yxO1234-4-3-2-154321-1-2-3-4-5ji1234由图可知a=AA1+AA2=2i+3j,a=(2,3)例1.用基底i,j分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.-4-3-2-11234ABij12-2-1Oxyabcd45323(2,3)ABij23(2,3)bij23(2,3)cij23(2,3)dija的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。随堂练习1a=4,6,a=2b,b、且那么的坐标是A、(3,2)B、(2,3)C、(-3,-2)D、(-2,-3)B2a=x-2,3b=1,y+2、若向量与向量相等，那么A、x=1,y=3B、x=3,y=1C、x=1,y=-3D、x=5,y=-1B3AB=x,y,B-2,1,OA、已知的坐是那么的标坐标为A、(x-2,y+1)B、(x+2,y-1)C、(-2-x,1-y)D、(x+2,y+1)C4a=1,1,b=1,-1,c=-1,2,c13133131A-a+bBa-bCa-bD-a+b22222222、若向量那么等于、、、、B5a=3,-1,b=-1,2,-3a-2bA7,1B-7-1C-7,1D7-1、已知那么等于、、，、、，B6Bm,n,AB、已知的坐是标的坐标为(i,j),则点A的坐标为A、(m-i,n-j)B、(i-m,j-n)C、(m+i,n+j)D、(m+n,i+j)A小结平面向量的正交分解平面向量的坐标表示