[数学]第五章平稳时间序列分析

海洋与气象学院大气科学专业是概率统计学科中应用性较强的一个分支，在金融经济、气象水文、信号处理、机械振动等众多领域有着广泛的应用．第五章时间序分析按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。1900年以来上海市年最高气温记录同一对象在不同时刻的表现对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。海洋与气象学院大气科学专业第五章时间序列分析第一节基本概念第二节自回归模型(平稳时间序列的预报)第三节时间序列的的平稳性检验和平稳化处理海洋与气象学院大气科学专业一、随机过程、现实、截口二、随机过程的数学特征三、平稳时间序列（平稳随机时间序列，平稳随机过程）四、时间序列的“各态历经性”第一节基本概念海洋与气象学院大气科学专业第一节基本概念一、随机过程、现实、截口从一个具体实例认识这几个概念湛江10月1日至10月31日的日平均气温的变化过程将历年观测到的逐日平均气温作成时间演变曲线图海洋与气象学院大气科学专业湛江不同时代10月逐日平均气温变化曲线152025303512345678910111213141516171819202122232425262728293031日平均气温51海洋与气象学院大气科学专业湛江不同时代10月逐日平均气温变化曲线152025303512345678910111213141516171819202122232425262728293031日平均气温5177海洋与气象学院大气科学专业湛江不同时代10月逐日平均气温变化曲线152025303512345678910111213141516171819202122232425262728293031日平均气温517798海洋与气象学院大气科学专业湛江不同时代10月逐日平均气温变化曲线152025303512345678910111213141516171819202122232425262728293031日平均气温517798平均海洋与气象学院大气科学专业湛江不同时代10月逐日平均气温变化曲线152025303512345678910111213141516171819202122232425262728293031日平均气温517798每一条曲线都具有一般函数的性质。n=30（有30条曲线）分别记为T1(t)，T2(t)，T3(t)…..T30(t)海洋与气象学院大气科学专业对于不同年份，10月同一天的气温取值是随机的整个10月份逐日气温都是10月份逐日气温均是随机变量，共有31个是随机的一簇随机变量海洋与气象学院大气科学专业湛江不同时代10月逐日平均气温变化曲线152025303512345678910111213141516171819202122232425262728293031日平均气温517798考察这些随机变量的概率分布数学特征海洋与气象学院大气科学专业28.528.5～27.527.5～26.526.5～25.525.5～24.524.5～22.522.5～21.5……平均值方差10.12587511……28.53.4810.23578410……27.83.2910.31487531…..27.32.8910.42589470……27.52.6110.51466562……27.12.90频组数日期随时间t的推移而变化考察这些随机变量的概率分布数学特征海洋与气象学院大气科学专业随机过程随时间参数t的变化而变化的随机变量簇,记为X(t)现实随机过程X(t)的具体观测结果为xi(t)(i=1,2,3…..n),也称之为“样本函数”。截口随机过程X(t)在其随机过程中的任一固定时刻t。海洋与气象学院大气科学专业湛江不同时代10月逐日平均气温变化曲线152025303512345678910111213141516171819202122232425262728293031日平均气温517798截口截口截口现实随机过程是过程的动态描述兼有随机变量和函数的双重性质是对随机过程的静态描述海洋与气象学院大气科学专业二、随机过程的数学特征一个随机变量的统计特征完全由它的分布确定---分布函数。随机过程是由一簇随机变量构成，很难用分布函数描述，用随机过程的数学特征数学期望，方差，协方差函数，相关函数等来描述。海洋与气象学院大气科学专业1.数学期望2.方差是随机过程在相应截口t的数学期望。当t改变时，μ(t)也变，其是t的确定性函数。表明了X(t)随机过程在各个时刻的摆动中心。μ(t)=E[X(t)]σ2(t)=E[X(t)-μ(t)]2=D[X(t)]是随机过程在相应截口t的方差。当t改变时，σ2(t)也变，其是t的确定性函数。表明了X(t)随机过程在各个时刻（每个截口）的取值对于数学期望的离散程度。海洋与气象学院大气科学专业若t1=t2，上式为X(t)随机过程在截口t的方差。3.协方差函数4.标准化协方差函数（相关函数，自相关函数）是随机过程X(t)在两个不同时刻t1、t2截口的相关矩。反映了两个随机变量X(t1)、X(t2)之间的相关程度。r(t1,t2)=E{[X(t1)-μ(t1)][X(t2)-μ(t2)]})()(),(),(212121ttttrtt相当于两个不同时刻的随机变量X(t1)、X(t2)之间的相关系数性质对称性),(),(1221tttt自相关性1),(tt取值范围1|),(|21tt海洋与气象学院大气科学专业三、平稳时间序列1.随机时间序列与时间序列随机过程X(t)中，若时间参数t是离散的随机过程，或按时间顺序排列的一串随机变量，这就称为随机时间序列。随机时间序列时间序列若随机序列中每一个随机变量都取一个数值------构成随机时间序列的一个现实，故该现实就是按时间顺序排列的一串确定数值，称为时间序列。海洋与气象学院大气科学专业其原因：如各种气象要素的观测是离散进行的，因此气象台站长期定时观测记载的各种气象素值都可看成时间序列，且时间间隔是相等的。人们常常笼统地将随机时间序列和现实称为时间序列2.平稳时间序列（平稳随机过程,平稳随机时间序列）平稳随机过程随机过程的数学期望、方差、相关函数只与时间间隔τ=τ2-τ1有关，与t无关的随机过程。平稳时间序列由平稳随机过程观测到的时间序列（现实）海洋与气象学院大气科学专业平稳序列的性质Ⅰ.序列中各随机变量数的均值相等,方差相等.μ(t)=μ=C，σ2(t)=σ2=CⅡ.可用一个截口的统计特征代替所有截口的统计特征Ⅲ.序列的相关函数仅是时间间隔的函数)()()(),(1221tttt一般气象要素并不是都具备平稳性，特别是转折天气的气象要素是不具备平稳性。说明海洋与气象学院大气科学专业平稳序列时序图海洋与气象学院大气科学专业非平稳序列时序图海洋与气象学院大气科学专业四、时间序列的“各态历经性”随机过程的总体特征是用数学期望、方差、相关函数等表示的。但如何估计呢？大样本估计气象上通常只观察到一个现实年降水量年平均气温方法解决依据难因为“平稳”随机过程，其数学期望、方差、相关函数仅与时间间隔有关，与具体时间点无关，故能否以平稳过程的一个现实来确定随机过程的均值，方差，相关函数？海洋与气象学院大气科学专业平稳随机过程的“各态历经性”定义平稳随机过程的现实对时间的平均值可作为随机过程总体平均值的近似估计值。平稳随机过程的总体统计特征可由一个现实确定对于具有各态历经性的随机过程任取一个现实，延长观测时间，则这一现实就能很好地代表随机过程的整个性质。一个现实代表所有可能的现实一个现实的统计特征能代表随机过程总体的统计特征。海洋与气象学院大气科学专业X(t)tX(t)t平稳非各态历经平稳各态历经海洋与气象学院大气科学专业第二节自回归模型(平稳时间序列的预报)根据要素自身前后之间的关系建立预报的一种方法气象要素的变化过程中，前后之间存在相互制约、相互影响暖惊蛰，冷春分；春雨铺，夏雨枯；冬至不冷，冷至清明天气谚语假定要素前后期相互制约的关系是线性关系，类似的采用回归分析方法建立某一刻与前期若干时刻的线性回归方程，得出该时刻的估计值。由于该方程是根据要素前后之间的关系而建立的，故称为自回归方程。海洋与气象学院大气科学专业一、平稳时间序列的统计特征的估计量用一个现实的样本观测值的数学特征估计nttxnx11nttxxnS122)(1nttxxnS122)(11方差数学期望21)(1)(SrSxxSxxntnttntttxxxxnr1))((1)(自相关函数ρ(0)=1|ρ(τ)|≤1ρ(τ)=ρ(-τ)性质海洋与气象学院大气科学专业自相关函数的计算举例t123456789101112平均方差xt2132043-1250322.83某一平稳时间序列样本τ=127.1)]23)(20(...)23)(21()21)(22[(111)x)(x(11)1(111ttntxxnrτ=260.1)]23)(25(...)22)(21()23)(22[(101)x)(x(21)2(112ttntxxnrρ(1)=-0.45ρ(2)=-0.570海洋与气象学院大气科学专业二、自回归模型(AR(P))随机时间序列模型（timeseriesmodeling）是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,at)表示某一要素某一时刻的值与前期值之间的线性回归模型.自回归模型设标准化或距平化的时间序列在t时刻的取值与前P个时刻t-1,t-2,t-3,,,,,t-p有关，并呈线性关系。tyx4x3x2x14321即xt的值受前P个时刻的值影响xt-1、xt-2、xt-3………xt-p海洋与气象学院大气科学专业平稳时间序列二阶模型AR(2)Xt=1Xt-1+2Xt-2+at平稳时间序列P阶模型AR(P)Xt=1Xt-1+2Xt-2+……+pXt-p+at说明:对于平稳时间序列at可以忽略不计平稳时间序列一阶模型AR(1)Xt=1Xt-1+at海洋与气象学院大气科学专业1．为简化计算及对时间序列进行平稳化处理，在建立自回归模型前，先对时间序列xt进行处理标准化：距平化：xxxtdtSxxxtzt2．建模平稳时间序列自回归模型建立过程设预报时刻与前期的关系模型为(与多元线性回归相似):pztpztztztxxxx...ˆ2211pdtpdtdtdtxxxx...ˆ2211两模型的的回归系数是相同的,一般用距平变量计算。海洋与气象学院大气科学专业3．建立求解变量的回归系数的正规方程组tyx4x3x2x14321多元线性回归方程的正规方程组：yyyyrbrbrbrbrrbrbrbrbrrbrbrbrbrrbrbrbrbr4444343242141343433323213124243232221211414313212111自回归方程的正规方程组)4()0()1()2()3()3()1()0()1()2()2()2()1()0()1()1()3()2()1()0(4321432143214321海洋与气象学院大气科学专业通式：)()(...)3()2()1(..........................................................................)3()3(...)0()1()2()2()2(...)1()0()1()1()1(...)2()1()0(321321321321ppppppppppppp