第9章---矩阵位移法

第9章矩阵位移法§9-1概述§9-2单元刚度矩阵(局部坐标系）§9-3单元刚度矩阵(整体坐标系）§9-4连续梁的整体刚度矩阵§9-5刚架的整体刚度矩阵§9-6等效结点荷载§9-7计算步骤和算例§9-8忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析§9-9桁架及组合结构的整体分析§9-10小结§9-1概述结构矩阵分析方法：三位一体■以传统结构力学为理论基础；■以矩阵作为数学表述形式；■以计算机作为计算手段。结构力学传统方法与结构矩阵分析同源而有别：■在原理上同源；■在计算方法上有别：手算怕繁、电算怕乱。结构矩阵分析的要点：■离散：将整个结构分解成若干单元；■整合：将单元按一定的条件集合成整体。§9-2单元刚度矩阵（局部坐标系）1一般单元ABCED①②③④F⑤ABDE①②③④C结构的离散化§9-2局部坐标系下的单元刚度矩阵局部坐标系T123456T111222eeeuvuvΔ杆端位移向量§9-2局部坐标系下的单元刚度矩阵T123456T111222eeexyxyFFFFFFFFFMFFM■弯矩、转角：绕杆端顺时针为正；■其它：与坐标轴同向为正。杆端力向量§9-2局部坐标系下的单元刚度矩阵单元刚度方程由单元杆端位移求单元杆端力时所建立的方程。首先在杆端两端加上人为控制的附加约束，使体系发生任意指定的位移。然后根据位移推算相应的杆端力。§9-2局部坐标系下的单元刚度矩阵1121112232321112222212211223232211222212612664621261266264xyxyEAEAFuullEIEIEIEIFvvllllEIEIEIEIMvvllllEAEAFuullEIEIEIEIFvvllllEIEIEIEIMvvllll忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，得§9-2局部坐标系下的单元刚度矩阵1113232122223232222000012612600646200000012612600626400eexyxyEAEAFllEIEIEIEIFllllEIEIEIEIMllllEAEAFllEIEIEIEIFllllEIEIEIEIMllll23456eeeeFk局部坐标下的单元刚度方程§9-2局部坐标系下的单元刚度矩阵323222323222000012612600646200000012612600626400eEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllkEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll局部坐标下自由单元的单元刚度矩阵§9-2局部坐标系下的单元刚度矩阵2单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度系数的意义单位杆端位移引起的杆端力（2）单元刚度矩阵是对称矩阵反力互等定理（3）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵矩阵行列式等于零，逆阵不存在。解不唯一★由杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移（刚体位移+变形）。解唯一eeeFk1eeekF§9-2局部坐标系下的单元刚度矩阵3特殊单元连续梁单元的刚度方程11220uvuv单元刚度方程为31624224eeeEIEIMllEIEIMll非奇异，可逆单元刚度矩阵为4224eeEIEIllkEIEIll§9-3单元刚度矩阵（整体坐标系）（1）单元坐标转换矩阵局部坐标系下的杆端力整体坐标系下的杆端力§9-3整体坐标系下的单元刚度矩阵1111111122222222cossinsincoscossinsincoseeexxyeeeyxyeeexxyeeeyxyFFFFFFMMFFFFFFMM111112222222cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001eeexxyyxxyyFFFFMMFFFFMM§9-3整体坐标系下的单元刚度矩阵eeFTFcossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001T1TTT坐标转换矩阵（正交矩阵）同理：eeT§9-3整体坐标系下的单元刚度矩阵（2）整体坐标系下的单元刚度矩阵eeeFk,eeeeFTFTeeeTFkT1eeeFTkTTeeeFTkTTeekTkTeeeFk1TTT整体坐标下的单元刚度矩阵整体坐标下的单元刚度方程性质（1）整体坐标系下单元杆端位移引起的杆端力；（2）对称矩阵；（3）奇异矩阵。§9-3整体坐标系下的单元刚度矩阵例9-1试求各单元整体坐标系下的刚度矩阵。b×h=0.5m×1m、I=1/24m4、EA/l=300×104kN/m、EI/l=25×104kN.m解（1）局部坐标系下的单刚410300kN/m00300kN/m00012kN/m30kN012kN/m30kN030kN100kNm030kN50kN300kN/m00300kN/m00012kN/m30kN012kN/m30kN030kN50kN030kN100kNmkk§9-3整体坐标系下的单元刚度矩阵（2）整体坐标系下的单刚010000100000010000000010000100000001T单元①：α=0°，T=Ikk单元②：α=90°41012kN/m030kN12kN/m030kN0300kN/m00300kN/m030kN0100kNm30kN050kNm12kN/m030kN12kN/m030kN0300kN/m12kN/m00300kN/m030kN030kN50kN30kN0100kNmTkTkT§9-4连续梁的整体刚度矩阵1单元集成法的力学模型和基本概念首先，只考虑单元①的贡献111111224224iiFiiF1111211233420240000FiiFiiF1111420240000iiKii单元①的贡献矩阵§9-4连续梁的整体刚度矩阵然后，只考虑单元②的贡献211131124224iiFiiF1121123113000042024FFiiFii2222000042024Kiiii单元②的贡献矩阵§9-4连续梁的整体刚度矩阵最后，将各单元杆端力叠加，得F=F+F=K+KΔeeK=K+KK各单元贡献矩阵之和§9-4连续梁的整体刚度矩阵2按照单元定位向量集成整体刚度矩阵总体结点位移编码：1、2、3单元结点位移编码：（1）、（2）（1）编码§9-4连续梁的整体刚度矩阵12λ23λ（1）→1（2）→2单元①单元②（2）编码对应关系（1）→2（2）→3单元①的定位向量单元②的定位向量（3）换码重排座()()ijij()()ijeeijkK换码重排座§9-4连续梁的整体刚度矩阵3单元集成法的实施方案（1）先将K置零，K=0。（2）将k①元素在K中按定位向量进行类加，这时K=K①。（3）将k②元素在K中按定位向量进行类加，这时K=K①+K②。将例题9-1中的结构按“换码重排座”集成总刚将k①集成后1111420240000iiKii将k②集成后111122224202442024iiKiiiiii§9-4连续梁的整体刚度矩阵例题9-2试求连续梁的整体刚度矩阵解(1)总体编码：给定为零值的结点位移编码为零。(2)形成单元刚度矩阵11114224iikii①22224224iikii②33334224iikii③§9-4连续梁的整体刚度矩阵000000000K1111000004224iiiiK122211214222402044iiiKiiiii22221131100442242244iiiiiiiiKi整体刚度矩阵置零集成单元①的刚度矩阵集成单元②的刚度矩阵集成单元③的刚度矩阵122330(3)换码重排座§9-4连续梁的整体刚度矩阵4整体刚度矩阵的性质结点发生单位位移需要的结点力（1）整体刚度矩阵系数的意义（2）整体刚度矩阵是对称矩阵（3）连续梁整体刚度矩阵是非奇异可逆矩阵反力互等定理连续梁是几何不变体系,没有刚体位移.（4）连续梁整体刚度矩阵稀疏、带状矩阵§9-4连续梁的整体刚度矩阵121112222311114400000000000000000444224224422440044000nnnnnnnnniiiiiiiiiiiKiiiiiii对于有n个结点位移的连续梁，整体刚度矩阵为稀疏：有许多零元素。带状：只有主对角行和两条副对角线的带状区域内有非零元素。§9-5刚架的整体刚度矩阵1总体编码、局部编码总码:只对≠0结点位移进行编码局码:对每个单元的杆端位移进行编码①(2)(1)(3)(5)(4)(6)②(1)(3)(2)(5)(4)(6)ACB①②123040000yx§9-5刚架的整体刚度矩阵2整体坐标系下的单元刚度矩阵43000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030100k41203012030030000300303030100300501012030120300300003000303050300100k§9-5刚架的整体刚度矩阵3换码重排座T1230044(1)(2)(3)(6)1234(1)1300000(2)2012303010(3)303010050(6)403050100K（1）集成单元①定位向量§9-5刚架的整体刚度矩阵41230303001230(1)(2)(3)1234(1)1000(2)2010(3)30403010030301005030501000K（2）集成单元②定位向量T123000§9-5刚架的整体刚度矩阵43123123030302005030501030300001000K总体刚度矩阵为§9-5刚架的整体刚度矩阵4铰结点的处理①②③C1ABDC213245764300