第3章---静定结构的受力分析

第3章静定结构的受力分析§3-1梁的内力计算回顾§3-2静定多跨梁§3-3静定平面刚架§3-4静定平面桁架§3-5组合结构§3-6三铰拱§3-7隔离体方法及其截取顺序的优选§3-8刚体体系的虚功原理§3-9用求解器确定截面单杆(略)§3-10用求解器求解组合结构(略)§3-12小结§3-11用求解器求解一般静定结构(略)第3章静定结构的受力分析§3-1梁的内力计算的回顾1.截面的内力分量及其正负号规定轴力FN—以拉力为正剪力FQ—以绕微段隔离体顺时针转者为正弯矩M—弯矩图的纵坐标画在杆件受拉纤维一边，不标正负号§3-1梁的内力计算的回顾轴力=截面一边的所有外力沿杆轴切线方向的投影代数和。剪力=截面一边的所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和。弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的力矩代数和。3.荷载与内力之间的微分关系：如图，由平衡条件可导出2.截面法：将杆件在指定截面切开，取其中一部分为隔离体，利用平衡条件，确定此截面的三个内力分量。QQNddddddFxMqxFqxFyx§3-1梁的内力计算的回顾4.荷载与内力之间的增量关系：如图，在集中荷载作用处取微段为隔离体，由平衡条件可导出：0QNΔΔΔMMFFFFyx§3-1梁的内力计算的回顾5.荷载与内力之间的积分关系：如图，从直杆中取出荷载连续分布的一段，由积分可得：BABABAxxABxxyABxxxABxFMMxqFFxqFFdddQQQNN积分关系的几何意义：B端的轴力=A端的轴力-该段荷载qx图的面积。B端的剪力=A端的剪力-该段荷载qy图的面积B端的弯矩=A端的弯矩+此段剪力图的面积§3-1梁的内力计算的回顾6.分段叠加法作弯矩图图(a)结构荷载有两部分：跨间荷载q和端部力偶MA、MB端部力偶单独作用时，弯矩图为直线，如图(b):跨间荷载q单独作用时，弯矩图如图(c):总弯矩图为图(b)基础上叠加图(c)，如图(d):弯矩图的叠加指纵坐标的叠加，不是图形的简单拼合。§3-1梁的内力计算的回顾任意直段杆的弯矩图：以(a)中的AB端为例，其隔离体如图(b)。与图(c)中的简支梁相比，显然二者的弯矩图相同。因此：作任意直杆段弯矩图就归结为作相应简支梁的弯矩图。AB段的弯矩图如图(d)。§3-1梁的内力计算的回顾例3-1试作图示简支梁的内力图。解：（1）作剪力图kN17RAQAFFRQkN-8kN9kN17BF-7kN4kN4-8kN-kN17QEF点右侧截面的剪力BRQBF§3-1梁的内力计算的回顾（2）作弯矩图m)kN(717m)kN(231617m)kN(301627m)kN(268217m)kN(1711700RLFFECBGAMMMMMMMCE段有均布荷载，利用叠加法作弯矩图D截面的弯矩值为：)mkN(36230268442DM由数学计算：CE段Mmax=36.1kN·m公路桥使用的静定多跨梁计算简图为梁AB和CD直接由支杆固定于基础，是几何不变的—基本部分短梁BC依靠基本部分的支撑才能承受荷载保持平衡—附属部分§3-2静定多跨梁§3-2静定多跨梁木檩条构造静定多跨梁计算简图支撑关系静定多跨梁的组成次序：先固定基本部分，后固定附属部分静定多跨梁的计算原则：先计算附属部分，后计算基本部分§3-2静定多跨梁例3-2试作图示静定多跨梁的内力图。基本部分与附属部分间的支撑关系计算时拆成单跨梁§3-2静定多跨梁先计算附属部分FD，再计算梁DB，最后计算梁BA。§3-2静定多跨梁例3-3图示两跨梁，全长承受均布荷载q。试求铰D的位置，使负弯矩的峰值与正弯矩的峰值相等。解：计算AD及DC两部分，作弯矩图(a)。（a）跨中正弯矩峰值为8)(2xlq支座B处负弯矩峰值为22)(2qxxxlq二者相等：x=0.172l最后弯矩图如图(b)。（b）§3-2静定多跨梁若该用两个跨度为l的简支梁，则弯矩图为二者的弯矩峰值比为：0.086/0.125=68.8%静定多跨梁与一系列简支梁相比：材料用量可少一些构造要复杂一些1.刚架的特点：结点全部或部分是刚结点，结构内部有较大的空间。图(a)为简支梁的弯矩图，图(b)为刚架的弯矩图，在相同荷载作用下，刚架横梁跨中弯矩峰值减小。§3-3静定平面刚架§3-3静定平面刚架2.刚架的支座反力图示三铰刚架有四个未知反力整体平衡方程求FyA和FyB)(20)(2022lqfFMlqfFMyBAyAB利用右半边刚架作隔离体，则)(430)(40qfFFqfFMxAxxBC§3-3静定平面刚架图示刚架为多跨刚架刚架的组成次序为：先固定右边，再固定左边计算反力的次序应为：先算左边，再算右边考虑GE部分)kN(30xGEFM)kN(300)kN(20)kN(10yBAyABxAxFMFMFF再考虑整体平衡§3-3静定平面刚架3.刚架中各杆的杆端内力—截面法图(a)刚架取三个隔离体如图(b)、(c)、(d)对三个隔离体应用平衡条件得(下边受拉）(右边受拉）(左边受拉）mkN20kN40mkN15kN5kN4mkN5kN50QNQNQNDCDCDCDBDBDBDADADAMFFMFFMFF校核：结点D的三个平衡条件§3-3静定平面刚架4.刚架的内力图—各杆的内力图合在一起（1）求支座反力如图(a)（2）作M图，求各杆端弯矩）（下）（边受拉右边受拉202022qaMMqaMMCBBCCAAC（3）作FQ图，求各杆端剪力20QQQQqaFFFqaFCBBCCAAC（4）作FN图，求各杆端轴力02NNNNCBBCCAACFFqaFF（5）校核：结点C§3-3静定平面刚架例3-4另一种方法作图示刚架的FQ、FN图。（1）先作M图，以杆件为隔离体利用杆端弯矩求杆端剪力以AC杆为隔离体求得qaFMFMACCCAAQQ000以CB杆为隔离体求得2QQqaFFBCCB（2）求杆端轴力，取结点为C隔离体2000NNqaFFFFCAyCBx§3-3静定平面刚架例3-5作图示门式刚架的内力图。解：（1）求支反力)kN(384.10)kN(384.10)kN(5.40)kN(5.10xBxAxxBCyAByBAFFFFMFMFM（2）作M图，如图(a)。§3-3静定平面刚架（3）作FQ图，取隔离体如图(d)、(e)。由隔离体平衡条件求杆端剪力，并作图(b)。§3-3静定平面刚架（4）作FN图，取隔离体如图(f)、(g)由结点平衡条件求杆端轴力，并作图(c)。（5）校核：取结点C验算平衡条件显然满足！§3-3静定平面刚架例3-6试作图示两层刚架的M图。解：组成次序-先固定下部，再固定上部（1）先求约束力和支反力，如图(a)。（2）作M图1桁架的特点和组成由杆件组成的格构体系，荷载作用在结点上，各杆内力主要为轴力。钢筋混凝土组合屋架武汉长江大桥采用的桁架形式§3-4静定平面桁架§3-4静定平面桁架桁架内力计算时的假定（1）桁架的结点都是光滑的铰结点（2）各杆的轴线都是直线并通过铰的中心（3）荷载和支座反力都作用在结点上桁架的计算简图桁架(a)中的任意杆件，只在两端受力，CD只受轴力作用§3-4静定平面桁架平面桁架的分类（1）简单桁架由基础（图(b)）或一个基本铰接三角形（图(a)）开始，每次用不在一条直线上的两个链杆连接一个新结点而组成的桁架。§3-4静定平面桁架（2）联合桁架由几个简单桁架联合组成几何不变的的铰接体系。（3）复杂桁架不属于前两类的桁架§3-4静定平面桁架2结点法、截面法及其联合应用图(a)杆AB的杆长l及其水平投影lx和竖向投影ly组成一个三角形。图(b)杆AB的轴力FN及其水平分量Fx和竖向分量Fy组成一个三角形两个三角形是相似的，因而yyxxlFlFlFN§3-4静定平面桁架结点法：取桁架结点为隔离体，利用平面汇交力系的两个平衡条件计算各杆的轴力。轴力为正表示拉力，轴力为负表示压力。例3-7图示一施工托架的计算简图，在所示荷载作用下，试求各杆的轴力。解（1）求支反力，如图（2）作结点A的隔离体图）（）（压力拉力kN33kN8.34NNACADFF§3-4静定平面桁架（3）作结点C的隔离体图（4）作结点D的隔离体图）（）（压力压力kN8kN33NNCDCEFF）（）（拉力压力kN5.37kN4.5NNDFDEFF（5）利用对称性桁架和荷载都是对称的，桁架中的内力也是对称的。各杆的轴力如图（6）校核：取结点E§3-4静定平面桁架结点单杆的概念（1）结点只包含两个不共线的未知力杆，则每杆都是单杆。（2）结点只包含三个未知力杆，其中有两杆共线，则第三杆是单杆。§3-4静定平面桁架结点单杆的性质（1）结点单杆的内力可由该结点的平衡条件直接求出。（2）当结点无荷载作用时，结点单杆的内力必为零（称为零杆），如图桁架除红色杆件内力不为零，其余各杆都是零杆。§3-4静定平面桁架（3）可以依靠拆除单杆的方法将整个桁架拆完，则此桁架即可应用结点法将各杆内力求出。计算顺序按拆除单杆的顺序进行。图(a)单杆拆除次序如数字所示，各杆内力可用结点法求出。§3-4静定平面桁架截面法：用截面切断拟求内力的杆件，从桁架中截出一部分为隔离体，利用平面力系的三个平衡方程，计算所切各杆的未知轴力。例3-8试求图示桁架中1、2、3三杆的轴力。解：先求支反力如左图，作截面m-m，切断1、2、3杆，取右边为隔离体如图(a):）（）（）（压力压力拉力kN54.10kN7.40kN87.503N2N1NFFFMFMxdC§3-4静定平面桁架截面单杆的概念（1）截面只截断三个杆，且此三个杆不交于一点（或不彼此平行），则其中每一个杆都是截面单杆。（2）截面所截杆数大于三，但除一根杆外，其余各杆都交于一点（或都彼此平行，则此杆是截面单杆。§3-4静定平面桁架截面单杆的性质截面单杆的内力可从本截面相应的隔离体的平衡条件直接求出。AF杆是截面单杆三个桁架都是联合桁架：两个简单桁架用三个连接杆1、2、3装配而成。对图中所示的截面，连接杆1、2、3都是截面单杆，可以直接求出其轴力。§3-4静定平面桁架结点法和截面法的联合应用图示桁架求1、2的轴力用截面m-m，取左边隔离体由得到包括Fy1和Fy2两个未知量的方程。0yF由结点G的平衡，可以建立Fx1和Fx2的关系，从而就可建立Fy1和Fy2的关系，联立求解。§3-4静定平面桁架例3-9试求图示桁架中1、2、3三杆的轴力。解：先求支反力如图取截面m-m以右部为隔离体求FN4。）（拉力kN1204NFMG作截面n-n，取左部为隔离体，求FN2。00002N22FFFMxyD取结点E为隔离体）（拉力kN97.16kN12kN1203N33FFFFyxx）（压力kN1201NFFy一部分杆件是链杆，只受轴力作用；另一部分杆件是梁式杆，同时有轴力、弯矩、剪力作用。图(a)为下撑式五角形屋架，上弦为钢筋混凝土制成，下弦和腹杆为型钢。图(b)为图(a)的计算简图§3-5组合结构§3-5组合结构组合结构的计算步骤先求出各链杆的轴力再作梁式杆的内力图应尽可能避免截断梁式杆注意：杆FA和杆FC不是链杆，所以FD不是零杆由I-I左部隔离体求不出杆的轴力§3-5组合结构例3-10试作图示下撑式五角形屋架的内力图解：（1）求链杆的轴力作截面I-I取左部隔离体，如图(b)。kN150NDECFM由结点D和E，求得所有链杆的轴力如图(b)。§3-5组合结构（2）梁式杆的内力图杆AFC的受力情况如图(c)。将结点A处的竖向力合并后，受力图如图(d)。任一截面的剪力和轴力可按公式计算，Fy为该截面所受竖向力的合力。cos15sinsin15cosN