第5章---虚功原理与结构位移计算

§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移§5-2结构位移计算的一般公式§5-3荷载作用下的位移计算§5-4荷载作用下的位移计算举例§5-5图乘法§5-6温度作用时的位移计算§5-8变形体的虚功原理§5-9互等定理§5-10小结第5章虚功原理与结构位移计算§5-7用求解器进行位移计算(略)§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移位移产生的主要原因（1）荷载作用（2）温度变化和材料胀缩（3）支座沉降和制造误差刚体体系位移，无应变变形体体系位移，有应变§5-1应用虚功原理求刚体体系的位移虚力原理—虚设力系求位移图(a)中的静定梁，支座A向上移动已知距离c1，拟求B点的竖向位移△。虚设力系如图(b)abF1R虚功方程为011R1Fc1cab求得§5-1应用虚功原理求刚体体系的位移支座移动时静定结构的位移计算图(a)中支座A有给定的竖向位移cA，拟求：（1）C点的竖向位移△C（2）杆CD的转角β（1）求△C，虚设力系如图(a)虚功方程为0311ACcACc31求得（2）求β，虚设力系如图(b)虚功方程为0211Acl求得Acl21§5-1应用虚功原理求刚体体系的位移设支座K有给定位移cK，静定结构的位移计算步骤为（1）沿拟求位移△方向虚设相应的单位荷载，求出相应的（2）令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚功方程（3）由虚功方程解出拟求位移KFR01RKKcFKKcFR若△为正值，表示位移的实际方向与所设单位荷载方向一致。1.局部变形时静定结构的位移计算举例例5-1图(a)所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角θ。试求点的竖向位移△。解：实际位移状态可改用图(b)表示虚设力系如图(c)虚功方程为01MM解得§5-2结构位移计算的一般公式§5-2结构位移计算的一般公式例5-2在图中，截面B有相对剪切位移η，试求A点与杆轴成α角的斜向位移分量△。解：图(a)的实际位移状态可改用图(b)来表示。虚设力系如图(c)sinQF虚功方程为01QF解得QF§5-2结构位移计算的一般公式2.局部变形时的位移公式图(a)所示悬臂梁B点附近的微段有局部变形，其他部分没有变形。微段ds两端截面的相对位移如图(b)sssdddddd0虚设力系如图(c)虚功方程为sFFMFFMd)(ddddd0QNQN或局部变形时的位移公式§5-2结构位移计算的一般公式3.结构位移计算的一般公式根据叠加原理sFFMd)(d0QN如果结构有多个杆件sFFMd)(0QN在支座处还有给定位移cKKKcFsFFMR0QNd)(式中：弯曲变形κ对位移的影响轴向变形ε对位移的影响剪切变形γ对位移的影响支座位移cK对位移的影响KKccFsFsFsMRQNdddGAFkEAFEIMQPNPPsGAFFksEAFFsEIMMdddQPQNPNP荷载作用下弹性位移的一般公式为梁和刚架sEIMMdP桁架EAlFFsEAFFNPNNPNdEAlFFsEIMMNPNPd桁梁混合结构sEAFFsEIMMddNPNP拱§5-3荷载作用下的位移计算例5-3试求图(a)所示悬臂梁在A端的竖向位移△，并比较弯曲变形与剪切变形对位移的影响。梁的截面为矩形。实际荷载作用下的内力如图(a)虚设单位荷载作用下的内力如图(b)EIqlsEIMM8d4PMGAqlsGAFFk2QPQQ6.0dGAqlEIql24QM6.08总位移2MQ8.4GAlEI设μ=1/3，E/G=8/3I/A=h2/122MQ)(07.1lh4121%07.1101MQMQlhlh§5-4荷载作用下的位移计算举例§5-4荷载作用下的位移计算举例例5-4图(a)所示为一屋架，图(b)是屋架的计算简图。试求顶点C的竖向位移。解（1）求FNP如图(c)（2）求如图(d)NF（3）求△CEAlFFCNPN代入数据求得)(cm66.1C§5-4荷载作用下的位移计算举例例5-5图(a)所示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧AB的圆心角为α，半径为R。试求B点的竖向位移△。解：虚设荷载如图(b)图(a)中cossin21QPNP2PqxFqxFqxM图(b)中cossinQNFFxMABABABGAkqRsGAFkFEAqRsEAFFEIqRsEIMM)cos1(31d)cos31cos32(d)cos31cos32(2d32QQPQ32NNPN34PM90GAkqREAqREIqR33232Q2N4M设h/R=1/3，E/G=8/3，I/A=h2/126001MN3751MQ§5-4荷载作用下的位移计算举例例5-6试求图(a)所示简支梁两端截面A、B的相对转角△。解：虚设力系如图(b)实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图(c))0(1lxM)()1()0(PPPPlxalxaFMaxxlbFM)(2EIabFdsEIMMPP图乘法应用条件：杆件为直杆，有一个弯矩图是直线图，截面抗弯刚度EI为一常数。tanxMi图中AB杆件为直杆，Mi图是直线图，则BAKBAKixxMxMMdtand0dAxxMxBAK01d1dAyEIxMMEIxEIMMKiKi可得00tandAyAxxMMBAKi注意：y0应取自直线图中；面积A与标距y0在杆的同一边时，乘积Ay0取正号。§5-5图乘法§5-5图乘法例5-7试用图乘法计算图(a)所示简支梁B端转角△B。解：荷载作用下的MP图如图(a)虚设单位力偶作用下的如图(b)M)(241d30PEIqlAyEIsEIMMB§5-5图乘法例5-8试求图(a)所示悬臂梁中点C的挠度△C。解：MP图和如图(a)、(b)所示MM图中三角形面积为822212lllAMP图中相应的标距为lFyP065如果计算MP图面积及图上相应的标矩，如何考虑？M)(48513P0EIlFAyEIC求得§5-5图乘法例5-9试求图(a)所示刚架结点B的水平位移△。各杆截面为矩形bh，惯性矩相等，只考虑弯曲变形。解：作MP图和图，如图(b)、(c)所示MMP图的面积分为A1、A2、A3三块计算1244333231qlAqlAqlAM图上相应的标矩为23232321lylyly求得)(834EIql§5-5图乘法例5-10试分析例5-9所示刚架轴向变形对B点水平位移的影响。解：作FNP图和图如图(a)、(b)所示NF)(2d2NPNNPNNEAqllEAFFsEAFF由例5-9求得EIql834M可得222MN9134lhAlIh/l=1/10时9001MN如图(a)：设杆件的上边缘温度上升t1，下边缘上升t2，沿杆件截面厚度为线性分布，α为材料的线膨胀系数。上下边缘的温差12ttt0thtdsdhththt12210由图(b)，杆件的轴线温度shtMstFdd0N得若t0、△t、h沿每一杆长为常数则sMhtsFtddN0§5-6温度作用时的位移计算§5-6温度作用时的位移计算例5-11试求图(a)所示刚架C点的竖向位移△C。各杆截面为矩形，截面高度h=60cm，α=0.00001℃-1。解：虚设力系作图和图，如图(b)、(c)NFMC50tC10t)31(5ddN0haasFtsMhtC得)(cm93.0C则设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所作外虚功W恒等于各个微段的应力合力在变形上所作的内力虚功Wi。即iWW力系平衡条件图(a)所示直杆处于平衡状态图(b)所示微段隔离体应满足平衡条件0dd0dd0ddQQNxFMxqFxpF§5-8变形体的虚功原理§5-8变形体的虚功原理变形协调条件微段dx的三个应变分量如图(b)，可得直杆AB的位移和变形如图(a)，三个位移分量：截面的角位移θ、截面形心的轴向位移u和横向位移w。杆轴切线的角位移为xWddxWxudddd0轴线的线应变截面平均切应变§5-8变形体的虚功原理外力在位移上所作的虚功为BAAAAAAABBBBBBxqwpuwFuFMwFuFMWd)()()(QNQN微段dx两侧面的应力合力在变形上作的内虚功为xFxFMdWiddd0QN整个变形体的内虚功为)ddd(0QNxFxFMWBAi变形体虚功方程为)ddd(d)()()(0QNQNQNxFxFMxqwpuwFuFMwFuFMBABAAAAAAABBBBBB变形体虚功方程§5-8变形体的虚功原理变形体虚功方程的两种应用（1）变形体虚力方程：虚设平衡力系，则虚功方程可写为若杆件上有集中荷载作用，则变形体虚功方程为)ddd(d)(0QNPQNxFxFMFsqwpuwFuFMBABABAsFFMcFFBAKK)d(0*Q*N**R*P加*号的量表示虚设量（2）变形体虚位移方程：虚设变形形态，则虚功方程可写为sFFMcFFBAKK)d(*0Q*N**R*P§5-8变形体的虚功原理单位支座位移法结构处于某个平衡受力状态，已知荷载FP和各杆内力M、FN、FQ，拟求某个支座反力（或约束反力）FR1。虚设与FR1相应的单位支座位移代入虚位移方程得1*1c*1PP*01Q*1N*11R)d(FsFFMFBA若为静定结构，当虚设单位支座位移时，虚设应变为零，则*1PP1RFF应用条件：材料处于弹性阶段，应力与应变成正比。结构变形很小，不影响力的作用。1.功的互等定理状态I的力系在状态Ⅱ的位移和变形上作虚功，可写出虚功方程为sGAFFkEIMMEAFFFWd)(QQNNP12状态Ⅱ的力系在状态I的位移和变形上作虚功，可写出虚功方程为sGAFFkEIMMEAFFFWd)(QQNNP21显然PPFF即2112WW§5-9互等定理§5-10小结2.位移互等定理如图(a)、(b)，由功的互等定理212P121PFF令ijjijFP或ijjijFPij—称为位移影响系数可得211P2P122P1PFFFF2112即§5-10小结3.反力互等定理如图(a)、(b)，由功的互等定理112R221RcFcF令jijijcFrR或jijijcrFRijr—称为反力影响系数可得12122121crccrc1221rr即§5-10小结4.位移反力互等定理如图(a)、(b)，由功的互等定理0212R121PcFF即212R121PcFF令12212c21P112RrFF21212cP12112RFrF或21P122121PcFrcF可得即1212r1.位移计算的一般公式及灵活应用KKcFsFFMR0QNd)(要虚设力系—虚力法：以单位荷载为标志—单位荷载法△：拟求的广义位移，FP=1：与△共轭的单位广义荷载。2.变形体虚功方程的两类形式虚设力系—虚力方程：求位移虚设位移和变形形态—虚位移方程：求支座反力或约束反力3