平稳时间序列模型

平稳时间序列模型一阶自回归模型1一般自回归模型2AR模型平稳性判别3一阶自回归模型n1、定义：如果时间序列（t=1,2,3....)有一定的依存关系，最简单的就是与其前一时刻的行为有关，而与其前一时刻以前的行为无直接关系，描述这种关系的数学模型就是一阶自回归模型。表达式为：=+记做AR（1）XtXt1-XtXt1-φ1atXt一阶自回归模型为零均值（即中心化处理后的）平稳序列为对的依赖程度为随机扰动项，也叫随机误差项,是一个白噪声序列E（）=0，Var()=Xtφ1XtXt1-atatatσ2a2、特点：1、≠0，保证模型最高阶数为12、对有一定的依赖性（p69图3-7）3、为独立正态同分布序列记~NID（0，）4、与（j=1,2...)独立一阶自回归模型XtXt1-atatσ2aat-Xjtφ1一阶自回归模型3、AR（1）与普通一元线性回归的比较：一元线性回归=b+一阶自回归=+两个变量，Y为随机变量,X为确定变量一个变量，为随机变量静态条件动态条件E（）=0var（）=var（)=0cov()=0（i≠j)E()=0E()=0(j=1,2..)Var()=E()=0(s≠t)条件回归无条件回归YiXiεiXtφ1Xt1-atXtεiεiσ2Xiεiεiεjatat-Xjt二者联系：固定时刻t-1，且观察值已知时，AR（1）就是一个普通的一元回归线性模型了Xt1-atσ2aatas一阶自回归模型4、相关序列的独立化过程：=+（1）这里是相关的，而大多数统计方法都是以资料独立为基础的，对（1）式进行转换=-（2）（2）式揭示了AR（1）的一个实质性问题：AR（1）模型是一个使相关数据转化为独立数据的变化器。Xtφ1Xt1-atXtatXtφ1Xt1-=-因为的依懒性主要表现为对的直接依赖性，显然只要把中依赖于的部分消除掉，剩下的部分（-）自然就是独立的了。一阶自回归模型XtXtXt1-atXtφ1Xt1-XtXt1-Xtφ1Xt1-一阶自回归模型图2.1给出了模拟的=0.2+序列，共计100个数据。从模拟的数据可以看出，序列是围绕着均值0上下波动，没有明显趋势特征。图2.1XtXt1-atXt一阶自回归模型5、AR（1）模型的特例——随机游动（1）=1时AR（1）模型为=+即-=▽=（2）特例形式的特性：①系统具有极强的一期记忆性，系统在t-1时和t时刻的响应完全一致，差异完全由扰动引起。②在时刻t-1时系统的一步超前预测就是系统在t-1时的响应，即=③系统行为是一系列独立随机变量的和，即=∑φ1XtXt1-atXtXt1-atXtatXt1-Xt）（11-Xt1-Xtajt-一阶自回归模型图2.2给出了模拟的随机游走序列，原始数据共100个图2.2一阶自回归模型对比图2.1和图2.2可以发现，随机游走过程在一定时间段具有一定的上升或下降趋势，也就是运动的方向有一定的连续性。与图2.1不同，随机游走序列并不是围绕某个数值上下波动。一般自回归模型1、AR（2）模型：=+模型中仅与有关，而与无关，当与有关时，AR（1）模型就不再适应了，即与不独立。用表示与存在相关关系，于是有：=+①=+②φ1Xt1-atXtXt1-Xt2-XtXt2-Xt2-Xtatat'Xt2-Xtφ1Xt1-at'at'φ2Xt2-at一般自回归模型②代入①中得=++是一个AR（2）模型。≠0Xtφ1φ2Xt2-at2、AR（2）模型的假设与结构（1）基本假设：①仅与和有直接关系②是一个白噪声序列（2）结构AR（2）模型由①依赖于的部分用表示三部分组成②依赖于的部分用表示③独立于前两部分的白噪声XtXt1-Xt2-at{Xt1-φ1Xt1-Xt2-φ2Xt2-atXt1-φ2一般自回归模型（3）序列的独立化过程AR（2）模型可以表示为=--通过把中依赖于和的部分消除掉，使序列转化为独立的序列atXtφ1Xt1-φ2Xt2-XtXt1-Xt2-Xtat一般自回归模型3、一般自回归模型=++AR（2）当不仅与和有关，而且与有关时，AR（2）模型就不再是适应模型了，即与不独立。用表示与存在相关关系，于是有=++③=+④Xtφ1Xt1-φ2Xt2-atXtXt1-Xt2-Xt3-atXt3-at'Xt3-Xtφ1Xt1-φ2Xt2-at'at'φ3Xt3-at一般自回归模型把④代入③中，得=+++即=---可见，与，，有关，所以上式是一个AR（3）模型.≠0Xtφ1Xt1-φ2Xt2-φ3Xt3-atatφ1Xt1-Xtφ2Xt2-φ3Xt3-XtXt1-Xt2-Xt3-φ3一般自回归模型如果AR（3）模型中不再是白噪声序列，而且不仅与，，有关，而且与（j=4,5...n)相关时，AR（3）模型同样不再是适应模型了，通过类推法，可以得到一般自回归模型：即AR（n)模型---....-=≠0atXtXt1-Xt2-Xt3-Xjt-Xtφ1Xt1-φ2Xt2-φnXnt-atφn一般自回归模型一般自回归模型的基本假设（1）仅与，，....有线性关系，而在，，....已知条件下，与（j=n+1,n+2,...)无关（2）是一个白噪声序列XtXt1-Xt2-Xnt-Xt1-Xt2-Xnt-XtXjt-at一般自回归模型AR（n)模型也可表示为=++....++上式表明AR（n)模型由n+1个部分组成：第一部分依赖于，用表示；第二部分依赖于，用表示；....第n部分依赖于，用表示；第n+1部分是独立于前n部分的白噪声Xtφ1Xt1-φ2Xt2-φnXnt-atXt1-φ1Xt1-Xt2-φ2Xt2-Xnt-φnXnt-at一般自回归模型序列的独立化过程=---....-可见，AR（n)系统的响应具有n阶动态性。AR（n)模型通过把中依赖于，...的部分消除掉之后，使得具有n阶动态性的序列转化为独立的序列。atXtφ1Xt1-φ2Xt2-φnXnt-XtXtXt1-Xt2-Xnt-Xtat一般自回归模型判断一个AR(n)模型是否符合实际的标准就是看其是否违背前面给定的基本假设最后...AR模型平稳性判别要拟合一个平稳序列的发展，用来拟合的模型显然也应该是平稳的，AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但非所有的AR模型都是平稳的。看一下如下四个AR模型的平稳性，拟合这四个序列的序列值，并绘制时序图。AR模型平稳性判别图1=0.8+图2=-1.1+XtXt1-atXtXt1-atAR模型平稳性判别图3=-0.5+XtXt1-Xt2-at图4=+0.5+XtXt1-Xt2-atAR模型平稳性判别通过这四个图可以粗略的看出（1）（3）模型是平稳的，（2）（4）模型是非平稳的，但这只是一种粗糙的判别方法，下面介绍两种准确的平稳性判别方法：特征根判别和平稳域判别AR模型平稳性判别1、AR(n)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内。(特征根判别）2、使得特征根都在单位圆内的系数集合{，，...|特征根都在单位圆内}被称为AR（n)模型的平稳域。（平稳域判别）φ1φ2φnAR模型平稳性判别AR（1)模型：-=，其特征方程为：-=0，特征根为：=，所以AR（1）平稳的充要条件是||1所以AR（1）模型的平稳域就是{|-11}Xtφ1Xt1-atλφλφφφφAR模型平稳性判别AR(2)模型：--=其特征方程为：--=0特征根为=，=AR（2）平稳的充要条件是||1,||1平稳域为{，|||1,且1}Xtφ1Xt1-φ2Xt2-atλ2φ1λφ2λ12φ)4(1φφ221++λ22φ)4(-1φφ221+λ1λ2φ1φ2φ2φ2±φ1AR模型平稳性判别Xt(1)=0.8+(4)=+0.5+Xt1-atXtXt1-Xt2-at模型特征根判别平稳域判别结论模型（1）=0.8=0.8平稳模型（4）===0.5+=1.5－=﹣0.5非平稳λ1φ231+λ1λ223-1φ2φ2φ1φ2φ1Thankyou!