第11章---静定结构总论

第11章静定结构总论§11-2零载法§11-3空间杆件体系的几何构造分析§11-4静定空间刚架§11-5静定空间桁架§11-6悬索结构§11-7静定结构的一般性质§11-8各种结构形式的受力特点§11-9简支梁的包络图和绝对最大弯矩§11-10位移影响线§11-11小结§11-1几何构造分析与受力分析之间的对偶关系§11-1几何构造分析与受力分析之间的对偶关系1.从计算自由度W的力学含义和几何含义看对偶关系W的几何含义：W=各部件的自由度总数-全部约束数W的力学含义：（1）W＞0，平衡方程个数大于未知力个数，体系不能维持平衡，体系为几何可变；（2）W＜0，平衡方程个数小于未知力个数，体系能维持平衡，体系有多余约束；（3）W=0，平衡方程个数等于未知力个数，方程组的系数行列式DD≠0，方程组有唯一解，体系几何不变且无多余约束D=0，方程组无解或有无穷多解，体系几何可变且有多余约束§11-1几何构造分析与受力分析之间的对偶关系2.从W=0的一个简例看对偶关系图(a)为一个W=0的对称体系，分析此体系几何构造分析和受力分析之间的对偶关系。几何构造分析：α≠0，体系几何不变且无多余约束；α=0，体系为几何可变（瞬变）且有多余约束。受力分析（如图(b)、(c)）：yxFFFFFFsinsincoscos21212sinsinsincoscosD得α≠0，D≠0，平衡方程组有唯一解α=0，D=0，F1-F2=Fx，Fy=0，无解或解不唯一1.零载法及其应用举例零载法：对于W=0的体系如果几何不变，在荷载为零时，它的全部内力都为零；如果几何可变，在荷载为零时，它的某些内力可不为零。图(a)所示体系，W=0，几何不变；荷载为零，全部支座反力都为零。图(b)所示体系，W=0，几何可变；荷载为零，水平支座反力Fx可以不为零。自内力：荷载为零而内力不全为零的内力状态。§11-2零载法§11-2零载法例11-1试用零载法检验图(a)所示桁架的几何不变性。解：W=2×10-20=0，可用零载法，得0yByAxAFFF由结点A、B、C、G的平衡条件得00NNNNNNNNGIGFCICDBHBGAJACFFFFFFFF余下部分如图(b)，FNEI=0，设：FNDH=X可见：X为任一值时，各结点都能保持平衡。即：桁架可以有自内力存在，是几何可变体系。§11-2零载法例11-2试用零载法检验图(a)所示桁架的几何不变性。解：W=0，可用零载法，支座反力为零，且0INANNNHHGFGEFFFF余下部分如图(b)，设：FNAB=X(为初参数)按B、C、D、E、F的次序应用结点法：XFXFXFXFFFAEFDECDBC22222NNNNN结点A的隔离体如图(c)，求得X=0。即各杆轴力全部为零，不存在自内力，体系几何不变。—初参数法或通路法。§11-2零载法2.从虚功原理角度看零载法图(a)所示两体系W=0在零荷载作用下，应用虚功原理求约束力FX。得到如图(b)的体系虚功方程为0XXF00XXF000XXF所有约束力都应为零，体系中不存在自内力状态。FX可为任意值，体系中存在自内力状态。在W=0的体系中：自内力状态能(否)存在是体系几何可(不)变的标志。空间结构：杆件轴线不在同一平面内的结构。1.空间几何不变体系的组成规律（1）一点与一刚体之间的联接方式一点在空间内有三个自由度，即沿三个坐标轴方向的移动。图(a)中点O由三根不在同一平面内的链杆固定在基础上，结点O在空间的位置便固定了。图(b)中三根链杆在同一平面内，结点O沿平面AOB的法线方向可以移动。体系有一个自由度，有一个多余约束。§11-3空间杆件体系的几何构造分析§11-3空间杆件体系的几何构造分析规律1空间中一点与一刚体用三根链杆相连，且三链杆不在同一平面内，则组成几何不变的整体，且无多余约束。如图，当刚片ABC是一平面铰接三角形时，与平面外一点O用三链杆按规律1联结成一个铰接四面体。即一个铰接四面体的形状是几何不变，且无多余约束的。§11-3空间杆件体系的几何构造分析（2）两个刚体之间的联接方式一个刚体在空间内有六个自由度，即沿三个坐标轴方向的移动和绕三个坐标轴的转动。即将一刚体固定到另一刚体(基础)上需要六根链杆。图(a)中六根支杆不交于同一直线，体系无多余约束且几何不变。图(b)中六根支杆交于同一直线AB，刚体可绕直线AB转动，体系是可变的。图(c)中支杆4、5、6互相平行，三杆在无穷远处交于一点，体系是可变的。§11-3空间杆件体系的几何构造分析规律2一刚体与另一刚体(基础)用六根链杆相联，如链杆中有三根交于一点而不在同一平面内，当六根链杆不交于同一直线时，则组成几何不变的整体，且无多余约束。图(a)中六根支杆不交于同一直线，体系是几何不变体系。图(b)中1、3、5、6四根支杆互相平行，刚体可绕直线BB’转动，体系是可变的。图(c)中2、4、5、6四根支杆位于同一平面内，六杆支杆都交于直线BD，体系是可变的。§11-3空间杆件体系的几何构造分析规律3一刚体与另一刚体(基础)用六根链杆相联，如链杆中有三根位于同一平面内而不交于一点，当六根链杆不交于同一直线时，则组成几何不变的整体，且无多余约束。例11-3试分析图示体系的几何构造。解去掉六根支杆，分析体系内几何构造ABCD是一个铰接四面体，在此基础上：按规律1由BE、CE、DE联结结点E，构成一个大刚体；重复应用规律1，依次联结结点F、G、H，构成几何不变且无多余约束的整体。由规律2，体系是无多余约束的几何不变体系。§11-3空间杆件体系的几何构造分析2.空间铰接体系的计算自由度W体系的结点总数：j链杆与支杆的总数：b计算自由度W为：W=3j-b若W＞0：体系是几何可变的；若W＜0：体系有多余约束；若W=0：体系可能是几何不变且无多余约束，也可能是几何可变且有多余约束。例11-4计算例11-3所示体系的计算自由度W。解：j=8，b=24，W=3j-b=01内力计算空间结构杆件轴线与荷载不在同一平面内，如图所示。杆件截面一般有六个内力分量，如图所示。FN—轴力，沿杆件轴线方向作用；FQ1、FQ2—剪力，分别沿截面两个主轴方向作用；Mt—扭矩，绕杆件轴线旋转的力偶矩；M1、M2—弯矩，分别绕截面两个主轴旋转的力偶矩。§11-4静定空间刚架§11-4静定空间刚架作图示空间刚架的内力图（设上边受拉为正）。（1）求杆BC的杆端内力，隔离体如图(a)。2PtQPQN)(00)(00)(00)(0)(000lFMMMMMMFFFFFFFBCzzBCyyBCxBCzzBCyyBCx（2）求杆AB的杆端B内力，隔离体如图(b)。2PNPQQ)(00)(00)(000)(00)(0lFMMMMMMFFFFFFFBAzzBAyyBAxxBAzBAyyBAxx求杆AB的杆端A内力，隔离体如图(c)。2P1PNPQQ)(00)(0)(000)(00)(0lFMMMMlFMMFFFFFFFABzzAByyABxxABzAByyABxx§11-4静定空间刚架（3）作内力图图(a)为弯矩图，杆AB为Mx图，杆BC为Mz图。图(b)为扭矩图，要注明正负号。图(c)为剪力图，图中箭头为杆轴线的正方向。各杆在正面上的剪力均指向下边，因而剪力图画在杆件下边。§11-4静定空间刚架例11-5图(a)所示刚架承受空间平衡力系，试作内力图。解：利用对称性，只需求半结构ABCD的内力（1）作弯矩图杆AB的A端B端00PyxyxMaFMMM）（下杆BC的B端C端00PzyzyMMaFMM）（上杆CD的C端D端020PPyxyxMaFMMaFM）（）（下下§11-4静定空间刚架（2）作扭矩图杆ABaFMPt杆ACaFMPt杆CD0tM（3）作剪力图PQFFy剪力图画在杆件正面上剪力指向的一侧§11-4静定空间刚架2.位移计算：只考虑空间杆绕截面两个主轴的弯矩和绕杆轴线的扭矩影响。计算公式为：sEIMMsEIMMsEIMMtzzzyyydddttPPP例11-6试求图(a)所示刚架C点的竖向位移△。各杆EI和GIt为常数。解虚设单位荷载如图(b)，两种状态内力图如(c)、(d)、(e)、(f))(3d3231PP1llEIFsEIMMt221PttPt2dGIllFsGIMM)()(3t221P3231P21GIllFllEIF1空间桁架的应用网架结构、塔架、起重机构架等。网架结构广州电视塔§11-5静定空间桁架§11-5静定空间桁架1.空间桁架的几何构造空间桁架由结点和链杆组成：j—结点数；b—链杆和支杆的总数空间桁架的计算自由度W为：W=3j-b体系可变：W＞0体系几何不变且无多余约束：W=0组成几何不变空间桁架的最简单规则：从一个平面三角形(或基础)开始，依次用三根不在同一平面内的链杆固定一个新结点。如图(a)、(b)，都是按A，B，C…的次序依次增加结点组成的。§11-5静定空间桁架3.结点法和截面法结点法截取结点为隔离体，其三个平衡条件：000zyxFFF计算内力时，常将杆件的轴力FN分解为沿x、y、z三个方向的分力Fx、Fy、Fz。如图所示：设杆件AB长为l，其在x、y、z三个方向的投影为lx、ly、lz，则存在下列关系：lFlFlFlFzzyyxxN§11-5静定空间桁架例11-7试求图(a)所示桁架各杆的轴力。解：求各杆长lAD=lBD=4.47mlCD=5m取结点D为隔离体如图(b)所示kN30yDCyFF可得kN5kN4NDCzDCFFxDBxDAxFFF0可得BDADyDByDAFFFFNN0kN40zDBzDAzFFFkN24.2kN2NNDBDAzDBzDAFFFF§11-5静定空间桁架例11-8如图所示一锥形桁架，底面ABCD为长方形，荷载FP与a边平行。试求反力及各杆轴力。解求支反力006RFMADP5R0FahFMABP3R0FahFFyP1R0FFFx20P2RFabFMyD20P4RFabFFz结点C0NNNCDCBCEFFF结点B0NNNBABDBEFFF结点D20,440PN222PNFFFbahaFFFDAxDEy结点A440222PNbahaFFFAEy杆件AE、AD、DE与FP在平面内平衡。§11-5静定空间桁架特殊情况（1）除FN以外，其余各力均在同一平面内，则：FN=0，如图(a)。（2）不在同一平面内的三个力平衡，则：FN1=FN2=FN3=0，如图(b)。（3）除在一直线上两个方向相反的力，其余各力都在同一平面内，则：FN=FP，如图(c)。§11-5静定空间桁架图示结构为支撑贮灌的塔架，承受竖向荷载和水平荷载。根据叠加原理，可将荷载分开求解。以荷载FP1为例如图所示。结点法求解结点6：除杆61外，其余三杆在一平面内，FN61=0结点5：同理，FN56=0依次取结点4、3、2：FN45=FN34=FN23=0依次取结点6、5、4、3：各杆都是零杆结点1：FN1F=0平面12BA内的杆件有内力，可按平面桁架计算。§11-5静定空间桁架4.分解成平面桁架法图(a)为一空间桁架，将作用在E点的荷载FP沿EH、EF、EA三个方向分解为FP1、FP2、FP3三个分力，分别计算每个分力产生的内力并叠加既得所要解答。FP1只使平面桁架ADHE受力，其余各杆轴力为零。如图(b)：FP2只使平面桁架ABEF受力，其余各杆轴力为零。如图(c)：FP3只使杆AE受压，其余各杆轴力为零。如图(d)：1悬索结构的特点由一系列受拉的索