二次函数与几何图形

二次函数与几何图形综合题与线段有关的问题【例1】如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A.(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的解析式；(2)连接AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；(3)连接OM，在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系．解：(1)将点B，点C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋4，可得4a－2b＋4＝0，64a＋8b＋4＝0，解得a＝－14，b＝32，∴二次函数的解析式为y＝－14x2＋32x＋4(2)设点N的坐标为(n，0)(－2＜n＜8)，则BN＝n＋2，CN＝8－n.∵B(－2，0)，C(8，0)，∴BC＝10，在y＝－14x2＋32x＋4中令x＝0，可解得y＝4，∴点A(0，4)，OA＝4，∴S△ABN＝12BN·OA＝12(n＋2)×4＝2(n＋2)，∵MN∥AC，∴AMAB＝NCBC＝8－n10，∴S△AMNS△ABN＝AMAB＝8－n10，∴S△AMN＝8－n10S△ABN＝15(8－n)(n＋2)＝－15(n－3)2＋5，∵－15＜0，∴当n＝3时，即N(3，0)时，△AMN的面积最大(3)当N(3，0)时，N为BC边中点，∵MN∥AC，∴M为AB边中点，∴OM＝12AB，∵AB＝OA2＋OB2＝16＋4＝25，AC＝OC2＋OA2＝64＋16＝45，∴AB＝12AC，∴OM＝14AC[对应训练]1．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC.点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．(1)求b，c的值；(2)如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；(3)如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．解：(1)∵CD∥x轴，CD＝2，∴抛物线对称轴直线为x＝1.∴－b2＝1，b＝－2，∵OB＝OC，C(0，c)，∴B点的坐标为(－c，0)，∴0＝c2＋2c＋c，解得c＝－3或c＝0(舍去)，∴c＝－3(2)设点F的坐标为(0，m)．∵对称轴为直线x＝1，∴点F关于直线l的对称点F′的坐标为(2，m)．由(1)可知抛物线解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴E(1，－4)，∵直线BE经过点B(3，0)，E(1，－4)，∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝2x－6.∵点F′在BE上，∴m＝2×2－6＝－2，∴点F的坐标为(0，－2)(3)存在点Q满足题意．设点P坐标为(n，0)，则PA＝n＋1，PB＝PM＝3－n，PN＝－n2＋2n＋3.作QR⊥PN，垂足为R，∵S△APM＝S△PQN，∴12(n＋1)(3－n)＝12(－n2＋2n＋3)·QR，∴QR＝1.①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为(n－1，n2－4n)，R点的坐标为(n，n2－4n)，N点的坐标为(n，n2－2n－3)．∴在Rt△QRN中，NQ2＝1＋(2n－3)2，∴n＝32时，NQ取最小值1.此时Q点的坐标为(12，－154)；②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为(n＋1，n2－4)．同理，NQ2＝1＋(2n－1)2，∴n＝12时，NQ取最小值1.此时Q点的坐标为(32，－154)．综上可知，存在满足题意的点Q，其坐标为(12，－154)或(32，－154)与角有关的问题【例2】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－3，0)，B(5，0)，C(0，5)三点，O为坐标原点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若把抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)向下平移133个单位长度，再向右平移n(n＞0)个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；(3)设点P在y轴上，且满足∠OPA＋∠OCA＝∠CBA，求CP的长．解：(1)把A，B，C三点的坐标代入函数解析式，可得9a－3b＋c＝0，25a＋5b＋c＝0，c＝5，解得a＝－13，b＝23，c＝5，∴抛物线解析式为y＝－13x2＋23x＋5(2)∵y＝－13x2＋23x＋5，∴抛物线顶点坐标为(1，163)，∴当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)向下平移133个单位长度，再向右平移n(n＞0)个单位长度后，得到的新抛物线的顶点M坐标为(1＋n，1)，设直线BC解析式为y＝kx＋m，把B，C两点坐标代入可得5k＋m＝0，m＝5，解得k＝－1，m＝5，∴直线BC的解析式为y＝－x＋5，令y＝1，代入可得1＝－x＋5，解得x＝4，∵新抛物线的顶点M在△ABC内，∴1＋n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，即n的取值范围为0＜n＜3(3)当点P在y轴负半轴上时，如图1，连接AP，过点P作PD⊥AC，交CA的延长线于点D，由题意可知OB＝OC＝5，∴∠CBA＝45°，∴∠PAD＝∠OPA＋∠OCA＝∠CBA＝45°，∴AD＝PD，在Rt△OAC中，OA＝3，OC＝5，可求得AC＝34，设PD＝AD＝m，则CD＝AC＋AD＝34＋m，∵∠ACO＝∠PCD，∠COA＝∠PDC，∴△COA∽△CDP，∴COCD＝AOPD＝ACPC，即534＋m＝3m＝34PC，由534＋m＝3m可求得m＝3342，∴33342＝34PC，解得PC＝17，可求得PO＝PC－OC＝17－5＝12，如图2，在y轴正半轴上截取OP′＝OP＝12，连接AP′，则∠OP′A＝∠OPA，∴∠OP′A＋∠OCA＝∠OPA＋∠OCA＝∠CBA，∴P′也满足题目条件，此时P′C＝OP′－OC＝12－5＝7，综上可知，PC的长为7或17[对应训练]2．已知抛物线的解析式为y＝－120x2＋bx＋5.(1)当自变量x≥2时，函数值y随x的增大而减少，求b的取值范围；(2)如图，若抛物线的图象经过点A(2，5)，与x轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于B.①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P，使得∠PAB＝∠ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)抛物线的对称轴为直线x＝10b，由题意可知：x≥2时，函数值y随x的增大而减少，∴10b≤2，∴b≤15(2)①将A(2，5)代入抛物线的解析式中，∴5＝－120×4＋2b＋5，∴b＝110，∴抛物线的解析式为y＝－120x2＋110x＋5，②由于∠PAB＝∠ABC，当点P在对称轴的左侧时，此时∠PAB＝∠ABC，∴PA∥BC，∴P的纵坐标与A的纵坐标相同，∴P(0，5)，当P在对称轴的右侧时，连接AP并延长交x轴于点E，此时∠PAB＝∠ABC，∴AE＝BE，过点A作AG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，过点E作EF⊥AB于点F，∵B(1，0)，A(2，5)，∴AG＝5，BG＝1，∴由勾股定理可知：AB＝26，∵AE＝BE，EF⊥AB，∴BF＝12AB＝262，∵cos∠ABC＝BGAB＝2626，∴cos∠ABC＝BFBE＝2626，∴BE＝13，∴GE＝BE－BG＝12，∴tan∠AEG＝AGGE＝512，设P(x，－120x2＋110x＋5)，∵E(14，0)，∴HE＝14－x，PH＝－120x2＋110x＋5，∴tan∠PEH＝PHHE＝512，即－120x2＋110x＋514－x＝512，解得x＝2(舍去)或x＝253，∴P(253，8536)，综上所述，P(0，5)或P(253，8536)与面积有关的问题【例3】已知抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为3102？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)令抛物线y＝ax2＋bx－3中x＝0，则y＝－3，∴点C的坐标为(0，－3)．∵抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，(3，0)两点，∴有0＝a－b－3，0＝9a＋3b－3，解得a＝1，b＝－2，∴此抛物线的解析式为y＝x2－2x－3(2)将y＝kx代入y＝x2－2x－3中得kx＝x2－2x－3，整理得x2－(2＋k)x－3＝0，∴xA＋xB＝2＋k，xA·xB＝－3.∵原点O为线段AB的中点，∴xA＋xB＝2＋k＝0，解得k＝－2.当k＝－2时，x2－(2＋k)x－3＝x2－3＝0，解得xA＝－3，xB＝3.∴yA＝－2xA＝23，yB＝－2xB＝23.故当原点O为线段AB的中点时，k的值为－2，点A的坐标为(－3，23)，点B的坐标为(3，－23)(3)假设存在．由(2)可知：xA＋xB＝2＋k，xA·xB＝－3，S△ABC＝12OC·|xA－xB|＝12×3×（xA＋xB）2－4xAxB＝3102，∴(2＋k)2－4×(－3)＝10，即(2＋k)2＋2＝0.∵(2＋k)2非负，∴方程无解．故假设不成立．即不存在实数k使得△ABC的面积为3102[对应训练]3．(导学号：65244087)(2017·凉山州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝8，OC＝6.(1)求抛物线的解析式；(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时，点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒时△MBN的面积最大，最大面积是多少？(3)在(2)的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使△BPC的面积是△MBN面积的9倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵OA＝2，OB＝8，OC＝6，∴根据函数图象得A(－2，0)，B(8，0)，C(0，6)，根据题意得4a－2b＋c＝0，64a＋8b＋c＝0，c＝6，解得a＝－38，b＝94，c＝6，∴抛物线的解析式为y＝－38x2＋94x＋6(2)设运动时间为t秒，则AM＝3t，BN＝t.∴MB＝10－3t.由题意得，点C的坐标为(0，6)．在Rt△BOC中，BC＝82＋62＝10.如图1，连接MN，过点N作NH⊥AB于点H.∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴HNOC＝BNBC，即HN6＝t10，∴HN＝35t.∴S△MBN＝12MB·HN＝12(10－3t)·35t＝－910t2＋3t＝－910(t－53)2＋52，当△MBN存在时，0＜t＜103，∴当t＝53时，S△MBN最大＝52.答：运动53秒时，△MBN的面积最大，最大面积是52(3)设直线BC的解析式为y＝kx＋c(k≠0)．把B(8，0)，C(0，6)代入，得8k＋c＝0，c＝6，解得k＝－34，c＝6，∴直线BC的解析式为y＝－34x＋6.∵点P在抛物线上，∴设点P的坐标为(m，－38m2＋94m＋6)，如图2，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，则E点的坐标为(m，－34m＋6)．∴EP＝－38m2＋94m＋6－(－34m＋6)＝－38m2＋3m，当△MBN的面积最大时，S△PBC＝9S△MBN＝452，∴S△PBC＝S△CEP＋S△BEP＝12EP·m＋12·EP·(8－m)＝12×8·EP＝4(－38m2＋3m)＝－32m2＋12m，即－32m2＋12m＝452.解得m1＝3，m2＝5，∴P(3，758)或(5，638)与三角形全等、相似有关的问题【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝－12x2＋bx的图象过点A(4，0)，顶点为B，连接AB