3.1数系的扩充与复数的概念(ppt)

数系的扩充复数的概念NZQR自然数集负整数?整数集有理数集实数集?无理数分数?数系的扩充创设情景，探究问题不够减不能整除开方开不尽数系的扩充复数的概念我们知道一元二次方程x2+1=0在实数集范围内无解．12x我们能否将实数集进行扩充，使得它在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？思考？12i引入一个新数：i满足合情推理，类比扩充为了解决负数不能开平方的问题，数系的扩充复数的概念LeonhardEuler公元1707-1783年瑞士欧拉1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i”表示平方等于-1的新数知识探究数系的扩充复数的概念德国高斯1801年系统地使用i这个符号,使i通行于世CarlFriedrichGauss公元1777—1855年知识探究数系的扩充复数的概念现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。引入新数，完善数系数系的扩充复数的概念②复数Z=a+bi(a∈R，b∈R)把实数a，b叫做复数的实部和虚部。1、定义:形如a+bi（a∈R，b∈R）的数叫复数,其中i叫虚数单位。③全体复数所组成的集合叫复数集，记作：C。注意:①复数通常用字母z表示，即复数a+bi（a∈R，b∈R)可记作:z=a+bi（a∈R，b∈R），把这一表示形式叫做复数的代数形式。复数有关概念数系的扩充复数的概念练习：指出下面复数的实部与虚部2+i，-3+0.5i，-2i+，20，-i，432,,,iiii432,,,iiii数系的扩充复数的概念实部biaz),(RbRa虚部其中称为虚数单位。i复数的分类？讨论观察复数的代数形式当a=___且b=____时，则z=0当b=___时，则z为实数当b=___时，则z为虚数当a=___且b___时，则z为纯虚数000≠0≠00数系的扩充复数的概念2、复数a+bi0)00)0)00)babbab实数(纯虚数(，虚数(非纯虚数(，3.复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？思考？复数集虚数集实数集纯虚数集CR复数的分类数系的扩充复数的概念i为-1的一个、-1的另一个;一般地，a(a0)的平方根为、平方根平方根为-iaia-a(a0)的平方根为复数z=a+bi(a、bR)实数小数(b=0)有理数无理数分数正分数负分数零不循环小数虚数(b0)特别的当a=0时纯虚数a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的条件.必要但不充分数系的扩充复数的概念1、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。72618.0i72i29331i2i5+802、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则z=a一定不是虚数即时训练，巩固新知i正确不正确不正确数系的扩充复数的概念例1.实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？m+1=0m-1≠0解：复数z=m+1+(m－1)i中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，∴（1）m=1时，z是实数；（2）m≠1时，z是虚数；（3）当时，即m=－1时，z是纯虚数；典例讲解，变式拓展数系的扩充复数的概念典例讲解，变式拓展例2当m为何实数时，复数是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；immmz)1(222变式1:复数当实数m=时z为纯虚数；当实数m=时z为零。immmmz)1(1222-21数系的扩充复数的概念复数相等的定义根据两个复数相等的定义，设a,b,c,d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+diacbd如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等.两个虚数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。数系的扩充复数的概念例2已知，其中求x与y?iyyix)3()12(Ryx,1、若x，y为实数，且求x，yiyixyx4222解题思考：复数相等的问题转化求方程组的解的问题一种重要的数学思想：转化思想x=5/2,y=4x=-3,y=4数系的扩充复数的概念xo1实数可以用数轴上的点来表示。一一对应规定了正方向，直线数轴原点，单位长度实数数轴上的点(形)(数)(几何模型)问10：如何建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的联系？复数的几何意义数系的扩充复数的概念复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）------复数平面(简称复平面)一一对应z=a+bi特别注意：虚轴不包括原点。复数的一个几何意义复数的几何意义数系的扩充复数的概念怎样让向量与坐标能够一一对应？起点为O向量OZ与点),(Zba一一对应．．．．。还用点坐标表示过什么？问题平面向量数系的扩充复数的概念复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应平面向量OZ一一对应一一对应xyobaZ(a,b)z=a+bi),(,Rbabiaz---复数的代数形式，),(Zba---------------复数的几何形式OZ------------------复数的向量形式建构OZ数系的扩充复数的概念例3已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。表示复数的点所在象限的问题复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题转化(几何问题)(代数问题)一种重要的数学思想：数形结合思想020622mmmm解：由1223mmm或得)2,1()2,3(m数系的扩充复数的概念例3已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。变式：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。点位于第四象限，证明：若复数所对应的020622mmmm则1123mmm或即不等式解集为空集所以复数所对应的点不可能位于第四象限.数系的扩充复数的概念把绝对值的概念推广到复数复数的模的几何意义？问题读作：复数z的模，或复数a+bi的模记为：|z|,|a+bi|数系的扩充复数的概念实数绝对值的几何意义:能否把绝对值概念推广到复数范围呢？XOAa|a|=|OA|实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。xOz=a+biy|z|=|OZ|复数的绝对值复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。(复数的模)的几何意义:Z(a,b))0()0(aaaa22ba数系的扩充复数的概念例4.设z∈C,满足下列条件的点z的集合是什么图形?(1)|z|=4;(2)2|z|4.xyoxyo数系的扩充复数的概念例5.若复数z对应点集为圆:Ryxyxyx,,1)3()1(),(22试求│z│的最大值与最小值.xyoo1211311.复数有关概念：),(RbRabiaz复数的代数形式:复数的实部、虚部复数相等复数的分类dicbiadbca课堂小结2.复数的几何意义3.数学思想：转化思想、数形结合思想、类比思想数系的扩充复数的概念练习1、复数-5+2i的实部为____,虚部为_____.2、实数m取什么值时，复数z=m+1-mi是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？3、已知实数x与纯虚数y满足2x-1+2i=y,求x,y.4、已知两个复数x2-1+(y+1)i＞2x+3+(y2-1)i试求实数x,y的取值范围.2i2i2i数系的扩充复数的概念关于无理数的发现古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.数系的扩充复数的概念数系的扩充创设情景，探究问题自然数整数有理数实数？因计数的需要因不够减的需要，引入负数因测量、分配中的等分问题引入分数(分数集有理数集循环小数集)实数集小数集不循环小数循环小数因度量的需要