平行四边形与特殊的平行四边形

1平行四边形的性质与判定一、总结平行四边形的性质与判定原理：性质原理判定原理边1、两组对边分别平行；2、两组对边分别相等；1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；角3、对角相等；邻角互补；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；线4、对角线互相平分。5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。【问题1】我们学习平行四边形的性质是从哪几个方面来研究的？从“边、角、线”三个方面，其中“线”指的是对角线。【问题2】判定一个四边形是平行四边形必须有几个条件？必须具备两个条件；注意判定原理5“对角线互相平分”也是两个等量。二、总结与平行四边形相关的性质：（注意，以下性质只可用来指导解证题，在填空、选择题中可直接使用，但在解答题中不可直接当作原理使用）【平行四边形对角线相关性质】①平行四边形每一条对角线将其分成两个全等的三角形；平行四边形的对角线将其分成四个面积相等的小三角形；相对的两个小三角形全等；相邻两个三角形的周长之差就等于边长之差。如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，则ABO、ADO、CDO、CBO的面积相等。依据是每相邻两个三角形都是“等底同高”。〖练习〗⒈如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，若S⊿ABO=2，则S⊿ABD=；SABCD=⒉如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，则图中共有对全等三角形。⒊如图P-01，已知，ABCD的周长为28，点O是对角线AC、BD交点，ABO的周长比CBO的周长多4，则AB=，BC=⒋如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，已知AB=8，BC=6，⊿ABO的周长为17，则CBO的周长=②在平行四边形内，过对角线交点且两端点在平行四边形边上的线段一定被对角线交点平分；如图P-02，点O是对角线AC、BD交点，线段EF过点O，则OE=OF；证AEO≌CFO即可〖练习〗⒈如图P-02，ABCD中，EF过对角线交点O，若AB=5，BC=4，EO=3，则四边形CDEF的周长为图P-01图P-022⒉如图P-03，ABCD中有圆O，请你画一条直线，将此平行四边形及圆O的面积分成相等的两部分。③若设平行四边形两条对角线长分别为2a和2b(ab)，则此平行四边形每条边长x的取值范围为baxba〖练习〗⒈如图P-01，若AC=8，BD=12，则AB的取值范围是⒉三角形一边上的中线的取值范围为：大于另两边之差，小于另两边之和。如图P-04，已知D为ABC中BC边上的中点，AB=5，AC=7，求AD的取值范围。〖提示〗延长AD至E，使DE=AD，连结BE、EC，易证得ABEC；记住此法：倍长中线法，是常用的辅助线作法【四边形四边中点连线性质】④顺次连结四边形四边中点所得的四边形是平行四边形；如图P-05，连结AC，由三角形中位线原理可得：HG、EF都平行且等于21AC，∴HG平行且等于EF，得平行四边形注：此性质在学习了菱形、矩形后还有扩充。【等腰三角形与平行线相关性质】⑤从等腰三角形底边上任一点做两腰的平行线，可得一平行四边形和两个小的等腰三角形，且平行四边形的周长等于两腰长之和；如图P-06，AB=AC，DE∥AC，DF∥AB易得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠B=∠C，∴∠1=∠C，∠2=∠B〖练习〗如图P-06，ABC中，AB=AC=6，D是BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，求四边形AFDE的周长。图P-05图P-06图P-03图P-043⑥一条角平分线与平行线相交时常会出现等腰三角形；如图P-07，AB∥CD，∠1=∠2，则易证∠1=∠3，∴∠2=∠3，得等腰AED〖练习〗⒈如图P-08，在ABCD中，AB=7，AD=3，∠DAB的的平分线交CD于E，交BC的延长线于F，求CF长⒉如图P-09，ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点F，DE∥BC且过点F求证：DE=BD+EC【中位线相关性质】⑦三角形中位线原理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半；三角形中位线原理推论：过三角形一边中点且平行另一边的直线必平分第三边。如图P-10，D、E分别为AB、AC中点，则有：DE∥BC，DE=21BC；若已知D为AB中点，DE∥BC，则有：AE=CE〖练习〗证明三角形中位线原理推论已知：求证：证明：⑧三角形的三条中位线将原三角形分成的四个小三角形的全等，周长都等于原三角形周长的一半，面积都等于原三角形面积的1/4。图P-07图P-08图P-09图P-104如图P-11，D、E、F分别是ABC三边中点，则图中四个小三角形都全等，且面积都等于ABC面积的1/4；周长都等于ABC周长的1/2；图中共有3个平行四边形。〖练习〗如图P-11，D、E、F分别是ABC三边中点，AB=6，AC=7，BC=10，则DEF的周长为三、典型题例与解题思路【例1】如图P-12，ABCD中，E、F为AC上两点，且AE=CF，求证：四边形DEBF是平行四边形〖思路分析〗本类题型是在平行四边形中求证某四边形是平行四边形，证题思路较有规律，都是先由原平行四边形得到一些条件，再证得其它条件，或由全等三角形或由平行四边形的判定原理得到所要求证的四边形是平行四边形。在证本类题型时，首先要想清楚自己要选用哪种方法（原理）来证。几何证明题的方法往往有多种，不一定要是最简单的，但在找条件时不能乱，不要所有能用的不用的都写上去。以本题为例，我们要证BFDE，可以选用的方法有“两组对边分别相等”、“两组对边分别平行”、“一组对边平行且相等”、“对角线互相平分”等方法，选定一种后，就找对应的条件。我们先看第一种方法：两组对边分别相等。要证DE=BF，BE=DF，我们可以用全等来证，先用AEB≌CFD得BE=DF，再同理得DE=BF。〖解题格式〗证：∵有ABCD（已知）∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形性质）∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）又∵AE=CF（已知）在AEB和CFD中：AB=CD∠1=∠2AE=CF∴AEB≌CFD（SAS）∴BE=DF（全等性质）同理：DE=BF∴有DEBF（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）〖同题练习〗⒈用“一组对边平行且相等”来证：图P-11图P-125⒉用“对角线互相平分”来证：〖同类练习〗⒈如图P-13，ABCD中，E、F分别为AB、CD中点，AF、DE相交于G，CE、BF相交于H。求证：四边形EHFG是平行四边形〖思路分析〗可以先用来证DEBF，从而得DE∥BF；再同理证得∥；最终用的原理来证得。〖解题过程〗⒉如图P-14，ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，且DF=BE，求证：AF=CE〖思路分析〗可以用全等的方法证，也可以直接证AECF，从而得对边相等。〖解题过程〗方法一：用全等的方法方法二：先证AECF图P-13图P-146⒊求证：平行四边形一条对角线的两个个端点到另一条对角线的距离相等。（要求画图，写出已知、求证并证明）【例2】如图P-15，O是ABC内一点，D、E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点求证：四边形DEFG是平行四边形〖思路分析〗此类题型是利用中位线原理来证题，要证DEFG，只要证一组对边平行且相等就可以了；我们可以选定DE与FG〖解题过程〗证：∵在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=1/2BC（三角形中位线性质）同理：FG∥BC，FG=1/2BC∴FG=DE（等量代换）FG∥DE∴有DEFG（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）〖练习〗求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。（写出已知、求证并证明）图P-157菱形的性质与判定一、菱形的性质与平行四边形的性质比较平行四边形菱形变化情况边1、对边平行1、对边平行不变2、对边相等2、四边相等升级角3、对角相等3、对角相等不变线4、对角线互相平分4、对角线互相平分且垂直升级5、每条对角线平分每一组对角新性质二、菱形的性质与判定比较性质判定边1、对边平行2、四边相等1、四条边都相等的四边形是菱形2、一组邻边相等的平行四边形是菱形角3、对角相等线4、对角线互相平分且垂直3、对角线互相垂直平分的四边形是菱形4、对角线互相垂直的平行四边形是菱形5、每条对角线平分每一组对角三、观察上表，你能发现什么特点？除了上表中的四种判定法之外，你还能找出哪些判定菱形的方法？所有这些方法，你能发现它们的共同点吗？你能不能用一句话说明，到底怎样判定菱形的？上表的特点是：判定菱形，只用到了边与线，而且用边来判定时只用到了“四边相等”的性质；用“线”来判定时只用到了“互相垂直平分”的性质。另外，如果已知的是四边形，就必须要有三个条件才能证得菱形，如果已知的是平行四边形，那么就只要再有一个条件就可以了。除了表中的四种方法，还可以这样判定菱形：例如，先用“两组对边分别平行”来证一个四边形是平行四边形，再证它的一组邻边相等，或证它的对角线互相垂直……这样就有很多的方法了。如果用一句话来总结，那就是：只要能先证它是平行四边形，再证它一组邻边相等或对角线互相垂直就可以了！四、菱形中的重要解题性质【菱形的面积与对角线关系原理】菱形的面积等于对角线乘积的一半如图L-01，菱形ABCD对角线相交于O，则S菱形ABCD=21ACBD【含60o或120o内角的菱形相关性质】菱形中若有一内角为60o或120o，则菱形被较短的对角线分成两个等边三角形；较长的对角线等于边长的3倍。如图L-01，∠BAD=60o，则有：等边ABD，等边BDC，AC=3BD=3AB图L-018【菱形的一些基本性质】⒈菱形的四条边都相等，周长=边长4；⒉如图L-01，菱形被两条对角线分成的四个小直角三角形都全等；⒊如图L-02，菱形四边中点连线所得四边形是矩形；证明：连结AC、BD，交点为O，AC交HE于P，BD交HG于Q由中位线原理可得HG和EF都平行且等于1/2AC，∴HG与EF平行且相等，∴有EFGH又∵AC⊥BD，AC∥HG，∴HG⊥BD（垂直于平行线中的一条，必垂直另一条）∴∠HQO=90o，同理∠HPO=90o，又∵∠POQ=90o，∴∠QHE=90o，∴有矩形EFGH⒋四边形ABCD对角线AC、BD相交于O，从以下条件中选取3条，可以判定四边形ABCD是菱形的方法共有8种：①AB=BC，②AB=CD，③BC=AD，④AO=CO，⑤BO=DO，⑥AC⊥BD，⑦AB∥CD，⑧AD∥BC①②③“四条边相等的四边形”或“一组邻边相等的平行四边形”①④⑤、①⑦⑧、①②⑦、①③⑧：“一组邻边相等的平行四边形”②③⑥、⑥⑦⑧：“对角线互相垂直的平行四边形”④⑤⑥：“对角线互相垂直且平分的四边形”五、典型题例与思路分析证一个四边形是菱形，有两种思路：可以先由两个条件证得平行四边形，再加一个条件证得菱形；或者直接由三个条件证得菱形。【例1】如图L-03，AD是ABC的一条角角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AFDE是菱形。〖思路分析〗本例明显可先证得AFDE，再加上一个条件“邻边相等”即可得菱形。证：∵DE∥AC，DF∥AB∴DE∥AF，DF∥AE∴有AFDE∵AD是角平分线∴∠1=∠2∵DE∥AC∴∠3=∠2∴∠1=∠3∴AE=DE∴有菱形AFDE（一组邻边相等的平行四边形是菱形）〖同类练习〗⒈如图L-04，ABC中，∠C=90o，AD是角平分线，ED⊥BC，DF∥BC求证：四边形AEDF是菱形图L-02图L-03图L-049⒉如图L-05，ABC中，AB=AC，O是BC中点，OG⊥AB于G，OD⊥AC于D，DE⊥AB于E，GF⊥AC于F，GF、DE相交于P求证：四边形ODPG是菱形【例1】如图L-06，ABCD的对角线BD的垂直平分线EF分别交AB、CD、BD于F、E、O求证：四边形DFBE是菱形。〖思路分析〗本例很显然可以利用对角线互相垂直平分来证菱形，我们可以用全等来证得对角线互相平分。证：∵有ABCD∴AB∥DC∴∠1=∠2，∠3=∠4∵EF垂直平分BD∴DO=BO∴DOE≌BOF∴OE=OF∵EF⊥B