高中数学解三角形测试题2必修5

教育资源一、选择题(每小题5分，共60分）1．在△ABC中，a＝4，b＝43，角A＝30°，则角B等于()．A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°2．在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是()．A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形3．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为()．A．43B．5C．52D．624．在△ABC中，AB＝3，A＝60°，AC＝4，则边AC上的高是()．A.322B.323C.32D．335．已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()．A.π6B.π3C.π2D.2π36．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cosC＝1314，则最大角的余弦值是()A．－15B．－16C．－17D．－187．在△ABC中，∠B＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为()A．45°B．60°C．75°D．90°8．在△ABC中，a2＋b2－ab＝c2＝23S△ABC，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形9．在△ABC中，b2－bc－2c2＝0，a＝6，cosA＝78，则△ABC的面积S为()A.152B.15C．2D．310．锐角三角形ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是()A．1＜a＜3B．1＜a＜5C.3＜a＜5D．不确定11．在△ABC中，下列结论：①a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②a2＝b2＋c2＋bc，则A为60°；③a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．412．锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设B＝2A，则ba的取值范围是()教育资源A．(－2,2)B．(0,2)C．(2，2)D．(2，3)二、填空题(每小题5分，共20分)13．在△ABC中，若B＝60°，a＝1，S△ABC＝32，则csinC＝________.14．在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝910，则BC＝________.15.．在△ABC中，若b＝2a，B＝2A，则△ABC为________三角形．16．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.三、解答题(共70分)17．(10分)在△ABC中，若8·sin2B＋C2－2cos2A＝7.(1)求角A的大小；(2)如果a＝3，b＋c＝3，求b，c的值．18．(12分)在△ABC中，若sin(C－A)＝1，sinB＝13.(1)求sinA的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．教育资源19．(12分)在△ABC中，已知sinB＝cosAsinC，AB→·AC→＝9，又△ABC的面积等于6.(1)求C；(2)求△ABC的三边之长．20．(12分）在△ABC中，已知a＝23，b＝6，A＝30°，求B及S△ABC.21．（12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且3a＝2csinA.(1)确定∠C的大小；(2)若c＝3，求△ABC周长的取值范围．教育资源22．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足b2＝ac，cosB＝34.(1)求1tanA＋1tanC的值；(2)设BA→·BC→＝32，求三边a、b、c的长度．木兰县高级中学重点班数学测试卷答案二、选择题(每小题5分，共60分）教育资源1.解析根据正弦定理得，sinB＝bsinAa＝43sin30°4＝32.∵ba，∴BA＝30°，∴B＝60°或120°.答案D2.解析由正弦定理，原式可化为sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，∴tanA＝tanB＝tanC.又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C.∴△ABC是等边三角形．答案B3.解析∵S△ABC＝12acsinB，∴c＝42，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝25，∴b＝5.由正弦定理2R＝bsinB＝52(R为△ABC外接圆的半径)，故选C.答案C4.解析∵A＝60°，∴sinA＝32.∴S△ABC＝12AB·AC·sinA＝12×3×4×32＝33.设边AC上的高为h，则S△ABC＝12AC·h＝12×4×h＝33，∴h＝323.答案B5.解析p∥q⇒(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0⇒a2＋b2－c22ab＝12＝cosC，∴C＝π3.答案B6.解析：选C.c2＝72＋82－2×7×8×1314＝9，∴c＝3，∴B最大．cosB＝72＋32－822×7×3＝－17.7.解析：选C.设最大角为∠A，最小角为∠C.由∠B＝60°得∠A＋∠C＝120°.根据正弦定理，得ac＝sinAsinC＝－CsinC＝3＋12，所以2sin(120°－C)＝(3＋1)·sinC，即3cosC＋sinC＝3sinC＋sinC，所以tanC＝1，又0°＜∠C＜180°，所以∠C＝45°，所以∠A＝75°.8.解析：选B.由a2＋b2－ab＝c2得：cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，∴∠C＝60°，又23S△ABC＝a2＋b2－ab，教育资源∴23×12ab·sin60°＝a2＋b2－ab，得2a2＋2b2－5ab＝0，即a＝2b或b＝2a.当a＝2b时，代入a2＋b2－ab＝c2得a2＝b2＋c2；当b＝2a时，代入a2＋b2－ab＝c2得b2＝a2＋c2.故△ABC为直角三角形．9.解析：选A.∵b2－bc－2c2＝0，∴(b－2c)(b＋c)＝0.∵b＋c≠0，∴b－2c＝0.∴b＝2c.∴6＝c2＋4c2－2c·2c×78，∴c＝2，b＝4.∴S＝12bcsinA＝12×2×4×1－4964＝152.10.解析：选C.因为△ABC为锐角三角形，所以cosA＞0，cosB＞0，cosC＞0，所以b2＋c2－a2＞0，a2＋c2－b2＞0，a2＋b2－c2＞0，所以1＋4－a2＞0，a2＋4－1＞0，a2＋1－4＞0，即3＜a2＜5，所以3＜a＜5.又c－b＜a＜b＋c，即1＜a＜3.由3＜a＜5，1＜a＜3.得3＜a＜5.11.解析：选A.①a2＞b2＋c2⇒b2＋c2－a2＜0⇒b2＋c2－a22bc＜0⇒cosA＜0⇒A为钝角⇒△ABC为钝角三角形；②a2＝b2＋c2＋bc⇒b2＋c2－a2＝－bc⇒b2＋c2－a22bc＝－12⇒cosA＝－12⇒A＝120°；③与①同理知cosC＞0，∴C是锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．④A∶B∶C＝1∶2∶3⇒A＝30°，B＝60°，C＝90°⇒a∶b∶c＝1∶3∶2.12.解析：选D.∵ba＝sinBsinA＝sin2AsinA＝2cosA，又∵△ABC是锐角三角形，∴B＝2A＜90°A＋2A＞90°，∴30°＜A＜45°，则ba＝2cosA∈(2，3)．二、填空题(每小题5分，共20分)教育资源13.解析把已知条件代入面积公式S△ABC＝12acsinB得c＝2.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝3，∴b＝3.由正弦定理csinC＝bsinB＝2.答案214.解析设BC＝x，则根据余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BCcosC，即5＝25＋x2－2×5·x·910，∴x2－9x＋20＝0，∴x＝4或x＝5.答案4或515.解析由正弦定理知sinB＝2sinA，又∵B＝2A，∴sin2A＝2sinA，∴2sinAcosA＝2sinA，∴cosA＝22，∴A＝45°，B＝90°.故△ABC为等腰直角三角形．解析如图，由已知条件，得AC＝60km，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∠ABC＝45°.由正弦定理BC＝ACsin∠BACsinB＝302(km)三、解答题(共70分)17.(10分）解(1)∵B＋C2＝π2－A2，∴sinB＋C2＝cosA2，∴原式可化为8cos2A2－2cos2A＝7，∴4cosA＋4－2(2cos2A－1)＝7，∴4cos2A－4cosA＋1＝0，解得cosA＝12，∴A＝60°.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2－bc＝3.又∵b＋c＝3，∴b＝3－c，代入b2＋c2－bc＝3，并整理得c2－3c＋2＝0，解之得c＝1或c＝2，∴b＝1，c＝2，或b＝2，c＝1.18.（12分）解(1)由sin(C－A)＝1知，C－A＝π2，且C＋A＝π－B，∴A＝π4－B2，∴sinA＝sinπ4－B2＝22cosB2－sinB2，教育资源∴sin2A＝12(1－sinB)＝13，又sinA0，∴sinA＝33.(2)由正弦定理得ACsinB＝BCsinA，∴BC＝ACsinAsinB＝6·3313＝32，由(1)知sinA＝33，∴cosA＝63.又sinB＝13，∴cosB＝223.又sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝33×223＋63×13＝63，∴S△ABC＝12AC·BC·sinC＝12×6×32×63＝32.19.（12分）解(1)设三角形三内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，∵sinB＝cosAsinC，∴cosA＝sinBsinC，由正弦定理有cosA＝bc，又由余弦定理有cosA＝b2＋c2－a22bc，∴bc＝b2＋c2－a22bc，即a2＋b2＝c2，所以△ABC为Rt△ABC，且C＝90°.(2)又AB→·AC→＝|AB→||AC→|cosA＝9，S△ABC＝12|AB→||AC→|sinA＝6，①②②÷①，得tanA＝43＝ab，令a＝4k，b＝3k(k0)，则S△ABC＝12ab＝6⇒k＝1，∴三边长分别为a＝4，b＝3，c＝5.20.（12分）解：在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB得，∴sinB＝basinA＝623·12＝32.又A＝30°，且a＜b，∴B＞A.∴B＝60°或120°.①当B＝60°时，C＝90°，△ABC为直角三角形，S△ABC＝12ab＝63.②当B＝120°时，C＝30°，△ABC为等腰三角形，S△ABC＝12absinC＝33.21.（12分）解：(1)由3a＝2csinA及正弦定理得，ac＝2sinA3＝sinAsinC.∵sinA≠0，∴sinC＝32.∵△ABC是锐角三角形，∴∠C＝π3.(2)∵asinA＝bsinB＝csinC＝2，∴a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋3＝23sin(A＋π6)＋3，∵△ABC是锐角三角形，教育资源∴π6＜∠A＜π2，故32＜sin(A＋π6)≤1.所以△ABC周长的取值范围是(3＋3，33]．22.（12分）解：(1)由cosB＝34可得，sinB＝1－cos2B＝74.∵b2＝ac，∴根据正弦定理可得sin2B＝sinAsinC.又∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴1tanA＋1tanC＝cosAsinA＋cosCsinC＝cosAsinC＋cosCsinAsinAsinC＝A＋Csin2B＝sinBsin2B＝1sinB＝477.(2)由BA→·BC→＝32得|BA→|·|BC→|cosB＝accosB＝32，又∵cosB＝34，∴b2＝ac＝2，又由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝2.得a＋c＝3ac＝2，解得a＝1c＝2或a＝2c＝1，又∵b2＝ac＝2，∴b＝2.∴三边a，b，c的长度分别为1，2，2或2，2，1.