高数极限PPT

第二章极限数列的极限无穷小量与无穷大量结束函数的极限极限的运算极限存在定理两个重要极限无穷小量的比较第二节函数的极限的极限时一)(,.xfx的极限时二)(,.0xfxx的左、右极限时四)(,.0xfxx函数极限的性质三.有时使当若,,0,0XxX,,)(,极限存在时当则称函数成立xxf,)(limaxfx|)(|axf的极限函数时)(,.1xfx定义.)()(xaxf或记为记为为其极限值常数,a想想：如何从几何的角度来表示该定义？)(|)(|axfaaxf的几何意义)(limaxfxOxyayayayX)(xfy,)(,即函数的图时当axfaXx.之间和形夹在两条平行线ayayOxyayayayXX)(xfy将图形对称过去后,你有什么想法?将图形对称.,函数的极限时我们将得到x有时使当若,,0,0XxX,,)(,极限存在时当则称函数成立xxf,)(limaxfx|)(|axf的极限函数时)(,.2xfx定义.)()(xaxf或记为记为为其极限值常数,a.)(lim)(lim的情形类似的几何意义与axfaxfxxOxyayayayXX)(xfy现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?0||XxXxXx或OxyayayayXX)(xfy你能否由此得出一个极限的定义和一个重要的定理.0||XxXxXx或现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?有时使当若,||,0,0XxX,,)(,极限存在时当则称函数成立xxf,)(limaxfx|)(|axf的极限函数时)(,.3xfx定义.)()(xaxf或记为记为为其极限值常数,a由于|x|X0xX或xX,所以,x按绝对值无限增大时,又包含了x的情形.既包含了x+,定理.)(lim)(lim)(limaxfxfaxfxxx及极限的三个定义即可证明该定理.0)(||XXxXxXx或由绝对值关系式:.2121lim33xxx证明：证,0,212133xx要,||213x即要,21||3x即,||,213有时则当故取XxX212133xx成立.由极限的定义可知:.2121lim33xxx例1.arctanlim不存在证明xx22yxyarctanx由图容易看出：,2arctanlimxx,2arctanlimxx.arctanlim不存在由定理可知：xx需要证明之处请同学们自己证一下.例2的极限时二)(,.0xfxxxx0时函数的极限,是描述当x无限接近x0时,函数f(x)的变化趋势..112)(,0xxfx时当f(x)在点x0=0处有定义.11)(,13xxxfx时当函数f(x)在点x0=1处没有定义..312xx例3无限只考虑有无定义在必考虑,)(0xxxxf的变化函数时即接近)(,),(U,00xfxxx是否成立。趋势，即不等式|)(|axf我们不这类极限过程时在讨论,0xx的极限函数时)(,.10xfxx定义,||0,0,00时当若xx|)(|axf,)(,0时的极限当为函数则称成立xxxfa.)()()(lim00xxaxfaxfxx或记为:,需要考察的是就是说,,0去心邻域时的落在点当轴上在xxx))((,是否落在点对应点轴上在xfyyy.邻域内的aOxyayayay0x())(xfyxy),(Uˆ0xx),U(ay0x0x的几何解释)(lim0axfxxP.lim00xxxx证明证,0||0xx.lim,00xxxx故成立这是证明吗？非常非常严格！例4,||0,0时则当取xx.82)4(2lim22xxx证明证,0,)8(2)4(22xx要|)2(|2|2|2|8)2(2|xxx只要,|)2(|0,2有时则当故取x,)8(2)4(22xx.82)4(2lim22xxx即2x例5证.311lim31xxx证明,0,3113xx要,|1||2||2||31|22xxxxxx只要？如何处理它例6这里|x+2|没有直接的有界性可利用,但又必须设法去掉它.因为x1,所以,从某时候开始x应充分地接近1.()0x21111+1••••••••••4|2|x11取1|1|0x证.311lim31xxx证明,0,3113xx要,|1||2||2||31|22xxxxxx只要,|1|4|1||2|3113xxxxx于是,|1|0,}4,1min{有时则当取x.3113xx证毕,)1,1(Uˆ,1,11此时必有时当令xx,4|2|x例6在极限定义中：1)与和x0有关,即=(,x0).一般说来,值越小,相应的值也越小.2)不等式|f(x)－a|既要对任意的0,同时也要对xx0以任何方式进行都成立.3)函数f(x)以a为极限,但函数f(x)本身可以不取其极限值a.y=ay=ay=axOyx0x0x0+)(xfy曲线只能从该矩形的左右两边穿过极限的几何意义函数时)(,.20xfxx在以后的叙述中,如果函数f(x)极限的某种性质与运算对任何一种极限过程均成立,则将使表示对任意一种极限过程的函数用符号三、函数极限的性质)(limxf极限.函数极限的性质与数列极限的性质类似,我们只列举出来,其证明过程请同学们自己看书.2.有界性定理若limf(x)存在,则函数f(x)在该极限过程中必有界.1.唯一性定理若limf(x)存在,则极限值必唯一.3.保号性定理极限值的正负与函数值正负的关系函数值的正负与极限值正负的关系极限值的正负与函数值正负的关系),0(0,)(lim0aaaxfxx若。有)0)((0)(xfxf),0(0,)(limaaaxfx若,00X则,D||0时且当fxXx。有)0)((0)(xfxf该定理也称为第一保号性定理,)(Uˆ0x则,)(Uˆ0时当fDxx极限值正负与函数值正负关系的推论),(,)(lim0cacaaxfxx若,)(Uˆ0x则,)(Uˆ0时当fDxx。有))(()(cxfcxf),(,)(limcacaaxfx若,00X则,D||0时且当fxXx。有))(()(cxfcxf函数值的正负与极限值正负的关系),(U),0)((,0)(0xxxfxf若,)(lim0axfxx且。则必有)0(0aa该定理也称为第二保号性定理,0||),0)((,0)(rxxfxf若。则必有)0(0aa,)(limaxfx且注意:当f(x)0(f(x)0)时,按照第二保号性定理也只能得到a0(a0)结论..01lim,01)(,1:xxxfxx而时例如考虑两个问题.Oxyayayay0x())(xfy0x0x的几何解释)(lim0axfxxy=ay=ay=axOyx0x0+)(xfy函数在x0的左边可以无定义想想这种情形下,函数有极限吗?如何描述这种情形？想想这种情形下,函数有极限吗?y=ay=ay=axOyx0x0)(xfy函数在x0的右边可无定义如何描述这种情形？,0,0,00时当若xx|)(|axf记为右极限,时的当为则称成立)(,0xxxfa)(lim0axfxx.)0(0axf也可记为,)()(0xxaxf或定义右极限函数的左时,四、、0xx,0,0,00时当若xx|)(|axf记为左极限,时的当为则称成立)(,0xxxfa)(lim0axfxx.)0(0axf也可记为,)()(0xxaxf或定义(1)左、右极限均存在,且相等；(2)左、右极限均存在,但不相等；(3)左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！函数在点x0处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：111211)(2xxxxxxf求)(lim1xfx)(lim1xfxxOy1121在x=1处的左、右极限.1lim21xx0)1(lim1xx解例7y=ay=ay=axOyx0x0+y=ay=ay=aOyx0x0)(xfy对此有什么想法没有？“左右结合”axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00定理利用0|xx0|xx00或0xx0和极限的定义,即可证得.。求设)(lim,1,11,1)(12xfxxxxxfx2)1(lim)(lim211xxfxx2)1(lim)(lim11xxfxx2)(lim1xfx解例8.||lim0xxx求||lim0xxx||lim0xxx)(lim)(lim00xfxfxx.||lim0不存在xxxxxx0lim11lim0xxxx0lim1)1(lim0x解例9例10.|||)(|lim,)(lim:00axfaxfxxxx则若证明证,0,0,,)(lim0所以因为axfxx,||00有时当xx|)(|axf||||)(||axf,得故由极限的定义.|||)(|lim0axfxx?立该命题的逆命题是否成情形也成立。的对x思考与练习1.若极限)(lim0xfxx存在,)()(lim00xfxfxx2.设函数)(xf且)(lim1xfx存在,则.a是否一定有1,121,2xxxxa？三、极限定义及定理小结极限定义一览表目标不等式过程描述度量极限形式axnnlimaxfx)(limaxfx)(limaxfx)(limaxfxx)(lim0axfxx)(lim0axfxx)(lim00000000时当,0NnN时当||,0XxX时当,0XxX时当,0XxX时当||0,00xx时当0,00xx时当0,00xx||axn|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf极限定义一览表目标不等式过程描述度量极限形式axnnlimaxfx)(limaxfx)(limaxfx)(limaxfxx)(lim0axfxx)(lim0axfxx)(lim00000000时当,0NnN时当||,0XxX时当,0XxX时当,0XxX时当||0,00xx时当0,00xx时当0,00xx||axn|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf0|)(|