专题四--因式分解与方程竞赛

专题四因式分解与方程一、基本知识和方法1.因式分解将一个多项式写成一个或几个多项式相乘的形式，称为因式分解。习惯上，我们要求因式分解的结果中的多项式为既约多项式。既约多项式也称为不可约多项式，不能分解为次数更低的多项式的乘积。如果一个多项式能够分解为次数更低的多项式的乘积，那么这个多项式称为可约多项式1。即约多项式的判定依赖于多项式所在的数集。在较小的数集上既约的多项式，在较大的数集上可能是可约的。例如，多项式22x在整数上是既约的，但是在实数上可以分解为22xx；多项式22x在整数与实数上都是既约的，但是在复数上可以分解为22xixi。有理系数多项式可以通过提取适当的有理数转化为整系数多项式。在有理数上分解因式，本质上与在整数上分解因式是一样的。在上一节，我们提到了多项式在运算上与整数的相似之处。多项式的因式分解与整数的质因数分解也是非常相似的。多项式中既约多项式的地位与整数中质数的地位是相似的，多项式的因式分解与整数的质因数分解也非常相似。更进一步，整数的质因数分解是唯一的；类似地，在相差一个数的倍数的意义下，多项式的因式分解也是唯一的。上述事实被称为因式分解唯一定理。利用这一定理，我们可以处理一些不太容易处理的问题。考虑多项式61x的因式分解。先利用立方差公式，然后利用平方差公式，可得：624242111111xxxxxxxx但是如果先利用平方差公式，然后利用立方差与立方和公式，可得：633221111111xxxxxxxxx为什么两种方式分解出来的结果不一样呢？如果掌握了因式分解唯一定理，我们就可以确信：4222111xxxxxx，多项式乘法显然可以验证这一等式，我们也可以通过“拆添项”的技巧来达到同样的目标：4242222222121111xxxxxxxxxxx下面我们来看一个更复杂的例子，考虑多项式151x的因式分解。一方面，我们有：1这里忽略系数含有公因子的整系数多项式。习惯上，这类多项式的因式分解要求提取系数的公因数。315551054321051111111xxxxxxxxxxxx另一方面，我们还可以得出：51533129632129631111111xxxxxxxxxxxxxx又一次地，我们得出了两个不同的结果。不过根据前面的知识与经验，我们可以确信，2129634321051111xxxxxxxxxxxx，利用多项式的除法，我们可以算出：1296343287543111xxxxxxxxxxxxxx与105287543111xxxxxxxxxx，这样我们最终殊途同归：1524328754311111xxxxxxxxxxxxxx。这是1978年全国数学联赛的一道赛题，后来又被一位教授用作对研究生的考题i。得出最后的结果，一方面需要因式分解唯一定理这一知识，另一方面还需要证明多项式875431xxxxxx是既约的2，这是不太容易的。因式分解的理论就介绍到这里，下面我们来重点介绍因式分解的方法。除了在中学课本中介绍的方法之外，因式分解有一个非常重要的方法——十字相乘法；其中，又以含有字母系数的十字相乘法最易被忽视，而这一方法在初等数学问题中有非常广泛与重要的应用。整数系数的二次三项式的十字相乘，在求解一元二次方程中使用频率非常高，这里我们就不赘述了。下面，我们从二元二次六项式开始。考虑多项式222332xxyyxy的因式分解，基本的方法分为三个步骤：首先选取主元x，将多项式整理为关于x降幂排列的形式：222332xyxyy，然后分解“常数项”：223321xyxyy，最后利用十字相乘进行分解，得：321xyxy，即321xyxy。这一方法同样适用于三元齐二次多项式。例如：2可以利用爱森斯坦（Eisenstein）判别法来证明这一多项式是既约多项式；另外，这一多项式是分圆多项式，而分圆多项式在有理数范围内都是既约的。222695156xxyyxzyzz。首先关于x降幂排列：222659156xyzxyyzz，然后分解“常数项”：265332xyzxyzyz，最后十字相乘：3233xyzxyz。即使多项式的次数超过二次，但是只要有一个字母的最高次数恰好为二次，这一方法就很有可能成功。下面我们再来看两个较复杂的例子。考虑多项式2222223ababacacabcbcbc的因式分解。这个三元多项式并不是齐二次的，但是其中每一个字母的次数都不超过二次，因此可以选择a作为主元进行降幂排列，然后分解：2222222233bcabcbcabcbcbcabcbcabcbcabcbcabcabcabacbc原式再看一个例子：22axbyaybxayaxbyaybxay。这是一个更复杂的四元四次多项式，但是将其中的a与b看作是字母系数，将这个多项式整理为关于x与y的齐二次多项式，十字相乘的方法仍然奏效：222222222222222222222=22axbaybxayaxbaybxayaxaabxyabxaxybbaxybxabxyayaabbxaabbxyaabbyaabbxxyy原式2.因式定理因式分解与方程有着非常紧密的联系。利用因式分解来解一元二次方程是使用频率非常高的解法。反过来，利用方程也可以帮助因式分解。事实上，我们有：因式定理：设()fx是一个多项式，x是方程()0fx的一个解，那么多项式()fx有因式()x。下面，我们用两种方法来证明这一定理。设11100()ninninnifxaxaxaxaxa，其中nZ，10,,naaa都是预先给定的数，则1110()nnnnfaaaa。因为()0f，所以111101101111()()()nnnnnnnnnnnnnnfxfxfaxaxaxaaaaaaxaxax根据公式1221nnnnnnababaababb，对于每一个1..in，1221()(...)iiiiiiiiiaxaaxxxx，即iiiixaxa，因此()xfx，即()fx有因式()x。我们用多项式的带余除法给出另一种证明。设多项式()fx除以x的商式为()gx，余式为()rx，即()()()fxxgxrx，则多项式()rx的次数低于除式x的次数，即()rx实际上是一个数，设为u。因此()()fxxgxu，在上式中代入x，得()()fguu，因此有()()()fxxgxf，而()0f，所以()()fxxgx，即()fx有因式()x。根据这一证明，我们可以得到因式定理的一个推广：余数定理多项式()fx除以x所得的余数等于()f。当我们需要计算一元多项式中，一个多项式除以一个一次多项式的余式时，余数定理提供了可能更为快捷的计算方法。因式定理用于多项式的因式分解，有两个比较重要的应用：一个是进行高次多项式——特别是三次多项式——的因式分解，另一个是对称多项式的因式分解。下面我们通过几个例子，主要介绍利用因式定理因式分解一元三次方程。多项式221xx在整数范围内是既约的，但是在实数范围内可以分解。一种方式是利用因式定理，先求解一元二次方程2210xx的两根分别为112x，212x，因此2211212xxxx；另一种方式就是利用配方与平方差公式：2221121212xxxxx。当多项式的次数增加到三次时，配方的方法就无法奏效了。例如多项式376xx，我们无法进行配方以利用平方差公式，但是此时因式定理仍然可以帮助我们。观察到当1x时，多项式的值为零，因此1x是这个多项式的一个因式，即327616123xxxxxxxx。在这里，观察到1x是这个多项式的一根并不完全依靠运气。事实上，我们有:定理（多项式的有理根）设有理数lqk，其中lZ、kZ、,1lk；多项式11100()ninninnifxaxaxaxaxa，其中nZ，10,,naaa都是整数。如果()0fq，那么0la且nka。这一定理说的是，如果一个整系数多项式有有理根，那么将这个有理数写成既约分数的形式后，分子一定整除常数项，分母一定整除多项式最高次项的系数。对多项式376xx应用这一定理，可以得出：使这个多项式的值为零的有理数，其分母一定整除最高次项系数1，其分子一定整除常数项。即这些有理数一定都是整数，并且都是6的因数，因此可能的数只有1、2、3与6。根据这一定理，任意给定一个整系数多项式，可以列出这个多项式所有可能的有理根，然后依次进行验证。一旦确定一根，根据因式定理，就可以确定一个一次因式。继而利用多项式除法确定另一个因式，然后继续分解这个因式即可。试有理根的这个方法，能够解决相当数量的一元整系数高次多项式的因式分解问题。但是，当多项式没有有理根时，这一方法就无能为力了。例如上一节给出的多项式421xx。这个多项式的有理根只可能是1或1，分别代入验证，可以确认都不是多项式的根。结论就是这个多项式没有有理根，因此在有理数范围内也没有一次因式。事实上，4222111xxxxxx，在整数范围内，它恰有两个二次因式。当多项式的系数与常数项中含有无理数时，上面所说的试有理根的方法就不存在了。但是只要我们能够找到多项式的无理根，一样可以利用因式定理来分解因式。例如多项式3385xx，观察到当5x时，多项式的值为零，因此35385xxx，利用多项式的除法可得32385558xxxxx，其中，二次三项式258xx的判别式小于零，在实数上是既约的。在这个例子中，运用“拆添项”的技巧，也不是不能直接进行因式分解：33238558855585558xxxxxxxxxxxx但是观察出多项式3385xx有一根5应该比找到上述的“拆添项”容易一些。下面我们来看一个复杂一点的例子，考虑多项式323745777xxx。现在，需要有欧拉一般的直觉，才能找到正确的“拆添项”；似乎需要比欧拉更敏锐的直觉，才能找到多项式的一根，以便因式定理能够发挥作用。在这里，试有理根的方法通过另一种方式发挥作用，提供一些找到无理根的可能。注意到多项式的系数与常数项，都具有7mn的形式，其中,mnZ。我们将这类数全体构成的集合记为[7]Z，[7]Z具有与整数类似的性质。类比对整系数多项式试有理根的方法，我们先将常数项77在[7]Z上分解：777(71)，这样我们得到77在[7]Z中共有八个因数：1、7、71