课06(2.1-2.2-二维卷积与DFT)

第二章数字图象的线性处理§2.1离散卷积与离散相关§2.2二维离散傅里叶变换（2D-DFT）§2.3离散沃尔什变换（DWT）2.1.1二维离散卷积2.1.2二维离散卷积定理2.1.3二维离散相关2.2.1定义与讨论2.2.2矢量矩阵表示2.2.3傅里叶变换是酉变换2.2.4常用性质2.3.1离散沃尔什函数2.3.2一维DWT2.3.3二维DWT第二章数字图象的线性处理2.6.1奇数点的Cosine变换§2.4离散哈达玛变换（DHT）§2.5离散卡-洛变换（DKLT）2.4.1哈达玛矩阵2.4.2一维DHT2.4.3二维DHT2.5.1一维连续K-L展开2.5.2一维离散KLT2.5.3一维离散KLT§2.6离散余弦变换（DCT）2.6.1偶数点的Cosine变换2.6.3DCT的性能§2.1离散卷积与离散相关2.1.1二维离散卷积2.1.2离散卷积定理定义对卷积矩阵Te的讨论小结2.1.3二维离散相关定义二维离散相关定理与性质返回定义2.1.1二维离散卷积定义二维离散卷积：10;10),,(ByAxyxf10;10),,(DyCxyxg(个样本值)BA(个样本值)DC),(),(),(),(1010nymxgnmfyxgyxfeMmNneee)1,2,1,0;1,2,1,0(NyMx设两个二维离散函数：式中，与分别是、的周期化函数。),(yxfe),(yxge),(yxf),(yxg上页2.1.1二维离散卷积110;1;10,0),,(),(NyDDyMxCCxyxgyxge1CAM1DBN上页即：和的周期为：),(yxfe),(yxge定义所给出的阶函数阵列，是二维离散卷积的一个周期。NM110;1;10,0),,(),(NyBByMxAAxyxfyxfe110;1;10,0),,(),(NyBByMxAAxyxfyxfe2.1.1二维离散卷积[例题]求两个22阶二维离散函数的卷积：224321F222211G解法一（解析法）33000043021eF33000022011eG(2)求F和G的列矢量（按行扫描-堆叠方式）：Te0,0,0,0,2,2,0,1,1gTe0,0,0,0,4,3,0,2,1f上页(1)F和G周期化：周期M=N=A+B-1=3卷积矩阵eT2.1.1二维离散卷积(3)按一维离散卷积方法计算卷积：上页826835211000043021110220000011022000001102200000110220000011022200001102220000110022000011102200001eeefTy2.1.1二维离散卷积(4)卷积结果(矩阵形式)：826835211eYTe为阶方阵；22MM有个分块子阵每个子阵为阶；MMMM上页共有M组相同的子阵。22110220000011022000001102200000110220000011022200001102220000110022000011102200001MMeT其中卷积矩阵：110220000011022000001102200000110220000011022200001102220000110022000011102200001eT2.1.1二维离散卷积其中，分块子阵：1100111011eT2200222022eT0000000003eT1022100120,0,0,0,4,3,0,2,1Tef对卷积矩阵的进一步讨论上页箭头所指各列与fe的零元素相乘，因此，可改动相关元素值，使每个分块子阵均成为循环矩阵。Te1Te1Te1Te2Te2Te2Te3Te3Te32.1.1二维离散卷积小结：Te为分块循环矩阵，其中各列（行）是分块子阵的循环移位；各分块子阵是由ge子矢量诸元素构成的循环矩阵。上页TeeeTe3210,0,0,0,2,2,0,1,1gggg0111eg0222eg0003eg本例：其中各子矢量为：2.1.1二维离散卷积返回224321F222211G1-22-12-11-2-21-121-22-1xy0(2)垂直/水平折叠1234(1)将F和G表示成“掩模”形式解法二（图解法）2.1.1二维离散卷积上页123-2142-11)1(111y322y833y2342-211-1……(3)水平/垂直平移折叠后的掩模，求乘积和24-21-1231342-212-1112)1(1112y422-23-111521y42-2-1213122113y2.1.2离散卷积定理上页),,(),(vuFyxfe),(),(vuGyxge[二维]若二维离散函数的傅里叶变换对为则有)()()()(uGuFxgxfee)()()()(uGuFxgxfee则有),(),(),(),(vuGvuFyxgyxfee),(),(),(),(vuGvuFyxgyxfee),()(uFxfe)()(uGxge[一维]若离散函数、的傅里叶变换分别为、，即)(xf)(xg)(uF)(uG2.1.3二维离散相关上页定义二维离散相关：1,,2,1,0;1,,2,1,0),,(ByAxyxf1,,2,1,0;1,,2,1,0),,(DyCxyxg),(),(),(),(),(1010ynxmgnmfyxgyxfyxReMmNneeefg)1,2,1,0;1,2,1,0(NyMx以及),(),(),(),(),(1010ynxmfnmgyxfyxgyxReMmNneeegf)1,2,1,0;1,2,1,0(NyMx定义对两个二维离散实函数：2.1.3二维离散相关上页则),(),(),(),(vuGvuFyxgyxfee),(),(),(),(vuGvuFyxgyxfee,),(),(vuFyxfe),(),(vuGyxge二维相关定理若自相关函数：),(),(),(),(),(1010ynxmfnmfyxfyxfyxReMmNneeeff)1,2,1,0;1,2,1,0(NyMx自相关函数及其性质2.1.3二维离散相关上页当时，0x),()0,0(10102nmfRMmNnff2),(),(vuFyxRff自相关函数的傅氏变换：§2.2二维离散傅里叶变换2.2.1定义与讨论2.2.2矩阵矢量表示2.2.3傅里叶变换是酉变换下页2.2.4常用性质2.2.1定义与讨论设二维数据阵列f(x,y)为N×N方阵,定义2D-DFT：1010)(2),(1),(NxNyvyuxNjeyxfNvuF)1,,1,0,(Nvu1010)(2),(1),(NuNvvyuxNjevuFNyxf)1,,1,0,(Nyx反变换：F(u,v)也是N×N方阵。正变换：2D-DFT定义上页2.2.1定义与讨论上页),(vuF列N-1012N-112Muv行),(yxf列N-1012N-112Mxy行),(),(vuFyxf变换对：讨论变量说明：x,y离散图像像素点在空间的行、列位置标号；u,v表示变换域中样点行、列位置标号。2.2.1定义与讨论上页记NjeW2)()(211vyuxvyuxNjWNeN其中，正变换核：)(1vyuxWN)(1vyuxWN变换核：可分离性：行分量列分量),(),(uxAvyARC)(21),;,(vyuxNjeNvuyxA令，则DFT的变换核为；反变换核：),(uxARuxNjeN21),(vyAC,12vyNjeN其中：2.2.1定义与讨论改写正变换公式：两次一维变换),(),(vxFyxfvy先作列运算),(vyAC),(uxAR先作行运算xu),(yuF101010101022),(),(),(),(),(1),(1),(NxRNxNyCRNxNyvyNjuxNjuxAvxFvyAyxfuxANeyxfeNvuF一个二维DFT，可连续运用两次一维DFT来实现，因而，可采用一维FFT进行快速运算。示意如下：[结论]),(vuFux再作行运算再作列运算yv返回目录2.2.2矢量-矩阵表示则DFT的矢量形式为：DFT的矢量表示正变换AfqA—变换矩阵其中：频率域矩阵为Q(列)矢量为q设图像空间域矩阵为F(列)矢量为f对应Bqf反变换B—反变换矩阵其中：1AB上页[举例]设空域矩阵F与频域矩阵Q分别为：2.2.2矢量-矩阵表示Tffff],,,[11100100fTqqqq],,,[11100100q相应的列矢量为：2211100100ffffF2211100100qqqqQ对变换矩阵A的讨论（举例推广），上页问题：A=?为此，可根据定义式分别求相应的变换系数。由DFT变换式fqA)(11011010001000)00(101000WfWfWfWfNWfNqyxxyxy2.2.2矢量-矩阵表示)(11111010101000)0(101001WfWfWfWfNWfNqyxxyxy)(11111110001000)0(101010WfWfWfWfNWfNqyxxyxy)(11211110101000)(101011WfWfWfWfNWfNqyxxyxy,1,1vu,1,0vu,0,0vu,0,1vu由正变换定义式可得：式中：NjeW2上页变换矩阵AAfq111001002110110010100000111001001ffff矢量-矩阵表示上页将以上方程组写成矩阵形式：进一步改写变换矩阵：)1(0W1000110000100001000011的行、列是可分离的2.2.2矢量-矩阵表示上页令，10001WW