固体物理第四章课件

第四章能带理论II4.1电子运动的半经典模型模型有效质量4.2恒定电场下电子的运动空穴的概念导电性的能带解释4.3回旋共振第一节电子运动的半经典模型晶体电子（布洛赫电子）的运动速度为υnk=1ℏ∇kEnk∇k=∂∂kxkx+∂∂kyky+∂∂kzkz动量为：p=mυ平均值为：p=mυp=∫ψnk*rpψnkrdrmυ=∫ψnk*r−iℏ∇rψnkrdrpψnkr=−iℏ∇reik∙runkr+−iℏ∇runkreik∙r=−iℏikeik∙runkr+punkreik∙r=ℏk+punkreik∙rmυ=∫unk*re−ik∙rℏk+punkreik∙rdr=∫unk*rℏk+punkrdrHkukr=EkukrHk=p+ℏk22m+Vr∇kHkukr=∇kEkukrHk=ℏ22m−i∇+k2+Vr∇kHkunkr+Hk∇kunkr=∇kEnkunkr+Enk∇kunkr2ℏ2mℏk+punkr+Hk∇kunkr=∇kEnkunkr+Enk∇kunkr∫ℏmunk*rℏk+punkrdr+∫unk*rHk∇kunkrdr=∫unk*r∇kEnkunkrdr+∫unk*rEnk∇kunkrdr左乘unk*并积分unk*rHk=unk*rEnk，左边第二项和右边第二项相等∫ℏmunk*rℏk+punkrdr=∫unk*r∇kEnkunkrdr=∇kEnk∫unk*runkrdr=∇kEnkHk=p+ℏk22m+Vrmυ=∫unk*rℏk+punkrdrℏm∫unk*rℏk+punkrdr=∇kEnkmυ=mℏ∇kEnkυ=1ℏ∇kEnk平均速度永不为零，一个理想的晶体金属将有无穷大的电导。散射产生的原因和性质两次散射之间布洛赫电子的运动——半经典模型在外力作用下状态的变化及准动量在单位时间dt内，外力F做的功为F∙υkdt根据功能相等原理∇kEnk∙dk=F∙υkdt∇kEnk=ℏυk代入上式ℏυk∙dk=F∙υkdtℏ∂k∂t−Fext∙υk=0在平行于υk的方向，ℏ∂k∂t和F的分量相等，也可以证明在垂直于υk的方向，ℏ∂k∂t和F的分量也相等∂ℏk∂t=F这里的dk是外力F引起的υn=1ℏ∇kEnkℏ∂k∂t=Fext两个基本运动方程为ℏ∂k∂t=−eEr,t+υnk×Br,t外力是电磁场引起的时半经典模型的两个基本方程当忽略带间跃迁时，电子在同一能带运动只有当自由程远远大于原胞时，才可以将电子看作一个准经典粒子∂ℏk∂t=Fℏk称为准动量或赝动量电子的速度k波矢的变化即状态变化无外场时，费米球是对称的，对电流没有贡献有外场时，非均衡部分对电流有贡献ℏΔk=−eEτ费米球在k空间中小的平移相关联υd=−eτEm真实空间的漂移速度k空间的费米球位移从这两个公式出发可以计算得到晶体电子的加速度a=dυndt=ddt1ℏ∇kEnk=∇k1ℏ∇kEnkdkdt=1ℏ2∇k∇kEnkdℏkdt=1ℏ2∇k∇kEnkFexta=1ℏ2∇k∇kEnkFext比较牛顿力学：ma=F1m*=1ℏ2∇k∇kEnk有效质量和倒有效质量张量唯象的引入电子的倒有效质量张量1m*ij=1ℏ2∂2Enk∂ki∂kjFext=m*a晶体周期场的影响概括到有效质量里，晶体电子的运动方程有着经典力学类似的简洁形式引入倒有效质量张量，得到与经典力学相似的形式1m*ij=1ℏ2∂2Enk∂ki∂kj因为微分可以交换次序，因此倒有效质量张量是对称张量，可以对角化1m*j=1ℏ2∂2Enk∂kj2kj为主轴能带宽，能量随波矢变化较为剧烈，倒有效质量张量的分量大能带窄，能量随波矢变化较为缓慢，倒有效质量张量的分量小通过电子比热系数的实验值和自由电子气体的理论值之比定义有效质量，称为热有效质量γexpγ0=m*m例子简单立方晶体，晶格常数为a，紧束缚近似下的s能带的能量本征值为Ek=Es−J0−2J1coskxa+coskya+coskza能带底为：k=0,0,0E=Es−J0−6J1有效质量张量退化为一个标量，m*=ℏ22a2J1能带顶为：k=±πa,±πa,±πaE=Es−J0+6J1m*=−ℏ22a2J1有效质量可正可负，跟一般质量的概念不同在能带顶附近，有效质量总是负的，在能带底附近，有效质量总是正的Si的能带图GaAs的能带图金属铝的能带图4.2.1恒定电场作用下电子的运动在恒定电场作用下∂ℏk∂t=−eEkt=k0−eEtℏ其解为电子在k空间做匀速运动例子：一维紧束缚Enk=En−J0−2J1coskaυk=1ℏdEdk=2J1aℏsinkam*k=ℏ2d2Edk2−1=ℏ22J1a2coska−1∂ℏk∂t=−eE电子在k空间做匀速运动，电子的本征能量沿E(k)函数曲线周期性变化电子的真实速度随时间振荡意味着电子在实空间（x空间）振荡当有外电场时，附加的静位电能−qV，V沿x增加，能带就发生倾斜带隙相当于位垒，电子遇到位垒后将全部被反射回来，电子在A和C之间运动BlochOscillation──电子在真实空间中的运动ω=2π布里渊区宽度电子在k空间运动速度−1=qEaℏ势垒长度d=EgqE考虑隧穿效应穿透几率=Eexp−π2ℏ2mEg12EgqE如果下面能带（价带）是填满或接近填满的，电子在电场作用下很容易达到带顶，而如果上面能带（导带）中没有电子或基本是空的，可以接纳电子，那么当电场足够强时，下面能带中的电子有一定几率穿透带隙达到导带。4.2.2满带电子不导电能带中每个电子对电流密度的贡献为：−eυ带中所有电子的贡献为J=−e∫occυkdk4π3υn=1ℏ∇kEnk且Enk=En−k，同一能带中k和−k态具有相反的速度υk=−υ−k因此上面的积分为零，满带电子不参与导电对于满带，电子的波矢随时间改变，但是满带的状况并不改变满带电子不导电──一维例子满带情况下，横轴上的点表示均匀分布在k轴上的个量子态为电子填满，外场F下也不改变填充状态，从A中移出的电子同时从A′中移入，而A和A′是同一状态，因此不产生宏观电流4.2.4导体、半导体和绝缘体的能带解释υk=−υ−k••••••••••••••••••••••••••••••••••••k4.2.3近满带中的空穴利用满带不导电，可得J+−e∫unoccυkdk4π3=0下脚标unocc表示非占据，这些非占据态可以看作是被空穴+e占据近满带对电流密度的贡献可以等价写为J=e∫unoccυkdk4π3空穴：带正电荷，填满带中所有未占据态的粒子对于近满带，空穴使得带中大量电子的行为简化成少量空穴的效应∂υn∂t=1me*−eEr,t+υnk×Br,t外加电磁场中，占据态电子的运动方程为未占据态电子的运动方程和周围的占据态电子相同，为∂υn∂t=1me*−eEr,t+υnk×Br,t未占据态一般在带顶，电子的有效质量为负数，方程化为∂υn∂t=1me*+eEr,t+υnk×Br,t近满带顶的空穴，除了带正e电荷外，还有正的有效质量∂υn∂t=1mh*+eEr,t+υnk×Br,tmh*=me*空穴的运动方程II∂υn∂t=1mh*+eEr,t+υnk×Br,t空穴的运动方程为空穴能量E电子能量E空穴的能量与电子相反，越往下越高mh*0价带：能量最高的满带导带：能量高于满带的第一个能带金属的导体性价电子数等于1价电子数等于2价电子数等于3价电子等于2时，导电性取决于能带交叠的大小等能面是不连续的！电子是按能量从低到高排列的什么是半导体（能带理论的解释）半导体物理的基础是固体能带理论σ10-6S/m106S/mσ10-6S/mσ106S/m恒定磁场中的运动υn=1ℏ∇kEnkℏ∂k∂t=−qυ×B沿磁场分量k的分量不发生变化由于洛仑兹力不做功，能量Enk不随时间变化，电子在k空间的等能面上运动Enk=ℏ2k22mB=0,0,Bdkxdt=−qBmkydkydt=qBmkxdkzdt=0d2kxdt2+qBm2kx=0d2kydt2+qBm2ky=0ω=qBmωc=qBm定义回旋频率cyclotronfrequencyk空间电子在(kx,ky)平面做圆周运动υn=1ℏ∇kEnkℏ∂k∂t=−qυ×Bυk=ℏkmdυkdt=ℏm∂k∂tdυkdt=1m−qυ×Bdυxdt=−qBmυydυydt=qBmυxdυzdt=0d2υxdt2+qBm2υx=0d2υydt2+qBm2υy=0d2xdt2+qBm2x=0d2ydt2+qBm2y=0dυzdt=0，电子在z方向做匀速运动ω0=qBmk空间电子在(x,y)平面做匀速圆周运动根据量子理论，在(x,y)平面的圆周运动对应一种简谐振荡，能级是量子化的，这种能级称为朗道能级E=En+ℏ2k22m=n+12ℏω0+ℏ2k22m晶体电子ω0=qBmωc=qBmc*对于布洛赫电子，闭合轨道并非一定是圆形的，但是形式上与自由电子时相同E=En+ℏ2k22m*=n+12ℏω0+ℏ2k22m*在垂直于磁场的方向施加一个交变电场，当ω=qBm*，电子将吸收交变电场的能量，电子发生共振吸收，称为回旋共振通过测定回旋共振频率，可以确定电子的有效质量回旋共振测量E=ℏ22kx2+ky2mT+kz−k02mLωx2=qB2sin2θcos2ϕmT2+1−sin2θcos2ϕmTmLωy2=qB2sin2θsin2ϕmT2+1−sin2θsin2ϕmTmLωz2=qB2cos2θmT2+sin2θmTmL等能面：一维、二维和三维情况Si和GaAs的导带底的等能面ForSitherearesixellipsoidsalongthe(100)-axeswiththecentersoftheellipsoidslocatedataboutthree-fourthsofthedistancefromtheBrillouinzonecenter.ForGaAstheconstant-energysurfaceisasphereatzonecenter.Si的能带图GaAs的能带图半经典模型的适用范围自由程远远大于原胞时，电子可以看作经典粒子禁止带间跃迁，不会发生受激跃迁ℏωEg无场致隧穿eEa≪Eg2EFℏωc≪Eg2EF第四章能带理论II的要点电子运动的半经典模型赝动量两个运动方程有效质量，倒有效质量张量空穴的概念导电性的能带解释