[整理]5-4定积分的换元积分法与分部积分法

--------------------------章节名称5-4定积分的换元积分法与分部积分法授课方式讲授法授课时数4授课方法和手段启发法和师生互动法教学目的及要求教学目的；掌握定积分换元积分法与分部积分法教学要求；.理解换元积分法与分部积分法意义；熟记平面图形面积的计算公式教学基本内容纲要教学重点难点教学重点；定积分换元条件的掌握教学难点：换元积分法与分部积分法--------------------------图5－8教学过程设计由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．一、定积分的换元积分法定理假设函数)(xf在区间],[ba上连续；函数)(tx满足(1)ba)(,)(，(2)当)(tx的值在],[ba上连续可导，则有dtttfdxxfba)()()(．证.设F(x)是f(x)的一个原函数，则左端==F(b)-F(a)另一方面，据导数的链锁法则有F[φ(t)]=F'[φ(t)]φ'(t)=F'(x)φ'(t)=f(x)φ'(t)=f[φ(t)]φ'(t)故F[φ(t)]是右端被积函数f[φ(t)]φ'(t)的一个原函数,由微积分基本定理,右端=F[φ(t)]=F[φ(β)]-F[φ(α)]=F(b)-F(a).这就证明了定理．注.应用上述定理计算定积分时，最重要的一点是注意积分系．即下限a对应着下限α,上限b对应着上限β，不管它们的大小关系如何．定积分与不定积分的换元差别在于：不定积分的结果是函数，积分变量(自变量)应回代到原变量；而定积分的结果是数值，就不必回代成原变量后再代入原来的上下限，只要按新变量的对应上下限代入计算即可．例5.4.1计算adxxa022)0(a．解令taxsin，则tdtadxcos．当0x时，0t；当ax时，2t．故adxxa022dttata20coscosdtta)2cos1(22022022sin212tta42a．--------------------------教学过程设计例二计算dxxsi03n．解由于3200ncos1nsixdxxsixdx作代换costx，且当0x时，1t。当x时，1t。dxxsi03n=dtt1121=3111433tt例三计算dxxx941解：设xt，则2xt原式9334221221111xtdxtdttdtttx2322ln17ln42ttt例四设)(xf在],[aa上连续，证明：(1)若)(xf为奇函数，则0)(aadxxf；(2)若)(xf为偶函数，则dxxfdxxfaaa)(2)(0．证由于dxxfdxxfdxxfaaaa)()()(00,对上式右端第一个积分作变换tx，有dttfdttfdxxfaaa)()()(000dxxfa)(0．故dxxfxfdxxfaaa)]()([)(0．故dxxfxfdxxfaaa)]()([)(0．(1)当)(xf为奇函数时，)()(xfxf，故00)(0dxdxxfaaa．(2)当)(xf为偶函数时，)()(xfxf，故dxxfdxxfdxxfaaaa)(2)(2)(00二．定积分的分部积分法--------------------------教学过程设计设函数)(xu与)(xv均在区间],[ba上有连续的导数，由微分法则vduudvuvd)(，可得vduuvdudv)(．等式两边同时在区间],[ba上积分，有vduuvudvbababa)(公式称为定积分的分部积分公式，其中a与b是自变量x的下限与上限例五计算．120arcsinxdx解：11122202001arcsinarcsin1xdxxxxdxx=22182例5.4.7计算xdxx3cos0．解：xxdxdxx3sin313cos00xdxxx3sin3sin310040403secsec2xdxxdx40403)tanln(secsec2xxxdx)12ln(sec2403xdx．即)12ln(2sec2403xdx例5.4.8计算dxex10．解先用换元法，令tx，则tdtdxtx2,2．当0x时，0t；当1x时，1t．于是dttedxetx10102．再用分部积分法，得dxex1011100022()ttttdeteedt2)]1([2ee．作业讨论辅导P-152第一题第二题中2、4、6第三题1、3、5--------------------------参考资料课后小结1．定积分换元积分定理：假设(1)函数)(xf在区间],[ba上连续；(2)函数)(tx在区间],[上有连续且不变号的导数；(3)当t在],[变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且ba)(,)(．则有dtttfdxxfba)()()(．2．定积分分部积分法：设函数)(xu与)(xv均在区间],[ba上有连续的导数，则有vduuvudvbababa)(