不定积分教案

1第五章不定积分教学安排说明章节题目：5.1不定积分的概念5.2不定积分的性质5.3换元积分法5.4分部积分法学时分配：共6学时。5.1不定积分的概念1学时5.2不定积分的性质1学时5.3换元积分法2学时5.4分部积分法2学时本章教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法，熟练地利用换元积分法与分部积分法求不定积分。课堂教学方案（一）课程名称：5.1不定积分的概念；5.2不定积分的性质授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式，了解不定积分的基本运算法则，能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点、难点：教学重点：原函数和不定积分的概念,不定积分的性质及几何意义，不定积分的基本公式；教学难点：不定积分的概念及几何意义和用不定积分的性质求不定积分。教学内容5.1不定积分的概念1.原函数与不定积分在微分学中，我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题。但是，在科学、2技术和经济的许多问题中，常常还需要解决相反的问题，也就是要由一个函数的已知导数（或微分），求出这个函数。这种由函数的已知导数（或微分）去求原来的函数的运算，称为不定积分，这是积分学的基本问题之一。定义1如果函数)(xf与)(xF为定义在某同一区间内的函数,并且处处都有)()('xfxF或d()()dFxfxx,则称)(xF是)(xf的一个．．原函数.根据导数公式或微分公式,我们很容易得出一些简单函数的原函数.如xxcos)(sin，故xsin是xcos的一个原函数；xxcos)1(sin，故1sinx也是xcos的一个原函数；xx2)(2，故2x是x2的一个原函数；xx2)2(2，故2x也是x2的一个原函数.．．．．．．由此可见,一个函数的原函数并不是唯一的.对此有以下两点需要说明：第一，若在某区间内)(xF为)(xf的一个原函数，即)()(xfxF,则对任意常数C,由于)())((xfCxF,所以函数CxF)(都是)(xf的原函数.这说明如果函数)(xf有原函数,那么它就有无限多个原函数.第二，若在某区间内)(xF为)(xf的一个原函数，那么，)(xf的其它原函数和)(xF有什么关系？设()x是)(xf在同一区间上的另一个原函数，即()()xfx，于是有[()()]()()0,xFxxFx由于导数恒为零的函数必为常数，因此311()()()xFxCC为某个常数，即1()().xFxC这说明)(xf的任意两个原函数之间只差一个常数.因此,如果)(xF是)(xf的一个原函数,则)(xf的全体原函数可以表示为CxF)((其中C为任意常数).为了更方便地表述一个函数的全体原函数,我们引入下面不定积分的概念.2.不定积分的概念定义2函数)(xf在某区间内的全体原函数称为)(xf在该区间内的不定积分,记为()dfxx，其中记号称为积分号,)(xf称为被积函数,()dfxx称为被积表达式,x称为积分变量.即()d()fxxFxC.这说明,要计算函数的不定积分,只需求出它的一个原函数,再加上任意常数C就可以了.例1求xxf2)(的不定积分.解：因为xx2)(2,所以2()d2d.fxxxxxC例2求xexf)(的不定积分.解：因为xxee)(,所以()dd.xxfxxexeC3.不定积分学的几何意义不定积分的几何意义:若)(xF是)(xf的一个原函数，则称)(xFy的图象为)(xf的一条积分曲线.于是,)(xf的不定积分在几何上表示)(xf的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一组积分曲线组成的曲线族.若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行(如图４-1),任意两条曲线的纵坐4标之间相差一个常数.给定一个初始条件,就可以确定一个常数C的值，因而就确定了一个原函数，于是就确定了一条积分曲线．例3设曲线通过点)2,1(,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程．解：设所求的曲线方程为)(xfy,按题设，曲线上任一点),(yx处的切线斜率为,2ddxxy说明)(xfy是x2的一个原函数.因为x2的全体原函数为Cxxx2d2，所以曲线方程为Cxxfy2)(,又由于曲线过点)2,1(,故2)1(f,,21C解得1C,于是所求曲线为2()1yfxx.例4一物体作直线运动，速度为时，物体所经过的当stsmttv1,/12)(2路程为3m，求物体的运动方程。解：设物体的运动方程为).(tss依题意有,12)()(2ttvts所以Cttdxtts3232)12()(将方程为因此，所求物体的运动代入上式，得,343,1Cst3432)(3ttts一般，若)(xF是函数)(xf的原函数，那么)(xFy所表示的曲线称为)(xf的一条积分曲线。不定积分dxxf)(在几何上表示由积分曲线)(xFy沿y轴方向上下平移而得到的一族曲线，称为积分曲线族。这就是不定积分的几何意义。课堂练习：填空5（4x）（x2csc）（xex2）小结：本节讲述了原函数的概念，不定积分的概念，性质及几何意义。4.基本积分表及常用的积分公式第一节我们知道积分与微分互为逆运算，因此由第二章的导数的基本公式可以相应地写出不定积分的基本公式。列表如下：（1）Ckxxkd(k是常数)；（2）Cxuxxuu111d)1(；（3）Cxxxlnd1；（4）Caaxaxxln1d)1,0(aa；（5）Cexexxd；（6）Cxxxcosdsin；（7）Cxxxsindcos；（8）Cxxxxxtandsecdcos122；（9）Cxxxxxcotdcscdsin122；（10）Cxxxarcsind112；（11）Cxxxarctand112；（12）Cxxxxsecdtansec；（13）Cxxxxcscdcotcsc；以上13个基本积分公式是求不定积分的基础,若能熟记,则对不定积分的运算会起到关键性的作用.以上11个公式是求不定积分的基础，必须熟记。6例5求下列不定积分：（1）dxx（2）dxx21（3）dxexx2解：(1)CxCxdxxdxx2312121321121(2)CxCxdxxdxx112111222(3)CeCeedxedxexxxxxx2ln122ln)2()2(25.2不定积分的性质根据不定积分的定义，可以得到其如下性质：性质1两个函数之和(差)的不定积分等于这两个函数的不定积分之和(差),即xxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([.证明：根据导数的运算法则，),()(])([])([]d)()([xgxfdxxgdxxfxxgdxxf因此xxgxxfd)(d)(是)()(xgxf的原函数,而且上式含有不定积分记号,因此已经含有任意常数,故上式即为)()(xgxf的不定积分.证毕.类似可证明如下性质.性质2不为零的常数因子可以移到积分号前xxfaxxafd)(d)()0(a例1求不定积分.d)sin2(xxex解：(2sin)dd2sind2cosxxxexxexxxexC.例2求dxxx)4cos32(解：dxxx)4cos32(=dxxdxdxx4cos32=Cxxx4sin322ln17例3求不定积分21dxxx.解：51532222122dd53312xxxxCxCCxxxx.例4求不定积分2(2)dxxx.解：22321(2)d2ddln23xxxxxxxxxC.注意：在分项积分后，每个不定积分的结果都应有一个积分常数，但任意常数的和仍是常数，因此最后结果只要写一个任意常数即可。例5求dxxx2)1(解：Cxxxdxxxdxxxxdxxxln221)12(12)1222（例6求dxx2tan解：Cxxdxxdxxtan)1(sectan22上面例题都是属于基本积分法的应用，就是利用基本积分公式和积分运算法则直接求不定积分.但有时并不是被积函数直接就符合基本积分公式，需要对被积函数作适当的恒等变换.如用代数运算或三角关系等对被积函数进行变形，是变形后的被积函数能直接使用基本公式和运算法则求出不定积分.例7求dxx2cos2解：Cdxxxdxxdxxdxx)sin(21)cos1(212cos12cos2例8求不定积分sin2dcosxxx.解：sin22sincosdd2sind2coscoscosxxxxxxxxCxx.例9求不定积分3dxxex.8解：33d(3)d1ln3xxxxxeexexC.例10求不定积分42d1xxx.解：由于42221d111xxxxx，所以42221d(1)d11xxxxxx3arctan3xxxC．小结：本节讲述了不定积分的基本公式和基本运算法则，以及利用直接积分法求函数的积分方法。作业：P1511；3（1）（4）（6）（7）（10）（11）课堂教学方案（二）课程名称：5.3换元积分法授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握第一类换元积分法和第二类换元积分法求不定积分的基本方法和步骤；强调第二类换元积分法与第一类换元积分法之间的区别；了解第二类换元积分法适用的函数类型教学重点、难点：教学重点：第一类换元积分法和第二类换元积分法；教学难点：第一类换元积分法中中间变量)(xu的选取，灵活地运用微分公式凑微分;)()(dxxxddu第二类换元积分法中适当选取单调连续函数)(tx，将积分dxxf)(化为积分dtttf)()([，求出结果。教学内容5.3换元积分法有时仅仅依靠不定积分的性质和基本积分表来计算不定积分是非常有限的,因9此有必要讨论求不定积分的一种重要方法,其实质是把复合函数的求导法则反过来用于求不定积分,也就是利用变量代换来求不定积分,这种方法称为换元积分法.按照换元方式的不同,通常把换元法分为两类.1．不定积分的第一类换元法(凑微分法)例1求不定积分1d.21xx分析基本积分公式表中没有与该积分一致的公式,因此该积分不能直接由积分公式与不定积分的性质求得.但注意到121x是复合函数,且d(21)2dxx,于是可做如下的变换和计算:解11111d2dd(21),21221221xxxxxx11d2uu(令12xu),,||ln21CuCx|12|ln21(将12xu回代),由121)|12|ln21(xCx,验证上述积分结果正确.一般地，对于积分()dfaxbx，总可以作变换uaxb，把它化为1()d()d()faxbxfaxbaxba1()duaxbfuua.一般地,有:定理1若()d()fxxFxC且)(xu可导,则()d()fuxFuC．定理1表明,在基本积分公式中,将x换成任一可导函数)(xu后公式仍然成立,从而扩充了基本积分公式的使用范围.定理中的结论可表示为[()]d()[()],fxxFxC10即[()]()d[()]fxxxFxC．由此得到如下求不定积分的步骤,即[()]()d[()]d[()]fxxxfxx（凑微分）()dfuu（令)(xu）CuF)