定积分教学设计

1定积分的简单应用一、教学目标1、知识与技能目标：（1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题；（2）学会将实际问题化归为定积分的问题。2、过程与方法目标：通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。3、情感态度与价值观目标：通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。二、教学重点与难点1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。2、难点：将实际问题化归为定积分的问题，正确计算。三、教学过程（一）创设问题情境：复习1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？引入：．计算dxx22242．计算22sindxx思考：用定积分表示阴影部分面积选择X为积分变量，曲边梯形面积为（二）研究开发新结论1计算由抛物线2yx在0,1上与X轴在第一象限围成图形的面积S.2计算由抛物线2yx在0,1上与X轴在第一象限围成的图形的面积S.总结解题步骤：1找到图形----画图得到曲边形.2曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.dxxfdxxfsbaba)()(21xyNMOabABCD)(1xfy)(2xfy23定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.4计算定积分.（三）巩固应用结论例1．计算由两条抛物线2yx和2yx所围成的图形的面积.分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。解：201yxxxyx及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=11200xdxxdx，所以120S=(x-x)dx32130233xx=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。巩固练习计算由曲线36yxx和2yx所围成的图形的面积.例2．计算由直线4yx，曲线2yx以及x轴所围图形的面积S.分析：首先画出草图（图1.7一2)，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例1不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4yx与曲线2yx的交点的横坐标，直线4yx与x轴的交点．解：作出直线4yx，曲线2yx的草图，所求面积为图1.7一2阴影部分的面积．解方程组2,4yxyx得直线4yx与曲线2yx的交点的坐标为（8,4).直线4yx与x轴的交点为（4,0).因此，所求图形的面积为S=S1+S24880442[2(4)]xdxxdxxdx1.510.5-0.5-1-11xyO1.510.5-0.5-1-11xyOy2=xy2=xy=x2yxOxy1.510.5-0.5-1-11xyOy=x21.510.5-0.5-1-11xyO1.510.5-0.5-1-11xyOy=x23xxOy=x2ABC334828220442222140||(4)|3323xxx由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．（四）总结概括结论求两曲线围成的平面图形面积的一般步骤：（1）做出示意图（找到所求平面图形）（2）求交点坐标（确定积分上、下限）（3）确定被积函数（4）列式求解（五）练习1、求直线32xy与抛物线2xy所围成的图形面积。答案：33223113223)3)|33＝（＋－（xSxxdxxx2、求由抛物线342xxy及其在点M（0，－3）和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。略解：42xy/，切线方程分别为34xy、62xy，则所求图形的面积为493462343422303232＝＝dxxxxdxxxxS)]()[()]()[(3、求曲线xy2log与曲线)(logxy42以及x轴所围成的图形面积。略解：所求图形的面积为dydyyfygSy1010224)()()(【＝eeyy210224224log|)log（4、在曲线)0(2xxy上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为121.试求：切点A的坐标以及切线方程.略解：如图由题可设切点坐标为),200xx（，则切线方程为2002xxxy，切线与x轴的交点坐标为),(020x，则由题可知有00032220200021(2)1212xxxxSxdxxxxxdx10x，所以切点坐标与切线方程分别为12),1,1(Axyxyoy=－x2+4x-3