高中数学正态分布知识点+练习

正态分布要求层次重难点正态分布A利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．（一）知识内容1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个数ab，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()21()2πxfxe，xR，其中，是参数，且0，．式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标准差为的正态分布通常记作2(,)N．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布．⑶重要结论：①正态变量在区间(,)，(2,2)，(3,3)内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()，内的取值的概率为1，在区间(33)，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内，这就是正态分布的3原则．例题精讲高考要求正态分布x=μOyx（二）典例分析：【例1】已知随机变量X服从正态分布2(3)Na，，则(3)PX（）A．15B．14C．13D．12【例2】在某项测量中，测量结果X服从正态分布210N，，若X在01，内取值的概率为0.4，则X在02，内取值的概率为．【例3】对于标准正态分布01N，的概率密度函数2212πxfxe，下列说法不正确的是（）A．fx为偶函数B．fx最大值为12πC．fx在0x时是单调减函数，在0x≤时是单调增函数D．fx关于1x对称【例4】已知随机变量X服从正态分布2(2)N，，(4)0.84PX≤，则(0)PX≤（）A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84【例5】某种零件的尺寸服从正态分布(04)N，，则不属于区间(44)，这个尺寸范围的零件约占总数的．【例6】已知2(1)XN，~，若(31)0.4PX≤≤-，则(31)PX≤≤（）A．0.4B．0.8C．0.6D．无法计算【例7】设随机变量服从正态分布(29)N，，若(2)(2)PcPc，则_______c．【例8】设~(01)N，，且(||)(010)Pbaab，，则()Pb≥的值是_______（用a表示）．【例9】设随机变量服从正态分布(01)N，，0a，则下列结论正确的个数是____．⑴(||)(||)(||)PaPaPa⑵(||)2()1PaPa⑶(||)12()PaPa⑷(||)1(||)PaPa【例10】如果随机变量2~()1NED，，，求(11)P的值．【例11】正态变量2~(1)XN，，c为常数，0c，若(2)(23)0.4PcXcPcXc，求(0.5)PX≤的值．【例12】下列函数是正态分布密度函数的是（）A．2()21()2xrfxeπB．222()2xfxeππC．2(1)41()22xfxeπD．221()2xfxeπ【例13】若正态分布密度函数2(1)21()()2xfxexRπ，下列判断正确的是（）A．有最大值，也有最小值B．有最大值，但没最小值C．有最大值，但没最大值D．无最大值和最小值【例14】设的概率密度函数为2(1)21()2xfxeπ，则下列结论错误的是（）A．(1)(1)PPB．(11)(11)PP≤≤C．()fx的渐近线是0xD．1~(01)N，【例15】某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为2(80)2001()102xfxe，则下列命题中不正确的是（）A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学标准差为10【例16】灯泡厂生产的白炽灯寿命（单位：h），已知2~(100030)N，，要使灯泡的平均寿命为1000h的概率为99.7%，则灯泡的最低使用寿命应控制在_____小时以上．【例17】一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？【例18】某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是______．【例19】已知连续型随机变量的概率密度函数01()1202xfxxaxx≤≤≥，⑴求常数a的值；⑵求3(1)2P．【例20】已知连续型随机变量的概率密度函数201()1202xfxaxxx≤≤≥，求a的值及3(1)2P．【例21】设随机变量X具有概率密度30()00xkexfxx≥，求k的值及(0.1)PX．【例22】美军轰炸机向巴格达某铁路控制枢纽投弹，炸弹落弹点与铁路控制枢纽的距离X的密度函数为100||||100()100000||100xxfxx≤，若炸弹落在目标40米以内时，将导致该铁路枢纽破坏，已知投弹3颗，求巴格达铁路控制枢纽被破坏的概率．【例23】设2~()XN，，且总体密度曲线的函数表达式为：22141()e2πxxfx，xR．⑴求，；⑵求(|1|2)Px及(12122)Px的值．【例24】某校高中二年级期末考试的物理成绩服从正态分布2(7010)N，．⑴若参加考试的学生有100人，学生甲得分为80分，求学生甲的物理成绩排名；⑵若及格（60分及其以上）的学生有101人，求第20名的物理成绩．已知标准正态分布表(0.97)0.833．【例25】在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70100)N，．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．⑴试问此次参赛学生总数约为多少人？⑵若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？附：标准正态分布表(1.30)0.9032(1.31)0.9049(1.32)0.9066，，．