固体物理第五章课件

第五章晶格振动5.1简谐晶体的经典运动简谐近似一维原子链5.2简谐晶体的量子理论简正坐标声子5.3晶格比热杜隆-铂替经验规律（Dulong-Petitlaw）杜隆-铂替经验规律：一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能量均分定律，每个自由度的平均热能为看kBT。Cv=3NkB杜隆-铂替经验规律：大部分固态单质的比热容和原子量的乘积几乎都相等比热容和原子量的乘积就是一摩尔原子的温度升高1度所需的热量，称为原子热容H=−∑Nn=1ℏ22Mn∇n2+e22∑Nn,m′14πε0ZnZmRn−Rm−∑NZi=1ℏ22mi∇i2+e22∑NZi,j′14πε01ri−rj−∑NZi=1∑Nn=114πε0Zne2ri−Rn固体物理的数学基础含义：Z个价电子，考虑动能和库仑作用力，′表示不对相同脚标求和Born-Oppenheimer近似单电子近似周期场理论离子实的薛定谔方程体系的总哈密顿量为H=Tn+VnmR,R′+Venr,R−Venr,R0+Te+Veer,r′+Venr,R0He=Te+Veer,r′+Venr,R0绝热近似下，波函数可以写成电子部分和离子实部分Ψr,R=ψr,R0χRHΨr,R=EΨr,R代入薛定谔方程Tn+VnmR,R′+Venr,R−Venr,R0+Heψr,R0χR=Eψr,R0χR左乘ψ*r,Rn0并对电子坐标积分Tn+VnmR,R′+Ee+ψr,R0Venr,R−Venr,R0ψr,R0χR=EχRE=Ee+En将E写成电子部分和离子部分并且令VR=VnmR,R′+ψr,R0Venr,R−Venr,R0ψr,R0离子实部分的薛定谔方程为Tn+VRχR=EnχR简谐近似harmonicapproximation简谐近似的物理基础：离子实对平衡位置的瞬时偏离很小简谐近似：势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级数，并且只保留到二次项V=V0+∑3Nn∂V∂μn0μn+12∑3Nn,m∂2V∂μn∂μm0μnμm原子的位置为：Rn=Rn0+μnμn是位移矢量简谐近似下原子的势能为可以设V0=0，且有∂V∂μn0=0V=12∑3Nn,m∂2V∂μn∂μm0μnμm一维单原子链Va+δ=Va+12βδ2+高阶项δ=μn+1−μn简谐近似下，相邻原子间的作用力为F=−dVdδ=−βδ相邻原子间的作用力是正比于相对位移的弹性恢复力只考虑最邻近作用情况下，原子n受到左右两个邻近原子的相反作用力左邻近原子n−1的力，正比于μn−μn−1右邻近原子n+1的力，正比于μn+1−μnMμn=βμn+1−μn−βμn−μn−1=βμn+1+μn−1−2μnMμn=βμn+1+μn−1−2μn这是一个线性齐次方程，对于没有边界的无穷长原子链，具有下面形式的解μnq=Aeinaq−ωt−Mω2Aeinaq−ωt=βAein+1aq−ωt+Aein−1aq−ωt−2Aeinaq−ωt代入方程得−Mω2=βeiaq+e−iaq−2=2βcosaq−1ω2=2βM1−cosaq=4βMsin212aqω与n无关，N个联立方程都归为同一个色散方程，ω与q的关系称为色散关系每个原子都对应一个这样的方程得到ω与q的关系为每个振动模式是所有原子都参与振动的结果解的物理意义μnq=Aeinaq−ωt解与一般连续介质波有完全类似的形式，区别在于x只选取格点na位置Aeiqx−ωt一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子间有相位差箭头向上表示向左振动箭头向下表示向右振动箭头长度表示离开平衡位置的大小格波的波长为：λ=2πq不同原子间的相位差为：n−n′aq相邻原子间的相位差为：aqaq改变2π的整数倍，解的形式不变因此aq的取值范围为−πaq≤π−πaq≤πaaq改变2π的整数倍，解的形式不变格波描述的原子振动是相同的红色线：q=π2a绿色线：q=5π2a这两种情况，格波描述的原子振动是相同的周期边界条件，构建无限长一维原子链eiNaq=1q取分立值q=hN2πah为整数−N2h≤N2ω=2βMsin12aqq的取值在第一布里渊区，−πaq≤πaq=hN2πa只能取N个不同分立值只有频率在0ω≤2βM之间的格波才能在晶体中传播，其它频率被强烈衰减频率的取值范围为：0ω≤2βM长波极限，q→0，λa，sin12aq≈12aq长波极限下，色散关系与连续介质中的声波相同，因此将这样的色散关系称为声学支对应的振动模式为声学模短波极限，q→πa，ω→2βM长波极限，相邻原子间的相位差为：aq→0长波极限：λ=2πq→∞，一个波长内包含许多原子，晶格可以看做连续介质短波极限，相邻原子间的相位差为：aq→π长波极限短波极限短波极限：相邻原子的振动相反每个原子都参与振动一维双原子链晶格常数为2a，Mm只有相邻原子发生相互作用Mμ2n+1=βμ2n+2+μ2n−2μ2n+1mμ2n=βμ2n+1+μ2n−1−2μ2nμ2n=Aei2naq−ωtμ2n+1=Bei2n+1aq−ωt−Mω2B=βeiaq+e−iaqA−2βB−mω2A=βeiaq+e−iaqB−2βAmω2−2βA+2βcosaqB=02βcosaqA+Mω2−2βB=0mω2−2β2βcosaq2βcosaqMω2−2β=mMω4−2βm+Mω2+4β2sin2aq=0ω2±=βm+MmM1±1−4mMm+M2sin2aq12存在两种色散关系，存在两种格波红色：声学支蓝色：光学支ω2+=βm+MmM1+1−4mMm+M2sin2aq12ω2−=βm+MmM1−1−4mMm+M2sin2aq12振幅的关系为：BA±=−mω2±−2β2βcosaq相邻原胞间的相位差为：2aqq取值范围在：−π2aq≤π，−π2aq≤π2aq=hN2π2ah为整数第一布里渊区内q允许的数目为N，声学支格波数N，光学支格波数N，共2N个格波光学支光学支与光波的色散曲线有交点，声学支永在光波色散曲线之下ω=ck0opticalbranchacousticbranch短波极限，q→±π2aω+min→βmMm+M+M−m=2βmω−max→βmMm+M−M−m=2βM因为Mm，因此ω+minω−max，且ω+minωω−max没有格波，称为频率隙长波极限声学支，q→0ω2−=βm+MmM1−1−4mMm+M2sin2aq124mMm+M2sin2aq1利用1−x=1−12xω−=2βm+Msinaq≈2βm+Maqω+minω−maxω+=2βmMm+M长波极限光学支，q→0长波极限声学支：q→0，ω→0，BA−=−mω2−−2β2βcosaq→1长声学波，原胞中相邻原子的振动方向相同，且振幅相同长波极限光学支：ω2+=βm+MmM1+1−4mMm+M2sin2aq12ω+≈2βm+MmM=2βμμ=mMm+M是有效质量BA+=−mω2+−2β2βcosaq≈−mM长光学波，原胞中相邻原子的振动方向相反，质心保持不变ω2±=βm+MmM1±1−4mMm+M2sin212aq12Mv2n+1=βun+1+un−2vnmu2n=βvn+vn−1−2unun=Aeinaq−ωtvn=Bein+12aq−ωt−Mω2B=βei12aq+e−i12aqA−2βB−mω2A=βei12aq+e−i12aqB−2βAmMω4−2βm+Mω2+4β2sin212aq=0声学支光学支一维原子链都是纵波三维晶格三维复式格子：晶体有N=N1N2N3个原胞组成，一个原胞内有s个原子s个原子的质量分别为m1,m2,m3,...ms第l个原胞的位置是：Rl=l1a1+l2a2+l3a3第l个原胞的原子偏离格点位置的位移是：μlk:μl1,μl2,...,μln第k个原子的运动方程是：mkμαlk=−βμαlk方程的解可以写为：μlk=AkeiRlk∙q−ωt一共有3s个线性齐次方程，根据行列式为零条件，有3s个频率解结论：一个原胞有s个原子，一共有3个声学支，3s−3个光学支，格波总数共计3sNp=2时的三维晶格的非简并格波谱一维双原子链一个光学支，一个声学支ω=ck0opticalbranchacousticbranch三维双原子链三个光学支，三个声学支硅的格波谱TA和TO都是两重简并GaAs的格波谱Pb的格波谱只有声学波长光学支长声学支格波的四种形式三维时，一纵两横总结一维：一个原胞有s个原子，一共有1个声学支，s−1个光学支，格波总数共计sN二维：一个原胞有s个原子，一共有2个声学支，2s−2个光学支，格波总数共计2sN三维：一个原胞有s个原子，一共有3个声学支，3s−3个光学支，格波总数共计3sN三维双原子：3支声学：一纵两横，3支光学：一纵两横简谐近似harmonicapproximation简谐近似的物理基础：离子实对平衡位置的瞬时偏离很小简谐近似：势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级数，并且只保留到二次项V=V0+∑3Nn∂V∂μn0μn+12∑3Nn,m∂2V∂μn∂μm0μnμm原子的位置为：Rn=Rn0+μnμn是位移矢量简谐近似下原子的势能为可以设V0=0，且有∂V∂μn0=0V=12∑3Nn,m∂2V∂μn∂μm0μnμm分析力学拉格朗日力学：核心是与牛顿第二定律等价的拉格朗日方程系统的自由度s=3N−h，N为质点数，h为约束，系统的拉格朗日量为Lq1,q2,...,qs,q1,q2,...,qs,tddt∂L∂qi−∂L∂qi=0拉格朗日方程为拉格朗日方程为二阶微分方程哈密顿力学：核心是哈密顿方程引入共轭动量，pi=∂L∂qi∂H∂qi=−pi∂H∂pi=qi∂H∂t=−∂L∂t哈密顿方程为将物理规律抽象为数学原理和定理，揭示了物理规律背后更普遍的性质H=−L+∑sipiqiF=mg=maL=T−V=12mυ2−mgyddt∂L∂qi−∂L∂qi=0ddtmυ+mg=0H=T+V=12mυ2+mgy∂H∂qi=−pimg=−mυ经典力学mg=−mυ量子理论N个原子体系的动能函数为T=12∑3Ni=1miμi2引入简正坐标Qj，简正坐标与原子位移坐标μj通过正交变换相互联系miμi=∑3NjaijQj引入简正坐标的目的是为了是系统的势能函数和动能函数具有简单形式，化为平方项之和，无交叉项T=12∑3Ni=1Qi2V=12∑3Ni=1ωi2Qi2系统的哈密顿量为H=12∑3Ni=1pi2+ωi2Qi2pi=Qipi=−∂H∂qiL=T−Vpi=∂L∂qi应用正则方程Qi+ωi2Qi=0这是3N个相互无关的方程，表明各简正坐标描述独立的简谐振动，解为Qi=Asinωit+δωi是振动的圆频率当只考察某一个Qj振动时，原子位移坐标和简正坐标的关系退化为下式μi=aijmiAsinωjt+δ一个简正振动表示的是一个振动模式是所有原子都参与的共同振动，所有原子的振动频率相同。将上面的哈密顿量算符化，得到量子力学的波动方程Hψ=Eψmiμi=∑3NjaijQjH=12∑3Ni=1pi2+ωi2Qi2H=∑3Ni=112−ℏ2∂2∂Qi2+ωi2Qi2pi=−iℏ∂∂Qi波动方程为∑3Ni=112−ℏ2∂2∂Qi2+ωi2Qi2ψQ1,Q2,...,Q3N=EψQ1,Q2,...,Q3N这个方程表示一系列互相独立的简谐振子，对于其中某一简正坐标有12−ℏ2∂2∂Qi2+ωi2Qi2φQi=EiφQi这是大家所熟知的谐振子方程Ei=ni+12ℏωi谐振子的本征能量为φniQi=ωiℏexp−ξ22Hniξ谐振子的本征函数为ξ=ωiℏQiHn是厄米多项式E=∑3Ni=1Ei=∑3Ni=1ni+12ℏωi系统的本征能量为系统的本征函数为ψQ1,Q2,...,Q3N=∏3NiφniQi一维单原子链的量子理论μnq=Aqeinaq−ωqt前面通过经典理论得到的一维单原子链本征解为表示第q个格波引起的第n个原子的位移，原子的总位移为所有格波的叠加μn=∑qμnq=∑qAqeinaq−ωqt变换一下形式，可以写为μn=1Nm∑qeinaqQqQq=NmAqe−iωqtmμn=1N∑qeinaq