正交矩阵及其性质-本科毕业论文

本科毕业设计(论文)题目名称：正交矩阵及其性质学院：数学与统计学院专业年级：数学与应用数学学生姓名：班级学号：指导教师：二O一三年五月二十四日I摘要正交矩阵是一种常用的特殊矩阵,在矩阵论中占有重要地位,有着非常好的性质,并具有广泛的应用.本文应用矩阵的行列式,特征值,秩等概念,深入研究了正交矩阵的相关性质,并利用这些性质解决实际问题.关键词:矩阵;正交矩阵;特征值;行列式;秩IIAbstractOrthogonalmatrixisakindofcommonlyusedmatrixandplaysanimportantroleinmatrixtheory.Orthogonalmatrixhasmanygoodproperties.Itiswidelyused.Inthispaper,wedepthstudytherelatedpropertiesoforthogonalmatrixbyapplyingtheconceptsofdeterminant,eigenvalue,rankandsooninmatrix,andusingthesepropertiessolvesomepracticalproblems.Kerword:Matrix;Orthogonalmatrix;Eigenvalue;Determinant;RankIII目录摘要.............................................................IAbstract............................................................II目录...........................................................III1.引言...........................................................12.正交矩阵的定义及其性质.............................................12.1正交矩阵的定义................................................12.2正交矩阵的性质................................................13.应用举例...........................................................5致谢.............................................................7参考文献.............................................................811.引言矩阵是数学中一个重要的基本概念,是代数学的重要研究对象之一.矩阵是线性代数中的核心内容,而正交矩阵作为一种特殊形式的矩阵,在整个矩阵理论体系中占有重要地位,有着非常好的性质[1-4],并在各领域的数学方法中有着广泛的应用,对其本身的研究来说是富有创造性的领域.关于正交矩阵的研究,如今已取得了丰富的成果,文献[5]比较全面的分析了正交矩阵的性质;文献[6]讨论了正交矩阵的特征值与行列式的关系;文献[7]阐述了2阶正交矩阵有哪些类型;文献[8]利用欧式空间的理论得出了正交矩阵的子式的性质;文献[9]应用正交矩阵的若干性质,给出了正交矩阵特征多项式系数的规律;文献[10]叙述了正交矩阵在近世代数中的应用.国内还有许多学者研究了正交矩阵的性质和应用,为矩阵理论的发展做出了重大贡献,对于研究学习高等代数有重大的理论意义.但他们都是从正交矩阵的某个性质出发进行研究,没有系统全面的讨论正交矩阵的性质,所以,在此基础上,本文对正交矩阵进行了较为深入的研究,得到了正交矩阵的一系列常用性质,并对相关性质进行了概括,改进和推广,又研究了其子式与余子式的关系以及正交矩阵的应用.2.正交矩阵的定义及其性质2.1正交矩阵的定义定义1一个n阶实矩阵A叫做正交矩阵,如果AAAAE.注(1)一个n阶实矩阵A叫做正交矩阵,如果'1AA.(2)若n阶实矩阵A的n个行(列)向量是两两正交的单位向量,则A为正交矩阵.2.2正交矩阵的性质性质1[1-2]设A,B均为正交矩阵,则2(1)1A.(2)'A,1A,*A,AB都是正交矩阵.性质2[5]设A为正交矩阵,则其特征值的模等于1,且属于A的不同特征值的特征向量互相正交.证设为A的特征值,是A的属于的特征向量,由''''''AAAAAA'''AA,而'0,故1,即的模等于1.另设是A的属于的特征向量,由A,A,'AAE,可得''''''AAAAAA''.所以'10,而,从而21,故'0,即与互相正交.性质3[6]设A为正交矩阵,(1)若1A,则A一定有特征值1.(2)若1A,且n为奇数，则A一定有特征值1.证(1)由''AEAAAEAA'AEAAEAAE,可得2=0AE,即=0AE,由特征方程的定义可知,A一定有特征值1.(2)由'''AEAAAEAAEAAn=-1AEAAE,这里n为奇数,可得320AE,即0AE,由特征方程的定义可知,A一定有特征值1.性质4设A是n阶正交矩阵,是欧式空间nR中的列向量,则22A.证因为''''',AAAAAAAA',,所以22A.性质5设A是n阶正交矩阵，则对任意n阶正交矩阵B，有'TrABATrB.证A是n阶正交矩阵,由'AAE得'1AA,而由引理3[7]知,1TrPBPTrB,其中p为n阶可逆矩阵,故对任意n阶矩阵B,有'TrABATrB.性质6(1)设A为对称正交矩阵,则A必为对合矩阵,从而A的特征值只能等于1.(2)设A为上(下)三角的正交矩阵,则A必为对角矩阵,且主对角线上的元素为1.证(1)显然成立.(2)不妨设A为上三角的正交矩阵,则'1AA,所以A只能是对角矩阵.从而是对称矩阵,由(1)知,A的特征值只能等于1,故A的主对角线上的元素为1.性质7设A为非对称的正交矩阵,则A的特征值不可能全为实数.证反证若A的特征值均为实数,则存在正交矩阵Q,使得nnAQQ002121'[8],所以A合同于对称矩阵,从而A为对称阵,矛盾故A的特征值不可能全为实数.定义2在一个n级行列式D中任意选定k行k列nk.位于这些行和列的交点上的2k个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M,称为行列式D的一个k级子式.当4nk时,在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的kn级行列式'M称为k级子式M的余子式.定义3设D的k级子式M在D中所在的行,列指标分别是kkjjjiii,,,;,,,2121.则M的余子式'M前面加上符号kkjjjiii21211后称做M的代数余子式.性质8[9]设A为正交矩阵,(1)若1A,则A的任意子式与其代数余子式相等.(2)若1A,则A的任意子式与其代数余子式仅差一个符号.证(1)记kkjjiiA11为A中k阶子式,kkjjiiA11~为A的代数余子式.由于A为正交矩阵,1'AA,故当1A有kkkkkkiijjAiijjAjjiiA11111'11kkkkjjiiAjjiiAA1111~~1.(2)当1A时,由(1)直接可得kkkkjjiiAjjiiA1111~.性质9设ijAa是2n阶实矩阵,则(1)若1A,则A为正交矩阵的充要条件是njiAaijij2,1,,,其中ijA是ija在A中的代数余子式.5(2)若1A,则A为正交矩阵的充要条件是njiAaijij2,1,,.证只证(1)必要性:当1A时,由*AAAE得1*AA,A为正交矩阵，则'1AA,从而'*AA,即njiAaijij2,1,,.充分性:若ijijaA,即njiAajiji2,1,,.则'*1AAA,于是A为正交矩阵.3.应用举例例1设A,B是两个正交矩阵,n为奇数,证明0BABA.证BABABABABABA''ABBABABA'''',又BABABABABABAABBABAABBABAn''''''1,于是BABABABAn1,由n是奇数知0BABA.例2证明:不存在正交矩阵A,B使22BABA.证反证设有正交矩阵A,B使22BABA,则1'AA,1'BB以及2'BA,'2BA都是正交矩阵[10],且BABA2',BABA'2.从而由EBBAA''知:6'''2ABBAEBABAE,'''2ABBAEBABAE.由此二式得EE42,矛盾,故得证.例3设A为正交矩阵,i是A的复特征值0,yix为其对应的特征向量,证明x,y的模长相等且互相正交.证令i,yix,则0A,于是'''A,由'2''''AA得01'2,即021'22i,由性质2知122,所以得02'i,而0,0,所以0,从而0',即02'''yixyyxx,这样就有yyxx''及0'yx,故x,y的模长相等且互相正交.7致谢本文是在高福顺老师的亲切关怀和悉心指导下完成的.他为人随和热情,治学严谨细心.在我论文的整个写作过程中,高老师对我提出了许多宝贵的意见和建议,从选题,定题开始,一直到最后论文的修改润色,定稿,高老师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导,帮助我开拓研究思路.老师不仅在学业上给我以精心的指导,而且在思想和生活上给我以无微不至的关怀,在此谨向高老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意!同时感谢数学系各位老师的关心和教育,感谢我的同学们,正是由于他们的帮助和支持,我才能克服一个一个的困难和疑惑,直至本文的顺利完成.在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,有多少可敬的师长、同学和朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！我还要感谢含辛茹苦培养我长大的父母，谢谢你们！最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心的感谢！8参考文献[1]张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1983,321-328.[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2000,372-393.[3]杨子胥.高等代数精选题解[M].北京:高等教育出版社,2008,518-528.[4]PaulEdwardSpicer.Onorthogonalpolynomialsandrelateddiscreteintegrablesystems[D].Leeds,UK:DepartmentofAp