第九章--真空中的静电场(答案)2015(1)

1第九章真空中的静电场一．选择题[B]1（基础训练1）图中所示为一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为＋(x＜0)和－(x＞0)，则Oxy坐标平面上点(0，a)处的场强E为(A)0．(B)ia02．(C)ia04．(D)jia04．【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a)处产生的场强大小E＋、E－大小为：0122EEa，方向如图。矢量叠加后，合场强大小为：02Ea合，方向如图。［C］2（基础训练3）如图所示，一个电荷为q的点电荷位于立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量等于：(A)06q．(B)012q．(C)024q．(D)048q．【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A处于大立方体的中心。则大立方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss定理知，通过该高斯面的电通量为0q。再据对称性可知，通过侧面abcd的电场强度通量等于024q。［D］3（基础训练6）在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点，则M点的电势为(A)aq04．(B)aq08．(C)aq04．(D)aq08．【提示】：220048PaMMaqqVEdldrraAbcdaqaa+qPME+E-E合O+-xy(0,a)O+-xy(0,a)2［C］4（自测提高4）如图9-34，设有一“无限大”均匀带正电荷的平面。取x轴垂直带电平面，坐标原点在带电平面上，则其周围空间各点的电场强度E随距离平面的位置坐标x变化的关系曲线为(规定场强方向沿x轴正向为正、反之为负)：【提示】：由于电场分布具有平面对称性，可根据高斯定理求得该带电平面周围的场强为：0(+0;0)2Eixx“”号对应“”号对应［B］5（自测提高6）如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R1、带电荷Q1，外球面半径为R2、带有电荷Q2．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r处的P点的电势U为：(A)rQQ0214．(B)20210144RQRQ．(C)0．(D)1014RQ．【提示】：根据带点球面在求内外激发电势的规律，以及电势叠加原理即可知结果。［C］6（自测提高10）如图所示，在真空中半径分别为R和2R的两个同心球面，其上分别均匀地带有电荷+q和－3q．今将一电荷为+Ｑ的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为：(A)RQq04．(B)RQq02．(C)08QqR．(D)RQq083．【提示】：静电力做功()ABABQUQVV等于动能的增加。其中：00034428AqqqVRRR；0003242428BqqqVRRR代上即得结果。二．填空题1．（基础训练13）两根互相平行的长直导线，相距为a，其上均匀带电，a12OxE(A)OxE(C)OxE(B)OxE(D)E∝1/|x|E∝x-3q＋qQR2RQ2Q1OPrR2R13电荷线密度分别为1和2．则导线单位长度所受电场力的大小为F＝1202a．【提示】：电荷线密度为电荷线密度分别为1在2处激发的场强为11202Ea，其单位长度所受电场力的大小212E。2．（基础训练15）在“无限大”的均匀带电平板附近，有一点电荷q，沿电力线方向移动距离d时，电场力作的功为A，由此知平板上的电荷面密度＝02Aqd．【提示】：“无限大”的均匀带电平板附近为匀强电场：02E；电场力作的功为AqEd。3（基础训练16）如图所示，一半径为R的均匀带电细圆环，带有电荷Q，水平放置。在圆环轴线的上方离圆心R处，有一质量为m、带电荷为q的小球。当小球从静止下落到圆心位置时，它的速度为v＝12012122QqgRmR．【提示】：根据动能定理，2G12AAm电，其中：GAmgR；A电为电场力做功，数值上等于电势能的减少，有：2212004()4QQAqRRR电。综上求解即可得本题结果。4（自测提高12）、一均匀带电直线长为d，电荷线密度为＋，以导线中点O为球心，R为半径(R＞d)作一球面，如图所示，则通过该球面的电场强度通量为0/d.带电直线的延长线与球面交点P处的电场强度的大小为2204dRd，方向沿矢径OP．【提示】：电场强度通量的计算依据高斯定理；P处的电场强度的大小为：22024dRdRdxEx，其中x为电荷元dx到P点的距离。5（自测提高19）已知某区域的电势表达式为U＝Aln(x2+y2)，式中A为常量．该区域的场强的两个分量为：Ex＝222;0zAxExy＝。ORdPRROm、q4【提示】：222;0xzdUxdUEAEdxxydz6（自测提高21）如图所示，在半径为R的球壳上均匀带有电荷Q，将一个点电荷q(qQ)从球内a点经球壳上一个小孔移到球外b点．则此过程中电场力作功A＝20114rRQq．【提示】：静电力做功()ababqUqVV。其中：04aQVR，024bQVr。三．计算题1.（基础训练20）真空中一立方体形的高斯面,边长a＝0.1m，位于图中所示位置．已知空间的场强分布为：Ex=bx,Ey=0,Ez=0．常量b＝1000N/(C·m)．试求通过该高斯面的电通量．【解】：通过x＝a处平面1的电场强度通量1=-E1S1=-ba3通过x=2a处平面2的电场强度通量2=E2S2=ba3其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总电场强度通量为=1+2=ba3-ba3=ba3=1N·m2/C2（基础训练23）如图所示，在电矩为p的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧(圆心与电偶极子中心重合，R电偶极子正负电荷之间距离)移到B点，求此过程中电场力所作的功．【解】：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势304/rrpU式中r为从电偶极子中心到场点的矢径．于是知：A、B两点电势分别为204/RpUA204/RpUBOQRar1r2bABRpOxzyaaaaOyxa2aE1E2125ppq从A移到B电场力作功(与路径无关)为202/RqpUUqABA3（基础训练25）图中所示为一沿x轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为＝0(x-a)，0为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势．【解】：在任意位置x处取长度元dx，其上带有电荷dq=0(x－a)dx，它在O点产生的电势xxaxU004ddO点总电势laalaaxxaxdUUdd400alaalln4004（自测提高22）如图9-46所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度。【解】：设杆的左端为坐标原点O，x轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为=q/L，在x处取一电荷元dq=dx=qdx/L，它在P点的场强：204ddxdLqE204dxdLLxq总场强为LxdLxLqE020)(d4－dLdq04方向沿x轴，即杆的延长线方向．5（自测提高26）电荷以相同的面密度分布在半径为r1＝10cm和r2＝20cm的两个同心球面上。设无限远处电势为零，球心处的电势为U0＝300V。(1)求电荷面密度。(2)若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？【解】：（1）根据电势叠加原理，知球心处的电势为：121201022212010212004444;44orrQQVVVrrrrrrrrOalxＰLddqx(L+d－x)dExO6故：920128.8510(/m)oVCrr（2）假设放掉电荷后，外球面上的电荷为'2Q，则由：12'120102044orrQQVVVrr有：'2211rQQr外球面上放掉的电荷为：'22222222121112290212212124444()4()6.6710)orrQQrQrrrrVrrrrrrCrr6.（自测提高28）一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为=Ar(r≤R)，=0(r＞R)A为一常量．试求球体内外的场强分布．【解】：在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为rrArVqd4dd2在半径为r的球面内包含的总电荷为403d4ArrArdVqrV(r≤R)以该球面为高斯面，按高斯定理有0421/4ArrE得到0214/ArE，(r≤R)方向沿径向，A0时向外,A0时向里．在球体外作一半径为r的同心高斯球面，按高斯定理有0422/4ARrE得到20424/rARE，(rR)方向沿径向，A0时向外，A0时向里．附加题：1.（基础训练26）一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为r的一个小球体,球心为O,两球心间距离dOO,如图所示.求:在球形空腔内,球心O处的电场强度0E.在球体内P点处的电场强度E.设O、O、P三点在同一直径上，且dOP。【解】：挖去电荷体密度为的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场1E，而另在挖去处放上电荷体密度为－的同样大小的球体，求出电场2E，并令任意点的场强为此二者7的叠加，即可得：210EEE在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面S，可求出O与P处场强的大小。302113414dddESES有：E1O’＝E1P=dE013方向分别如图所示。在图(b)中，以O点为小球体的球心，可知在O点E2=0.又以O为心，2d为半径作球面为高斯面S可求得P点场强E2P032223/)(4)(24drdESES203212drEP(1)求O点的场强'OE.由图(a)、(b)可得EO’=E1O’=03d方向如图(c)所示。(2)求P点的场强PE.由图(a)、(b)可得2302143drdEEEPPP方向如(d)图所示.2.（自测提高31）两根相同的均匀带电细棒，长为l，电荷线密度为，沿同一条直线放置．两细棒间最近距离也为l，如图所示．假设棒上的电荷是不能自由移动的，试求两棒间的静电相互作用力．lllx3ldxxdx2llOxE1PPE2PEP图(d)OOPE1O’图(a)OOdEO’=E1O’图(c)OPE2P-OrE2O’=0图(b)E1P8【解】：选左棒的左端为坐标原点O，x轴沿棒方向向右，在左棒上x处取线元dx，其电荷为dq＝dx，它在右棒的x处产生的场强为：204ddxxxE整个左棒在x处产生的场强为：lxxxE0204dxlx1140右棒x处的电荷元dx在电场中受力为：xxlxxEFd114dd02整个右棒在电场中受力为：llxxlxF3202d11434ln402，方向沿x轴正向．左棒受力FF