2019-高数(微积分)中值定理和导数应用课件-文档资料

－理学院信息与计算科学系－《高等数学》A第三章中值定理与导数的应用中值定理洛必达法则泰勒公式导数的应用中值定理第一节学习重点理解罗尔定理掌握拉格朗日中值定理及其推论－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程微分中值定理包括：罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理§3.1中值定理微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有某种微分性质。微分中值定理是微分学的理论基础。是利用导数研究函数性质的理论依据。－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程一、费尔马(Fermat)引理（1）极值(局部最值)的定义：则称函数(或极小值),取得极大值在0xf并称为的极大值点f0x).(或极小值点极值未必是函数在上的最大值,极值只是局部最大的.)(xfyI－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程0x1xxyo)(极大值点)(极小值点极大值)(0xf极小值)(1xf)(xfy－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程0)(,)(,)(000xfxxfxxf则必有可导点在并且取得极值在点设函数（2）费尔马(Fermat)引理(极值必要条件)证明:)0)(0)(:(00xfxf且只须证明.)(0处取得极大值在点不妨设xxf有内的邻域在点即,),(000xxx)()(0xfxf000)()()(xxxfxfxxf考察－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程0)()(000xxxfxfxx0)()(000xxxfxfxx并且有都存在和所以存在因为,)()(,)(000xfxfxf0)()(lim)()(00000xxxfxfxfxfxx0)()(lim)()(00000xxxfxfxfxfxx0)(0xf－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程说明:.0)(00极值点的一个不一定是函数的点满足fxxf.0)(0必要条件是可导函数取得极值的xf称使的点为函数的驻点0)(0xf0x)(xfy二、罗尔(Rolle)定理罗尔定理若函数)(xf满足下列条件:(1)在],[ba上连续;(2)在),(ba内可导;(3))()(bfaf,则在),(ba内至少存在一点使得0)(f.－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程怎样证明罗尔定理？xyoabAB想到利用闭区间上连续函数的最大最小值定理！轴切线平行于x0)(f－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程由于)(xf在],[ba上连续,)(xf在],[ba上有最大值M和最小值m.证明:(1)mM.此时,)(xf为常函数,)(0)(bxaxf.于是,可取),(ba内任何一点为.(2)mM.此时,由于)()(bfaf,故mM,之一是函数在),(ba内的函数值.不妨设)(fM)(ba.此时,是函数的局部最大值点.由费尔马引理0)(f.－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程使得内至少存在一点则在内可微在开区间上连续在闭区间满足条件：设函数,),(,),()2(;],[)1()(bababaxf)()()()(bafabafbf三、拉格朗日(Lagrange)定理－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程怎样证明拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加条件:)()(bfaf则为罗尔定理；罗尔定理若放弃条件:)()(bfaf则推广为拉格朗日定理。知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的新问题转化为已掌握的老问题。因此想到利用罗尔定理！－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程xo0)(:kakxafyAB方程弦CABabafbfk)()(yab满足罗尔定理条件弦线与f(x)在端点处相等kakxafxfxF)()()(设所以函数－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程)()()()()()(axabafbfafxfxF).()(,),(,],[)(:bFaFbabaxF且可导内在上连续在容易验证证明：构造辅助函数使得内至少存在一点在由罗尔定理知,),(,ba0)()()()(abafbffFabafbff)()()(－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程abafbff)()()(拉格朗日公式各种形式)()()()(abfafbf)()()()(1212xxfxfxfxfxfxxf)()()(00xxxfxfxxf)()()(000),(ba),(ba),(21xx),(00xxx)10(－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程思考题：？比较公式与公式的区别)()()()(000xxxfxfxxfxxxfxfxxf)()()(000有限增量公式微小增量公式－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程0],[xba上任意取定一点在))(()()(00xxfxfxf朗日中值定理条件上满足拉格或在],[],[)(],,[00xxxxxfbax.],[,],[)(上恒为常数在则上恒为零在若bafbaxf推论1：[证]有由拉格朗日中值定理,0)()(0xfxf之间与在0xx0)(f已知常数)()(0xfxf拉格朗日中值定理的推论－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程)()()(],[),()(],[是常数其中有则有若CCxgxfbaxxgxfbax推论2：).(],[),0)((0)(],[单调减少上单调增加在则有若bafxfxfbax推论3：).(],[),0)((0)(],[严格单调减上严格单调增在则有若bafxfxfbax推论4：－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程:,),(.0)(,),()2(;],[)1()(),(使得内至少存在一点则在且内可微在开区间上连续在闭区间满足条件：设函数baxgbabaxgxf)()()()()()()(bagfagbgafbf四、柯西(Cauchy)定理－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程.0)()(agbg先证矛盾！这与假设条件使得存在一点由罗尔定理知0)(,0)(),,(,xgcgbac用反证法)()(,0)()(agbgagbg即假设证明：构造辅助函数)]()([)()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF即使得故存在满足罗尔定理条件,0)(),,(,)(FbaxF)()()()()()(gfagbgafbf－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程辑关系：三个定理之间有如下逻拉格朗日定理罗尔定理柯西定理－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程例1.设函数f(x)=(x1)(x2)(x3),试判断方程f'x有几个实根,分别在何区间?解:因为f(1)=f(2)=f(3),且f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,由罗尔定理,1(1,2),使f(1;同理,2,,使f'(2;又因f'(x是二次方程,至多两个实根,故f'(x有两个实根,分别位于(1,2)和(2,3)内.－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程例２.设f(x)=x2+x.在[–1,1]上验证拉格朗日中值定理的正确性.解:(1)f(x)=x2+x在[–1,1]上连续,在(–1,1)内可导.(2)看是否存在(–1,1),使得f(1)–f(–1)=f'()·2即2(2+1)=2–0或4=0.=0(–1,1).故=0(–1,1),使得f(1)–f(–1)=f'()·2.－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程例３.证明当x0时,.)1ln(1xxxx证:改写原式,.1)1ln(11xxx(利用公式)()()(fabafbf证不等式时,往往要把待证式中的一部分写成的形式,以便构造函数f(x).)abafbf)()(0)01ln()1ln(00)1ln()1ln(xxxxxx－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程所以,记f(t)=ln(1+t),知f(t)在[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件.且0)01ln()1ln()1ln(xxxx)(f),0(,11x因)0(1111)(,111)(xxff)0(.1)1ln(11xxxx故－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程证在内可导，且.1,0xfxxfxF可得又由0)1(f.010）（）（FF，使）内有一点，由罗尔定理，在10(,0FxxfxFxF]1,0[设，显然在上连续;,0)(ff即.ff例4．设]1,0[Cf,在)1,0(内可导,且0)1(f.求证,存在)1,0(使得)()(ff.－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程例5.设f(x)在(–,+)内可导.f(0)=0.证明(–,+),使得2f()·f'()=32·f2(1)证:这一类问题,往往可考虑用中值定理解决.变形..3)()(2)1(22fff注意到,xxxxfff3223,)()()(2－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程左端,.01)0()1()1(33222fff从而,待证式为.)()(01)0()1(323322xxxfff故,记F(x)=f2(x),g(x)=x3在[0,1]上连续,在(0,1)内可导.由柯西中值定理,(0,1),使得.3)()(2)1(22fff－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程.)(,)(,)(lim,,)()(lafaxflxfaaUaxfax且可导在点则函数且外可导除点连续的邻域在点若函数使得之间至少存在一点与则在理条件上满足拉格朗日中值定或在函数显然且,,],[],[)(,.),(cxaaxxaxfaxaUx)()()(cfaxafxf[证]思考题１－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程从而有时因为当.,acax)(lim)(lim)()(limcfcfaxafxfacaxax即有由已知条件,)(lim,lcfaclcfaxafxfacax)(lim)()(lim.)(,)(,lafaxf且可导在点函数由导数定义知－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程][注意)()(lim,)(,)(lim,,)(,000000xfxfxxfxfxxxxfxxxx且必可导在则函数存在且处可导在附近连续在点只要此例说明－理学院信息与计算科学系－【高等数学】电子教程