微积分I课程第四章-中值定理及导数的应用(2nd-edition)

calculus第四章中值定理及导数的应用§4.1微分中值定理§4.2洛必达法则§4.3用导数研究函数的单调性、极值、和最值§4.4函数曲线的凹向及拐点§4.5曲线的渐近线与函数作图§4.6导数在经济学中的应用calculus§4.1微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理],[ba1)在闭区间上连续;2)在开区间),(ba内可导;有一点则在),(ba内至少),(ba使.0)(f若函数)(xf满足：),()(bfaf3)aboyABx)(xfycalculus证明()[,],fxab因为在上连续则()fx在[a,b]上取得最大值M和最小值m.1)若,mM即)(xf恒为常数,,0)(xf可取(a,b)内任一点作为;abcalculus2)若,mM由)()(bfaf知,M,m至少有一个要在),(ba内取得.不妨设M在),(ba内点处取得,即()fM)(af)()(,fxf,0xfxf)()(,0,00,0xx所以,.0)(f证毕.oabcalculus0)()(lim)(0xfxffx根据极限的保号性得0)()(lim)(0xfxffx所以,.0)()()(fff证毕.calculus几何意义:在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上,若除端点外处处有不垂直于x轴的切线,则此曲线弧上至少有一点,在该点处的切线是水平的.或者说切线aboyABx)(xfy与端点的连线AB平行.罗尔定理的三个条件是结论成立的充分条件calculus2()23,[1,3],()0.1)(fxxxxfxRollef设试验证是否符合定理的条件？如符合，求出相应的使例2''()23()[1,3](1,3)(1)(3)0.,().()2(1)0(13),1(1,3)1()0.fxxxfxfffxRolleff由于是一个多项式，所以在上连续，在内可导，而且因此满足定理的三个条件故有得，即在内存在一点，使得解calculus()(2)(1)(1)(3)2,()0fxxxxxfx已知不求导数，试确定有几个实根例及其所在范围.()()[-2-1][-11][13](-2-1)(-11)(13)(2)(1)(1)(3)0,()[-2-1][-11][13].fxfxfffffxRolle因为是一个多项式，所以在闭区间，，，，，上连续，且在开区间，，，，，上可导,又故在，，，，，上满足定理解calculusffffx'11'22'33123'因此，在(-2,-1)内至少存在一点使()=0在(-1,1)内至少存在一点使()=0,在(1,3)内至少存在一点使()=0,也即、、是()=0的实根.fxfx''又由于()=0为三次方程，所以它最多有三个实根，因而()=0只能有三个实根，它们分别在区间(-2，-1)，(-1，1)，(1，3)内.calculus'''()()()()0[()()]0[()]0()()xxffffxfxfxxfxFxxfx'()[,](0)(,)(),,(,)()())3(.xabababffabaabfbff设在上连续，在内可导，且证明在内至少存在一点，使得例calculus'()[,](0)(,)(),,(,)()())3(.xabababffabaabfbff设在上连续，在内可导，且证明在内至少存在一点，使得例''()(),()[,](,)()()()[,](,)()0,()()()0()FxxfxFxababFaFbabFxababFffff'令由已知可得在上连续，在内可导，且,即在上满足罗尔定理条件，于是至少存在一点，即明使得证calculus23()()()()()()()()()sin()()tan()()()xxxFxxfxFxxfxFxefxFxefxFxxfxFxxfxFxxefxcalculus'()[0,1](0,1)(1)0,:(0,1)2()()si.4n20xffff设在上连续，在内可导，且证明至少存在一点使得例'2()()sin20ff当（0，1）时分,析有'()()sincos0ff'1()()sin0cosff'21()()tan0cosffcalculus'[()tan]0xfxx()()tan,Fxfxx证设明()[0,1](0,1)(0)(0)tan0,(1)(1)tan10()[0,1]FxFfFfFx显然，在上连续，在内可导且有所以在上满足罗尔定理的条件.''()0,2()()sin20.Fff于是，至少存在一点(0,1),使得即注意：该题辅助函数的寻找过程是一种常用方法calculus罗尔定理的几何意义calculus二、拉格朗日(Lagrange)定理或)()()(fabafbf（2）],[ba1)在闭区间上连续;2)在开区间),(ba内可导;至少有一点),(ba若函数)(xf满足：则在),(ba内()()()(-)fbfafba（1）calculus证明()()()()fbfaxfxxba易见)(x在],[ba上连续，在),(ba内可导，且()().ab构造辅助函数calculus根据罗尔定理),,(ba使()0,即()()()0,fbfafba亦即()()().fbfafba()()fafb注意：当时，结论就是罗尔定理,即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例.calculus分析要证()()(),fbfafba即证0)()()(abafbff即证()-()()-0-xfbfafxxba令()()()()fbfaxfxxba只须证()0,calculusabafbf)()(ab()()()()[()()]fbfaxfxfaxabax()xcalculus几何意义：在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则在曲线弧上至少存在一点C，在该点处的切线与连接两端点的弦平行.aboyABx)(xfyCcalculus1).若令,aba则10于是拉格朗日公式可写成:()()[()](-)fbfafababa)10(2).若令,,xxbxa则得有限增量公式:)()(xfxxfyxxxf)()10(说明calculus验证]1,0[在闭区间上连续,在开区间)1,0(内可导,2()fxx满足拉格朗日中值定理的条件,)0()1(ff)01)((f即201)1,0(21即的确在(0,1)内找到12使定理成立.应用定理知例5验证拉格朗日中值定理对函数2()fxx在区间[0,1]上的正确性,并求.calculus'()[,](,),),()()(8)()fxabababbfbafaffba已知在上连续，在内可导，证明在(内至少存在一点使得例'()()()()[()]xbfbafaffbaxfx分析calculus'()(),()[,],()[,]()()(),()FxxfxFxababFxabFbFaFabba设由已知条件可得，在上连续，在()内可导，故在上满足拉格朗日定理条件，由拉格朗日定理得：　　证明'''''()()(),()()()(,)()()()()FxfxxfxFffabbfbafaffba又因此，在内存在一点，使calculus()[,]()(,)(1()9,)ababxabababfabbeaebaee设在上连续，在内可导，证明：在内存在一点，使得例'1()()baxxbeaeexeba等式改为：析写分(),()[,](,)(),xxxFxxeFxababFxexe'设则在上连续在内可导，且证明calculus'()()(),FbFaFba1,()babeaeeba即（）1().ababbeaebaee故(,)ab至少存在一点使得：calculus)3,0(.0)(f设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在，使calculusarcsinarcs6in,1,1证明例若，等证明式显然成立.'()arcsin,()[,]()()()(),()fxxfxfff若，不妨设，令显然在上满足拉格朗日中值定理的条件，于是有　　　21arcsinarcsin(),()1即　　22111.arcsinarcsin()().11　calculus0x时,例7证明:当.)1ln(1xxxx证明设()ln(1),ftt0t对)1ln()(ttf在],0[x上应用中值定理,),0(x,使)0)(()0()(xffxf)01ln()1ln(x即,1x因0,x所以1xxx1.x即.)1ln(1xxxxcalculus'()[,](,)()0,()[1,]fxababfxfxab如果函数在闭区间上连续，且在开区间内恒有则在闭区间上推论恒为常数.证明不妨设12,xx在],[21xx上应用中值定理,),,(21xx使))(()()(1212xxfxfxf0)()(12xfxf所以,,由21,xx的任意性知,()fx恒为常数.],,[,21baxx对calculus''()()[,](,)()(),()[,]()()2fxgxababfxgxfxabfxgxcc如果函数与在闭区间上连续，且在开区间内恒有则在闭区间上恒有　　　　　　（推论为常数）证明()()()Fxfxgx有,0由定理知,,)(cxF即()().fxgxc()()(),Fxfxgx令calculusarcsinarccos.2xx证明等式:例10'22()arcsinarccos,[1,1]11()0(1,1)111,11](),arcsinarccos.fxxxxfxxxxfxccxxc令且，于是由推论在[证，上恒有　(为常数）即　　明0,arcsinarccos.22xcxx令，得故有1arcsin1arccos1.2x当，1arcsin(1)arccos(1).2x当，calculus若函数)(),(xgxf满足:,则在),(ba内至少存在一点使成立.],[ba1)在闭区间上连续;()()()()()()fbfafgbgag2)在开区间),(ba内可导;()0,gx且()gxx注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理时的特殊情况三、柯西(Cauchy)中值定理calculus2()1()ln[121]1fxxgxx验证与在，上满足柯西中值定理条件，并由结论求例的值.2'''()1,()ln[12]1()0((1,2))()()[12](2)(1)()(12)(2)(1)()fxxgxxgxxfxxgxfffggg由