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利率风险的度量——久期和凸度本节要点•久期•凸度•久期和凸度公式推导•久期和凸度的经济意义价格和收益率关系BondCouponMaturityInitialYTMA12%5years10%B12%30years10%C3%30years10%D3%30years6%ABCDChangeinyieldtomaturity(%)Percentagechangeinbondprice0期限越长的债券价格的利率敏感性越大–ex.ABC–票面利息($)909090–面值1,0001,0001,000–Moody'sRatingAaAaAa–期限5yrs.10yrs.15yrs.–YTM9%10%11%–价格1,000939856–Letyieldsdecreaseby10%(8.1%,9%,and9.9%respectively).––新价格:1,0361,000931–%Pricechange:3.6%6.6%8.8%债券期限长度和利率风险•债券期限越长，利率风险越大$0$50$100$150$200$2500%2%4%6%8%10%12%14%16%RatePrice10Year20Year5Year鱼和熊掌？？债券期限票面利率面值A58%100B1010%100C1513%100A？B?C?一个简单例子：•李同学向张同学借了1000元钱，没有说明什么时候还。张同学除了担心李能否还钱（本金安全）外，还担心什么？•李同学承诺三个月内还钱。有三种方式让张同学选：A、三个月后一次性还1000元；B、第一个月末还200，第二个月末还300，第三个月末还剩下的500；C、每个月末平均还1000/3元。从资金安全的角度看，张同学会选哪种？久期(Duration)•久期(duration)：将所有影响债券利率风险的因素全考虑进去，形成一个经过修正的投资标准期限，用以衡量债券价格的利率风险程度。该标准期限越短，债券对利率的敏感度越低，风险越低；该标准期限越高，债券对利率的敏感度越高，风险亦越大。麦考利久期•由麦考利(F.R.Macaulay,1938)提出，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。•计算公式：其中，D是麦考利久期，是债券当前的市场价格，ct是债券未来第t次支付的现金流(利息或本金)，T是债券在存续期内支付现金流的次数，t是第t次现金流支付的时间，y是债券的到期收益率，PV(ct)代表债券第t期现金流用债券到期收益率贴现的现值。•决定久期的大小三个因素：各期现金流、到期收益率及其到期时间()()()1111/1[][](6)PTtttTTtttttctycyPVcDttPP===×++==×=×∑∑∑债券组合的麦考利久期•计算公式：其中，Dp表示债券组合的麦考利久期，Wi表示债券i的市场价值占该债券组合市场价值的比重，Di表示债券i的麦考利久期，k表示债券组合中债券的个数。k1piiiDWD==∑麦考利久期与债券价格的关系•假设现在是0时刻，假设连续复利，债券持有者在ti时刻收到的支付为ci(1≤i≤n)，则债券价格P和连续复利到期收益率的关系为：y′∑=′-=nityiiecP1∑=′--=′∂∂nityiiietcyP1∑∑=′-=′-==nityiinityiiPectPectDii11][PDyP-=′∂∂yDPP′∂-=∂债券价格的变动比例等于马考勒久期乘上到期收益率微小变动量的相反数修正久期yDD+=1*1PDyPy∂∂=-+Q麦考利久期定理性质•只有零息债券的麦考利久期等于它们的到期时间。•附息债券的麦考利久期小于或等于它们的到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的附息债券的麦考利久期等于它们的到期时间，并等于1。•永续债券的麦考利久期等于，其中y是计算现值采用的贴现率。•在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。•在息票率不变的条件下，到期时间越长，久期一般也越长。•在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。[]11y+麦考利久期的局限性•假设价格收益率曲线是线性的•假设利率期限结构是平坦的•假设未来现金流不随利率变化而变化•假设收益率曲线平行移动久期和凸性PriceDurationPricingErrorfromconvexity凸度(Convexity)•定义：凸度(Convexity)是指债券价格变动率与收益率变动关系曲线的曲度。•如果说马考勒久期等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格，我们可以把债券的凸度(C)类似地定义为债券价格对收益率二阶导数除以价格。即：221PCPy∂=∂价格敏感度与凸度的关系用久期近似计算的收益率变动与价格变动率的关系不同凸度的收益率变动幅度与价格变动率之间的真实关系说明的问题：当收益率下降时，价格的实际上升率高于用久期计算出来的近似值，而且凸度越大，实际上升率越高；当收益率上升时，价格的实际下跌比率却小于用久期计算出来的近似值，且凸度越大，价格的实际下跌比率越小。这说明：•(1)当收益率变动幅度较大时，用久期近似计算的价格变动率就不准确，需要考虑凸度调整；•(2)在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。{{误差项+∂×∂∂×+∂×∂∂=22221iiPiiPdPPipiPipiPpdP误差项+∂××∂∂×+∂××∂∂=2221211434213210,022〉∂∂〈∂∂iPiP凸性定义-1*价格久期价格凸性函数-1*修正久期凸性系数考虑凸度的收益率变动幅度与价格变动率之间的关系•考虑了凸度的收益率变动和价格变动关系：•当收益率变动幅度不太大时，收益率变动幅度与价格变动率之间的关系就可以近似表示为：()2*d1dd2PDyCyP=-+()2*21yCyDPPΔ+Δ-=Δ凸度性质•若其他条件相同，通常到期期限越长，久期越长，凸度越大。•给定收益率和到期期限，息票率越低，债券的凸度越大。如相同期限•和收益率的零息票债券的凸度大于附息票的凸度。•给定到期收益率和修正久期，息票率越大，凸度越大。•久期增加时，债券的凸度以增速度增长。•与久期一样，凸性也具有可加性。即一个资产组合的凸度等于组合中单个资产的凸度的加权平均和。现代久期模型—F-W久期•Fisher和Wei(1971)提出•核心思想是用未来收益的估计值进行现金流折现•有效避免了收益率曲线平坦的假定，但仍然假设收益率曲线平行移动现代久期模型——有效久期•1993年，FrankFabozzi提出了有效久期的思想。•所谓有效久期是指在利率水平发生特定变化的情况下债券价格变动的百分比。它直接运用不同收益率变化为基础的债券价格进行计算，这些价格反映了隐含期权价值的变动。•有效久期：利率下降x个基点时债券价格；利率上升x个基点时债券价格；初始收益率加上x个基点；初始收益率减去x个基点；债券初始价格；有效久期的计算过程•构建理论上的零息国库券即期收益率曲线•选定表示利率期限结构的数学模型•运用蒙特卡罗模拟法模拟m条利率路径•选定提前偿付模型并计算每一条利率路径上的现金流•计算期权调整利差有效久期的计算过程（续）•将OAS代入下面两式，将利率分别上移和下移一个固定的基本点，计算债券新价格。其公式为:•代入公式可得有效久期：现代久期模型——随机久期随机久期公式其中：详见：Vasicek(1997)、Cox,IngersollandRoss(1985)、Heath,JarrowandMortorn(1992)等现代久期模型——方向久期•从20世纪80年代开始，一些研究人员提出了基于方向向量的多元久期理论，如PrimanandShores(1988)提出的多项式参数久期模型，Reitano(1990，199la，1991b，1992)提出的方向久期模型(DirectionalDuration)和偏久期模型(PartialDuration)，Ho(1992)提出的关键利率久期(Key-rateDuration)，Nawalkhaandchambers(1997)提出的M一veoctr模型等。•核心思想：将收益率曲线分为若干片段，在有限数量的水平上描述利率变动。其中：各种久期对比模型创建者时间优点不足适用MacaulayMacaulay1938反映债券价格对利率变动的敏感性无法度量利率大幅波动、收益率非平坦和非平行及隐含期权下的利率风险利率小幅波动且收益率平行移动且平坦及无隐含期权F-WFisher、Wei1971允许利率期限结构为任意形状隐含收益曲线平行移动非平坦和无隐含期权随机久期VasicekVasicek1977可度量收益曲线非平行移动下的利率风险建模复杂、计算、存在随机过程风险无隐含期权多元久期方向久期Reitano1990-1992度量非平坦和非平行的利率风险计算复杂、无法度量到期日资产无隐含期权有效久期FrankFabozzi1993可度量隐含期权的利率风险计算复杂、需借助模拟技术隐含期权