由传递函数转换成状态空间模型(1)

由传递函数转换成状态空间模型——方法多!!!SISO线性定常系统高阶微分方程化为状态空间表达式SISOmnubububyayayaymmmnnnn1102211)(2211110nnnnmmmasasasbsbsbsG假设1mn外部描述←—实现问题：有了内部结构—→模拟系统内部描述SISOducxybuAxx实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。一、直接分解法因为1011111()()()()()()()()1mmmmnnnnYsZsZsYsUsZsUsZsbsbsbsbsasasa)()()()()()(1111110sZasasassUsZbsbsbsbsYnnnnmmmm对上式取拉氏反变换，则zazazazuzbzbzbzbynnnnmmmm1)1(1)(1)1(1)(0按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,nnzxzxzx，于是有uxaxaxaxxxxxnnnn12113221写成矩阵形式uxxxxaaaxxxxnnnnnnnI100000121111121式中，1nI为1n阶单位矩阵，把这种标准型中的A系数阵称之为友阵。只要系统状态方程的系数阵A和输入阵b具有上式的形式，c阵的形式可以任意，则称之为能控标准型。则输出方程121110xbxbxbxbymmnn写成矩阵形式nnmmxxxxbbbby121011][分析cbA,,阵的构成与传递函数系数的关系。在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A、b、c矩阵的所有元素。例：已知SISO系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型。42383)()(23sssssUsY解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即uxxxuxxxaaaxxx100324100010100100010321321123321321321012]083[][xxxxxxbbby若选择状态变量Tnxxxx21满足下列条件（如何考虑？）ubububyayayxubububyayayxububyayayxubyayxyxmmmnnnmmmnnnnnn)2(1)1(0)2(1)1(11)3(1)2(02)3(1)2(210212011考虑式mnubububyayayaymmmnnnn1102211设系统的输出nxy，依次对第一式求导，并带入第二式；对第二式求导，并带入第三式；依次类推，便得到ubxaxxubxaxxubxaxxubxaxnnnnnnmnnmnn011122111121写成矩阵形式ubbbbxxxxaaaaxxxxmmnnnnnnnI011121121112100nnxxxxy121]1000[式中，1nI为1n阶单位矩阵。只要系统状态空间表达式的A阵和c阵具有上式的形式，b阵的形式可以任意，则称之为能观标准型从形式上看，能控标准型和能观标准型的系数阵A是互为转置，能控标准型输入阵b和能观标准型输出阵c互为转置，这种互为转置的关系被称为对偶关系。将在第六章进一步讨论。通过以上对传递函数阵的能控标准型或能观标准型转换的讨论，对单输入系统而言，应注意如下问题：（1）传递函数转化成能控标准型的状态空间表达式，状态方程的结构只由传递函数阵的极点（特征）多项式确定，而与其零点多项式无关，零点多项式只影响输出方程的结构。（2）从能观标准型的转换可以看出，系数阵A的元素仅决定于传递函数极点多项式系数，而其零点多项式则确定输入阵B的元素。（3）只有当传递函数零点和极点多项式同阶时，即nm，状态空间表达式的输出方程中才出现Du项，否则D为零阵。例：求前例的能观标准型的状态空间模型解：直接得到能观标准型的状态空间模型，即uxxxxxx083310201400321321Txxxy321]100[二、串联分解法若SISO系统的传递函数极点互异，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式1212()()()()()()()()()()mnKszszszYsGsnmUSspspsp例：12123121232312123()()()()()()()()11KszszYsGsUSspspspszszKspspspzpzpKspspsp图示！！321213232112213321100000xxxkpzpzyuxxxpkpkpzpxxx三、并联分解法（对角标准型/约旦标准型——特征值标准型）（一）若SISO系统的传递函数极点互异，则可求得对角标准型的模型。当系统的极点互异时，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式1212()()()()()()()()()()mnKszszszYsGsnmUSspspsp写成部分分式niiinnpscpscpscpscsUsYsG12211)()()(其中，ic，ni,,2,1为待定系数，其值为))((limisipssGci选择状态变量为（画图示意状态变量的取法）,)()(iipssUsXni,,2,1即)()()(sUsXpssXiii对上式拉氏反变换，得uxpxiii即uxpxuxpxuxpxnnn222111写成矩阵形式uxxxpppxxxnnn111212121式中，系数矩阵A为对角阵。对角线上的元素是传递函数G（s）的极点，即系统的特征值。b阵是元素全为1的n×1矩阵。求对角标准型模型的输出方程中c的结构)()(1sUpscsYniii)()()(sXpssUiiniiisXcsY1)()(对上式拉氏反变换，得Tnniixxxcccxcy2121][如果系统的状态方程的A阵是对角阵，表示系统的各个变量之间是解耦的。多变量的系统解耦是复杂系统实现精确控制的关键问题，关于如何实现解耦控制将在第五章讨论。系统的状态结构图如图所示。例：设系统的闭环传递函数如下，试求系统对角标准型的转换611686)()()(23sssssUsYsG解：将)(sG用部分分式展开321)3)(2)(1(86)(321scscscsssssG从而可得)(sG的极点3,2,1111为互异的，求待定系数ic1)3)(2(86lim))((lim1111sssssGcss4)3)(1(86lim))((lim2222sssssGcss5)2)(1(86lim))((lim3333sssssGcss得对角标准型的转换为uxxxxxx111300020001321321Txxxy321541（二）对SISO系统式，当其有重特征值时，可以得到约当标准型的状态空间模型。此时模型的系数矩阵A中与重特征值对应的那些子块都是与这些特征值相对应的约当块，即iiiiλλλJ11设系统具有一个重特征值1，其重数为j，而其余为互异的特征值，记为nj,,1，则传递函数可以用部分分式展开成)()()()()()()()(1111111112111nniijjjiijjpscpscpscpscpscpscpscsG式中，待定系数jccc11211,,对应的是重极点的待定系数，其值为]))(([lim)!1(11)1()1(11jiisipssGdsdic其余互异根的待定系数),,2,1(njjici求法同前。画图示意状态变量的取法：例：设系统的闭环传递函数如下，试求系统对约当准型的状态空间模型)1)(2()3()5(3)()()(2sssssUsYsG解：从已知系统地传递函数)(sG可知，该系统为四阶，有一个重极点，重数为j=2，有两个互异的极点，即1,2,34321按部分分式展开12)3()3()(4312211scscscscsG求重极点对应的待定系数ic13)1)(2.()5(3lim])3)(([lim)!11(132)11()11(111sssssGdsdcss6)23()32)(5(3)23(3lim)1)(2.()5(3lim])3)(([lim)!12(1222332)12()12(121sssssssssdsdssGdsdcsss求互异极点对应的待定系数43,cc9)1()3()5(3lim)2)((lim2233sssssGcss3)2()3()5(3lim)1)((lim2144sssssGcss可得约当标准型的模型为uxxxxxxxx1110100002000030001343214321Txxxxy43213963