数值分析(研究生)第三章数值积分与数值微分一

第三章数值积分与数值微分（一）第二节机械求积法和代数精度第三节牛顿—科特斯求积公式第四节复化求积公式第一节实际问题的导入一、神舟六号载人飞船的在轨飞行里程数)()(d)(aFbFxxfba对于积分只要找到被积函数f(x)原函数F(x)，便有下列牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式baxxfId)(但实际使用这种求积方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如，sinx2等等，找不到用初等函数表示的原函数；另外，当f(x)是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿—莱布尼兹公式也不能直接运用．因此有必要研究积分的数值计算问题．xxsin§1实际问题的导入见课本74页.二、实际问题反映出的问题上页下页返回一、数值求积的基本思想积分中值定理告诉我们，在积分区间[a,b]内存在一点，有(ζ)成立，就是说底为b-a而高为f(ζ)的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积.ζfabxxfba)(d)(§２机械求积法和代数精度问题在于点ζ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出f(ζ)的值．我们将f(ζ)称为区间[a,b]上的平均高度．这样，只要对平均高度f(ζ)提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法．上页下页返回如果用两端点的“高度”f(a)与f(b)的算术平均作为平均高度f(ζ)的近似值，这样导出的求积公式)]()([2bfafabT2bac2)(bafabR便是我们所熟悉的梯形公式.而如果改用区间中点的“高度”f(c)近似地取代平均高度f(ζ)，则又可导出所谓中矩形公式(今后简称矩形公式)：上页下页返回更一般地，我们可以在区间[a，b]上适当选取某些节点xk，然后用f(xk)加权平均得到平均高度f(ζ)的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式式中xk称为求积节点；Ak称为求积系数，亦称为伴随节点xk的权．权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x)的具体形式．这类数值积分方法通常称作机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿—莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难．)1.2()(d)(0bankkkxfAxxf上页下页返回二、代数精度的概念数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念．定义1如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次代数精度．一般地，欲使求积公式具有m次代数精度，只要令它对于f(x)=1，x，…，xm都能准确成立，这就要求bankkkxfAxxf0)(d)(.)(11;)(21;1122mmmkkkkkabmxAabxAabA上页下页返回例1考察其代数精度.f(x)abf(a)f(b)解逐次检查公式是否精确成立代入P0=1：baabdx1)11(2ab=代入P1=x：=代入P2=x2：222abdxxba)(2baab3332abdxxba)(222baab代数精度=1)]()([2)(bfafabdxxfba上页下页返回上页下页返回三、插值型求积公式设给定一组节点a≤x0x1x2…xn≤b，且已知函数f(x)在这些节点上的值，则可作插值函数Ln(x).由于代数多项式Ln(x)的原函数容易求出，可取作为积分的近似值，这样构造出的求积公式称作是插值型的.bannxxLId)(baxxfId)(nkkknxfAI0)(求积系数Ak通过插值基函数lk(x)积分得出.bakkxxlAd)(由插值余项定理即知，对于插值型的求积公式，其余项)())(()(;d)()!1()(][10)1(nbannxxxxxxxxxnfIIfR如果求积公式是插值型的，按余项式，对于次数≤n的多项式f(x)，其余项R[f]等于0，因而这时求积公式至少具有n次代数精度．定理1形如的求积公式至少有n次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的．nkkknxfAI0)(上页下页返回四、求积公式的收敛性与稳定性定理2表明，只要求积系数Ak＞0(k＝0，1，…，n)，就能保证计算的稳定性．定义2在求积公式中，若其中，则称求积公式是收敛的．由于计算f(xk)可能产生误差，实际得到定义3对任给e＞0，若≤δ(k=0，1，n)，则称求积公式(1．3)是稳定的.定理2若求积公式(1．3)中系数Ak＞0(k＝0，1，…，n)，则此求积公式是稳定的．bankkkxfAxxf0)(d)(bankkkhnxxfxfAd)()(lim00)(max11iinixxhkkfxf~)(0，只要.~)(~kkkkfxff，即上页下页返回上页下页返回一、柯特斯系数设将积分区间[a，b]划分为n等分，步长，选取等距节点xk＝a+kh构造出的插值型求积公式称作牛顿-柯特斯(NewtonCotes)公式，式中称作柯特斯系数．按,引进变换x=a+th，则有nabhnkknknxfCabI0)()()()(nkCbakkxxlAd)(nnkjjknnnkjjnktjtknnktjkjtabhC0000)()d()!(!)1(d由于是多项式的积分，柯特斯系数的计算不会遇到实质性的困难.nkjjjkjnkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl0110110)())(()()())(()()(§3牛顿—柯特斯求积公式上页下页返回当n=1时，，求积公式就是梯形公式21)1(1)1(0CC)]()([2bfafabT当n=2时，柯特斯系数为.61d)1(41,64d)2(21,61d)2)(1(4120)2(220)2(120)2(0tttCtttCtttC相应的求积公式是辛普森(Simpson)公式)(24)(6bfbafafabS上页下页返回当n=4时，牛顿-柯特斯公式特别称作柯特斯公式，其形式为)(7)(32)(12)(32)(79043210xfxfxfxfxfabC由教材(p82)中的表3.1知，当n≥8时，柯特斯系数出现负值，这时，初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定.因此，实际计算不用n≥8的牛顿-柯特斯公式.二、偶阶求积公式的代数精度作为插值型的求积公式，n阶的牛顿-柯特斯公式至少具有n次的插值精度（定理1）.实际的代数精度还可进一步提高，一般地，可以证明下述定理:定理2当阶n为偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有n+1次代数精度.nkknknxfCabI0)()()(上页下页返回三、几种低阶求积公式的余项1、梯形公式的余项)]()([2bfafabT],[,)(12)(d))((2)(3baabfxbxaxfTIRbaT2、辛普森公式的余项)(24)(6bfbafafabS],[,)(2180d)())((!4)()4(42)4(bafababxbxcxaxfSIRbaS3、柯特斯公式的余项)(7)(32)(12)(32)(79043210xfxfxfxfxfabC],[,)(4945)(2)6(6bafababCIRC上页下页返回06890.0)(max2880)12()4(2152xfRx上页下页返回§4复化求积公式高次插值有Runge现象，故采用分段低次插值.分段低次合成的Newton-Cotes复合求积公式.一、复化梯形公式:),...,0(,nkhkaxnabhk在每个上用梯形公式：],[1kkxx11)()(2)(2nkkbfxfafhbankkkxfxfhdxxf11)]()([2)(=Tn),(),()(12)()(12)](12[][21213bafabhnfabhfhfRnkknkk/*中值定理*/nkxfxfxxdxxfkkxxkkkk,...,1,)]()([2)(111上页下页返回二、复化辛普森公式:),...,0(,nkhkaxnabhk)]()(4)([6)(1211kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21kx1kx44444])()(2)(4)([6)(1010121nknkkkbabfxfxfafhdxxf=Sn)(2180][)4(4fhabfR注：为方便编程，可采用另一记法：令n’=2n为偶数，这时，有hkaxhnabhk,2])()(2)(4)([3koddkevenkknbfxfxfafhS上页下页返回三、复化柯特斯公式:),...,0(,nkhkaxnabhk)](7)(32)(12)(32)(7[90)(14321411kkkkkxxxfxfxfxfxfhdxxfkk)](7)(14)(32)(12)(32)(7[90)(11101010432141bfxfxfxfxfafhdxxfnkknknkknkkkba=Cn)].()([49452)(4945)(2][)5()5(6)6(6afbfhfhabfR上页下页返回四、收敛速度与误差估计：定义若一个积分公式的误差满足且C0，则称该公式是p阶收敛的.ChfRph][lim0)(,)(,)(642hOChOShOTnnn~~~例5计算dxx10214解：)1()(2)0(161718fxffTkk8kxk其中=3.138988494)1()(2)(4)0(241oddeven4fxfxffSkk8kxk其中=3.141592502运算量基本相同上页下页返回Q:给定精度e，如何取n?例如：要求，如何判断n=？e||nTI)()(12][2fabhfRnkkhfh12])([12)]()([12)(1222afbfhdxxfhba上例中若要求，则610||nTI622106|)0()1(|12|][|hffhfRn00244949.0h即：取n=409通常采取将区间不断对分的方法，即取n=2k上例中2k409k=9时，T512=3.14159202注意到区间再次对分时][412)]()([121][22fRhafbffRnn412nnTITI)(3122nnnTTTI