数值分析(研究生)第四章线性方程组的直接解法二

第四章线性方程组的直接解法（二）第五节向量和矩阵范数第六节方程组的性态与误差分析上页下页返回§5向量和矩阵的范数一、向量范数定义Rn空间的向量范数||·||对任意满足条件：nRyx,00||||;0||||)1(xxx（正定性)||||||||||)2(xxC对任意(齐次性)||||||||||||)3(yxyx（三角不等式)常用向量范数：niixx11||||||niixx122||||||pnipipxx/11||||||||max||||1inixx注：||||||||limxxpp上页下页返回定义向量序列收敛于向量是指对每一个1in都有.}{)(kx*x*)(limikikxx可以理解为0||*||)(xxk定义若存在常数C0使得对任意有,则称范数||·||A比范数||·||B强.nRxBAxCx||||||||定义若范数||·||A比||·||B强，同时||·||B也比||·||A强，即存在常数C1、C20使得，则称||·||A和||·||B等价.BABxCxxC||||||||||||21定理Rn上一切范数都等价.可以理解为对任何向量范数都成立.上页下页返回二、矩阵范数定义Rmn空间的矩阵范数||·||对任意满足：nmRBA,00||||;0||||)1(AAA（正定性)||||||||||)2(AAC对任意(齐次性)||||||||||||)3(BABA（三角不等式)(4)*||AB||||A||·||B||（相容当m=n时)上页下页返回常用矩阵范数：Frobenius范数ninjijFaA112||||||—向量||·||2的直接推广对方阵以及有nnRAnRx22||||||||||||xAxAF利用Cauchy不等式可证.22||||||||||yxyx算子范数由向量范数||·||p导出关于矩阵ARnn的p范数:pxpppxAxxAApx||||max||||||||max||||10||||则ppppppxAxABAAB||||||||||||||||||||||||特别有：njijaAni1||max||||1（行和范数）niijaAnj11||max||||1（列和范数）)(||||max2AAAT（谱范数）矩阵ATA的最大特征根上页下页返回注：Frobenius范数不是算子范数.我们只关心有相容性的范数，算子范数总是相容的.即使A中元素全为实数，其特征根和相应特征向量仍可能是复数.将上述定义中绝对值换成复数模均成立.若不然，则必存在某个向量范数||·||v使得对任意A成立.vvFxxAAx||||||||max||||0反例?1||||||||max||||0vvFxxIInx三、谱半径定义矩阵A的谱半径记为(A)=，其中i为A的特征根.||max1iniReIm(A)上页下页返回定理对任意算子范数||·||有||||)(AA证明：由算子范数的相容性，得到||||||||||||xAxA将任意一个特征根所对应的特征向量代入u||||||||||||uAuA||||||||||uu定理若A对称，则有)(||||2AA证明：)()(||||2maxmax2AAAATA对称若是A的一个特征根，则2必是A2的特征根.又：对称矩阵的特征根为实数，即2(A)为非负实数，故得证.)()(22maxAA对某个A的特征根成立所以2-范数亦称为谱范数.上页下页返回定理若矩阵B对某个算子范数满足||B||1，则必有①BI可逆②||||111BBI证明：①若不然，则有非零解，即存在非零向量使得0)(xBI0x00xxB1||||||||00xxB1||||B②IBIBI1))((11)()(BIBBI11)()(BIBIBI||)(||||||1||)(||11BIBBI上页下页返回§6方程组的性态与误差分析求解时，A和的误差对解有何影响？bxAbx设A精确，有误差，得到的解为，即bbxxbbxxA)(bAx1||||||||||||1bAx绝对误差放大因子||||||||||||||||xAxAb又||||||||||||1bAx||||||||||||||||||||||||1bbAAxx相对误差放大因子上页下页返回设精确，A有误差，得到的解为，即bAxxbxxAA))((bxxAxxA)()()(1xxAAx||||||||||||||||||||||||||||||||11AAAAAAxxxbxAAxAA)()(xAxAA)(xAxAAIA)(1xAAAAIx111)((只要A充分小，使得)1||||||||||||11AAAA||||||||||||||||1||||||||||||||||||||||||1||||||||||||||||1111AAAAAAAAAAAAxx是关键的误差放大因子，称为A的条件数，记为cond(A),越则A越病态，难得准确解.||||||||1AA大上页下页返回注:cond(A)的具体大小与||·||的取法有关，但相对大小一致.cond(A)取决于A，与解题方法无关.||||||||||||||||||||||||)(1)(||||||||bbAAAAAcondAcondxx常用条件数有：cond(A)1cond(A)cond(A)2)(/)(minmaxAAAATT特别地，若A对称，则||min||max)(2Acond条件数的性质：A可逆，则cond(A)p1；A可逆，R则cond(A)=cond(A)；A正交，则cond(A)2=1；A可逆，R正交，则cond(RA)2=cond(AR)2=cond(A)2.上页下页返回精确解为.11x例197.199.1,98.099.099.01bA计算cond(A)2.10000990099009800A1=解：考察A的特征根0)det(AI000050504.0980050504.121212)(Acond392061测试病态程度：给一个扰动b3410106.01097.0b，其相对误差为%01.010513.0||||||||422bb此时精确解为0203.13*x0203.22*xxx22||||||||xx2.0102200%上页下页返回例2Hilbert阵12111131211211nnnnnHcond(H2)=27cond(H3)748cond(H6)=2.9106cond(Hn)asn注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出.行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；元素间相差大数量级，且无规则；主元消去过程中出现小主元；特征值相差大数量级.上页下页返回近似解的误差估计及改善：设的近似解为，则一般有bxA*x0*xAbrbrxxx||||||||||*||cond(A)误差上限改善方法：Step1:近似解bxA;1xStep2:;11xAbrStep3:;111drdAStep4:;112dxx若可被精确解出，则有就是精确解了.1dbAxAbAxx11112)(2x经验表明：若A不是非常病态（例如：），则如此迭代可达到机器精度；但若A病态，则此算法也不能改进.1)(Acond