浙江省2020年高考摸底考试理科数学试题及答案

1浙江省2020年高考摸底考试理科数学试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.如果复数12aii（aR，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则a的值为A.1B.-1C.3D.-32.若{0,1,2}A，{|2,}aBxxaA，则ABA.{0,1,2}B.{0,1,2,3}C.{0,1,2,4}D.{1,2,4}3.在等比数列na中，若57134aaaa，则62aa()A.14B.12C.2D.44.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A.12B.24C.48D.965.若直线1ymx与圆22:220Cxyxy相交于A，B两点，且ACBC，则m2A.34B.1C.12D.326.若x、y满足约束条件，则z=3x-2y的最小值为A.B.C.D.57.已知(1)nx展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且01(1)nxaax22nnaxax,若12242naaa,则4()xx展开式中常数项A.32B.24C.4D.88.如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.40B.103C.163D.8039.若:,sin2pxRxa，:q函数321()3fxxxax在R上是增函数，则p是q的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10.已知椭圆22221(0)xyabab的两个焦点为12,FF，P为椭圆上一点，1290FPF。若12PFF的内切圆面积为24c，则椭圆的离心率为A．12B．32C．23D．2311.已知函数)32sin()(xxf，若方程31)(xf在（0,）的解为)(,2121xxxx，则)-sin(21xx3A.332B.23C.21D.3112.已知Rba,，函数0,)1(21310,)(23xaxxaxxxxf，若函数baxxfy)(恰有三个零点，则A.a-l，b0B.a-1,b0C.a-1,b0D.a-l，b0二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点)2,1(P,则cos2=______．14.在矩形ABCD中，2AB，2BC，点F在边CD上．若3ABAF，则222252cos222ADADADB的值是______．15.已知函数sin0,0,fxAxA的图象过点,012P，且图象上与点P最近的一个最高点是,23Q，把函数fx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数gx的图象，则函数gx的单调递增区间是________；16.已知'()fx是函数cxbxaxxf232131)(的导函数，且1'(1)2fa，322acb，则下列说法正确的是___________.①)0(0f'；②曲线()yfx在2bxa处的切线斜率最小；③函数()fx在(,)存在极大值和极小值；④'()fx在区间)2,0(上至少有一个零点.三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。）4（一）必考题（共60分）17.（本小题满分12分）已知数列na满足：111,2nnnaaaNn，数列nb中，11nnba，且124bbb，，成等比数列.(1)求证：数列nb是等差数列；(2)若nS是数列nb的前n项和，求数列1nS的前n项和nT.18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥PABC中，PC平面ABC,3PC，2ACB，,DE分别为线段,ABBC上的点，且2CDDE，22CEEB．（1）证明：ED平面PCD；（2）求二面角APDC的余弦值．19.（本小题满分12分）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为A、B、C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000、6000、2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：工种类别ABC赔付频率511052104110已知A、B、C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此业务的过程中固定支出每年10万元.（1）求保险公司在该业务所获利润的期望值；（2）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给出意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；PEDCBA5方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.20.（本小题满分12分）已知椭圆C：22221(0)xyabab经过点(3,1)E，离心率为63，O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程.（2）若点P为椭圆C上一动点，点(3,0)A与点P的垂直平分线l交y轴于点B，求OB的最小值.21．（本小题满分12分）已知函数2()ln(1)1fxaxaxbx在点(1(1))f，处的切线与y轴垂直．（1）若a＝1，求()fx的单调区间；（2）若0ex，()0fx≤成立，求a的取值范围．（二）选考题（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线，.（1）以过原点的直线的倾斜角为参数，写出曲线的参数方程；（2）直线过原点，且与曲线，分别交于，两点（，不是原点）。求的最大值.23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数（1）当时，解不等式；（2）若二次函数的图象在函数的图象下方，求的取值范围·6参考答案一、选择题1.D2.C3.A4.B5.D6.C7.B8.D9.A10.C11.A12.C二、填空题13.3514.2315.22,233kkkZ16.②③④三、解答题17.解：（1）1111111121111111nnnnnnnnnaaaaaaabb数列nb是公差为1的等差数列；（2）由题意可得311121,4122bbbbbb即，所以11b21nnnS1112121nnnnnS12111211131212112nnnnnTn18.（1）证明：因为PC平面ABC，DE平面ABC，所以PCDE.由2,2CECDDE得CDE为等腰直角三角形，故CDDE．又PCCDC，且PC面PCD，CD面PCD，故DE平面PCD．（2）解：如图所示，过点D作DF垂直CE于F，易知1DFFCFE，又1EB，故2FB．由2ACB，得//DFAC，23DFFBACBC，故3322ACDF．以点C为坐标原点，分别以CA，CB，CP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系Cxyz，PEDCBAFyzxPEDCBA7(0,0,0)C，(0,0,3)P，3(,0,0)2A，(0,2,0)E，(1,1,0)D，1(1,1,0),(1,1,3),(,1,0)2EDDPDA设平面PAD的法向量为1111,,nxyz，则10nDP，即1111130102xyzxy，令12x，则111,1yz，故可取1(2,1,1)n．由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量2n可取为ED，即2=(1,1,0)n则12121213cos,626||nnnnnn，又二面角APDC为锐二面角，所以二面角APDC的余弦值为36．19.（Ⅰ）设工种A、B、C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、Z，则X、Y、Z的分布列为X2542510010P511105110Y2542510010P521105210Z404405010P411104110保险公司的期望收益为8455112512510010151010EX；45522251251001051010EY；44411401405010101010EZ；保险公司的利润的期望值为120006000200010000090000EXEYEZ，保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．（Ⅱ）方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：4444455412112000100106000100102000501012104610101010，方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：412000256000252000400.737.110，44461037.110，故建议企业选择方案2．20.（Ⅰ）因为椭圆的离心率为63ca，所以2223ca，故2213ba，所以椭圆C的方程为为2222113xyaa，又点3,1E在椭圆上，所以2231113aa，解得26a，所以椭圆C的方程为22162xy．（Ⅱ）由题意直线l的斜率存在，设点000,0Pxyy，9则线段AP的中点D的坐标为003,22xy，且直线AP的斜率003APykx，因为直线lAP，故直线l的斜率为0031APxky，且过点D，所以直线l的方程为：00003322yxxyxy，令0x，得2200092xyyy，则2200090,2xyBy，由2200162xy，得220063xy，化简得200230,2yBy．所以2000000233326222yOByyyyy．当且仅当0032yy，即062,22y时等号成立．所以OB的最小值为6．21.（1）()2(1)afxaxbx，由题(1)2(1)0faab，解得2ab，由a＝1，得b=1.因为fx的定义域为(0,)，所以1(1)()1xfxxx，故当(0,1)x时，()0fx，fx为增函数，当(1,)x时，()0fx，fx为减函数，（2）由（1）知b＝2－a，所以22(1)(1)2(1)(2)()2(1)(2)axaxaaxaxafxaxaxxx.（i）若1a，则由（1）知max(1)0fxf，即0fx≤恒成立．（ii）若1a，则2(1