北京大学量子力学课件-第5讲

第五讲Ⅰ.态叠加原理A.态叠加原理：如果是体系的一个可能态，也是体系的一个可能态，则是体系的可能态，并称为和态的线性叠加态。1a2a21a2a1cc1a2aB．讨论（经典波函数与量子波函数比较）①，②③系数不仅仅是展开系数。而是对体系测量获得值的几率振幅。而描述自由粒子状态的最普遍的形式为)t,r(a)t,r(2a0)t,r(iaa)t,r(C)t,r(iiiaCiapde)p(c)t,r()tErp(iPm2pE2PAˆ④一个动量为的自由粒子是以一个平面波这表明，这一自由粒子有一定几率处于态上，其几率为p)tErp(ipPe21)t,r(tiElmm,llmPe),(Y)r,k(ClmYdrr)r,k(C22m,l⑤态叠加原理的直接后果是要求波函数满足的方程，必须是线性齐次方程。作为例子，介绍了一个描述波包的波函数，220x2)PP(4122xe)2()0,P(C2P2P00xiP4x412022ee)21()0,x(1dx)0,x(dp)0,p(C2x2xⅡ.含时间的薛定谔方程（Austrian）25－26年间，将能量不连续和波动性联系起来，并将求粒子能量可能值的问题归结为一定边条件下的本征方程求解问题，随后给出了含时间的薛定谔方程。这方程给出了描述微观粒子运动的波函数是怎样演化的。A.Schroedinger’sequation的建立有确定动量的自由粒子：根据deBroglie关系和Einstein关系它应相应于一个deBroglie’s波这波函数满足m2PE2PknhP)n2k()tErP(iPpAe)t,r(m2Pˆ)t,r(tiP2P在这方程中无特殊参量。它不仅对有确定动量的自由粒子的波函数成立，对最普遍的自由粒子的波函数也成立。pEPde)P(Cti)t,r(ti)tErP(ipPdem2P)P(C)tErP(i2p而Pdem2)P(C)t,r(m2Pˆ)tErP(i222pPdem2P)P(C)tErP(i2p)t,r(m2)t,r(ti22)t,r(Hˆ自由粒子这一微分方程决定了描述自由粒子状态随时间的演化。将上述情况推广，对于质量为的粒子，在位势中运动时，则因此，描述这一粒子运动的波函数应满足m)t,r(V)t,r(Vm2PE2)t,r()]t,r(Vm2pˆ[)t,r(ti2最为普遍的方程是：体系的Hamiltonian则称为含时间的Schroedinger’sequation。但应注意，同一力学量的经典表示，可得不同的量子力学表示)t,P,r(HVTE)t,Pˆ,rˆ(Hˆ)t,r()t,Pˆ,rˆ(Hˆ)t,r(ti因此，经典的力学量，变为量子力学的力学量表示（即量子化），即算符时，应注意和对经典是一样的，但对量子力学而言是不同的。x1xPPx1m21m2Pxx2xxxPˆP222xm2)x41x(m22222xxPxPx所以规定：①在直角坐标中表示分量，再代入算符表示；②对于与为线性函数形式的物理量，，则取（为实函数）；③如果是矢量，则在直角坐标下的分量表示，然后再作替换，再换为其它坐标。如iPii)z,y,x(fP]P)z,y,x(f)z,y,x(fP[21iiifz,y,xiixiP)11(m2m2PP2222222y2x但如从不对。B.对Schroedingerequation的讨论1.量子力学的初值问题：当体系在时刻的状态为时，以后任何时刻的波函数就完全由S.eq.所决定（因对是一次偏微商）。这就是量子力学的因果律，]1)(1[m22222)1(m2)PP(m212222222220t)t,r(0t即决定状态的演化。如，即与时间无关，那时刻的解可表为（如时为）如何从时刻的波函数来确定时刻的波函数的问题，是量子力学要解决的重要问题之一。)Pˆ,rˆ(Hˆ)t,Pˆ,rˆ(Hˆt0t)t,r(0)t,r(e)t,r(0)tt)(pˆ,r(Hˆi000tt讨论：a.群速度和相速度我们得到包络极大处的速度，即群速度而相速度mPdPdEvKPPxg0xm2PPEv0PPp022022220222220x2222202x2202x2222xx220220x22x222xx220x2Pm2it1)2ixP()m2it12ixPP)(m2it1(P)Pm2it1ixP2P)(m2it1(tm2PixiPPPP2P)tm2PxP(i)PP(因b.波包的扩展如果我们以这个高斯波包来描述（或模拟）一个物体,则所以，在时，它位于，宽度为0t0x)m4t1(2)Pmtx(21422221224222220e)m4t1(1)2(而时，它位于，宽度为也可以计算标准偏差，得到发现粒子的主要区域在-其中0ttmtPx002122021220])m2t(1[])m2t(1[xx0xx0mtPx000所以，随时间演化，这一高斯波包越来越宽。设：于是当，波包已扩散很大，因此与经典粒子无任何相似之处。21220222])m2t(1[xx)xx(x2mTTt021220]T4t1[x但所以，这样一个显示经典粒子的波包，其动量的分布没有扩展，而空间的分布则扩展。使得你在时，就认不得经典粒子的运动轨迹了。这一讨论和结论，对任何其它形状的波包都相同。下图即为高斯波包的传播2)PP4()PP()PP(P212K2K22212x2x2xxx2mTtc.波包扩展的时间量级求波函数随时间的演化，也可这样来做。时刻的波函数，可由时刻的波函数完全确定。由于S.eq.是线性的，因而解能够被叠加。因此，不同时刻的波函数关系也必须是线性的。这就意味着，必须满足线性齐次的微分方程。即可表为称为Green函数，或称传播子。知道了Green函数，就知道态随时间的演化。t't'rd)'t,'r()'t,'r;t,r(G)t,r()'t,'r;t,r(G如时刻，粒子处于，即由上式得这就是格林函数的含义：时刻，粒子处于，，则时刻，处发现粒子的几率密度振幅就是。由薛定谔方程我们可直接给出0t't0r)r'r()t,'r(00)t,r;t,r(G'rd)t,'r()t,'r;t,r(G)t,r(00000t0rtr)t,r;t,r(G00)rr(e)t,r;t,r(G0)tt)(Pˆ,r(Hˆ1i000B．粒子数守恒在非相对论的情况下，实物粒子既不产生也不湮灭，所以在整个空间发现粒子的几率应不随时间变，即这即要求，凡满足Schrodinger’eq.的波函数，必须满足上式。0rddtd2由乘由乘)t,r()t,Pˆ,r(Hˆ)t,r()t,r(t)t,r(i**)t,r()t,Pˆ,r(Hˆ)t,r(ti***)t,r()t,Pˆ,r(Hˆ)t,r()t,r(t)t,r(i****)t,r()t,Pˆ,r(Hˆ)t,r(ti从而得若V为实函数（保证体系是稳定的，能量为实）对整个空间积分，得))(i(m2Pˆti**2)(m2**2***2*2*2vm2Pˆvm2Pˆ)t,r(ti对于真实粒子，运动于有限范围内，波函数应平方可积（平方可积条件要求，应快于），于是r023r10sd)(m2i*sd)(m2i*rd)(m2ird)t,r(dtd*2从而证得若取则0jt0rd)t,r(dtd22)PˆRe(m1)(m2ij***称为几率流密度矢上述表示，即为几率守恒的微分形式。形式上与流体力学的连续方程一样，但是有很大的实质差别。如对空间某一体积积分，则有Vssdjrddtdj这表明，单位时间内，体积中，发现粒子的总几率增加是等于从该体积表面（S面）流入该区域的几率。一维情况应该强调，任何时刻都不要忘记波函数的几率解释。为发现粒子在该处的几率密度，而决不是粒子分布于空间；也决不是粒jxt)t,b(j)t,a(jdx)t,x(jxdx)t,x(dtdbaba)t,r(2子以分布于空间；也决不能说，是密度为的粒子以速度在空间的流密度。而仅表明，粒子在单位时间通过面上的单位面积的几率（不是粒子实体，否则又回到经典图象上去了）。还应指出，几率流密度矢是处处连续的。C.多粒子体系的薛定谔方程设：体系有个粒子，质量分别为，所处的位势为，相互作用为，则)t,r()t,r(jvn21m,m)r(Vi)r,r(Vjiij这时S.eg.为这也看出与经典不一样。不一定都是三维空间的函数，而是多维的，即在多维位形空间中的。iNjijiijiii2i)r,r(V)r(Vm2PHˆ)t,r,r,r()t,P,r,P,r,P,r(Hˆ)t,r,r,r(tiN21NN2211N21§2.5不含时间的薛定谔方程，定态问题由初态求一般是很困难的，我们将介绍一些极为有用的特例，即位势与时间无关，。（1）不含时间的薛定谔方程由于H与t无关，可简单地用分离变数法求特解。)t,x(0)t,x()r(V)t,r(V)t,r()pˆ,rˆ(Hˆ)t,r(ti)t,r())r(Vm2pˆ(2令于是=常数于是有。)r(u)t(T)t,r(dt)t(dT)r(ui)t(T)r(u)pˆ,r(Hˆdt)t(dT)t(T1i)r(u)pˆ,r(Hˆ)r(u1)t(ETdt)t(dTi)r(Eu)r(u)pˆ,r(HˆEE我们有所以，当H与t无关时，含时间的薛定谔方程的特解为：其中。方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称为能量本征方程。A.在上述方程中，E实际上是体系的能量。因为在经典力学中，粒子在一个与t无关的位/iEtAe)t(T/iEtEEe)r(u)t,r()r(Eu)r(u)pˆ,r(HˆEE势中运动，体系机械能守恒，即具有一定的能量。而在量子力学中，对应波函数随时间变化为，所以相应的实际上是体系的能量。从平面波看，它随时间变化就是。B.一般而言，上述方程对任何E值都有非零解。但由于对波函数有几率解释，波函数有一定要求（自然条件），以及一些特殊的边界要求（无穷大位势边界处等）。这样能满足方程的解就只有某些E值。由这而自然地获得能量的分立值（而测量值只能是这方程有非零解所对应的值）。/iEte/iEteC.根据态叠加原理是含时间的薛定谔方程的一个特解，也就是，是该体系的一个可能态。所以普遍的可能态一定可表为/iEtEEe)r(u)t,r(dEe)r(u)E(c)t,r(/iEtEdE)t,r()E(cE通常称（其中）为定态波函数。对体系可按各种定态波函数展开来表示。但只有按自身的定态波函数展开时，系数C才与t无关。否则与t有关。（2）定态：A.定态定义：具有确定能量的态，称为体系的定态，或者说，以波函数/iEtEEe)r(u)t,r()r(Eu)r(u