2011第5章线性参数的最小二乘法处理

线性参数的最小二乘法处理最小二乘法原理正规方程精度估计组合测量的最小二乘法处理一、最小二乘法原理12,,...,tXXX待测量12,,...,txxx待测量的估计值12,,...,nYYY与待测量有函数关系的直接测量量12,,...,nyyy直接测量量的估计值12,,...,nlll直接测量量的测量值t待测量的数目n直接测量量的数目一、最小二乘法原理2212tYf(X,X,...,X)1112tYf(X,X,...,X)12nntYf(X,X,...,X)2212tyf(x,x,...,x)1112tyf(x,x,...,x)12nntyf(x,x,...,x)一、最小二乘法原理111vly11112tvlf(x,x,...,x)222vlynnnvly22212tvlf(x,x,...,x)12nnntvlf(x,x,...,x)一、最小二乘法原理如果测量数据的测量误差是无偏的（即排除了系统误差），相互独立的，且服从正态分布。设标准差分别为：区域12n,,...,12nl,l,...,l出现在相应真值附近12nd,d,...,d内得概率分别为221121112/()ped222222212/()ped222222212/()ped则测量数据一、最小二乘法原理根据概率乘法原理，各测量数据同时出现在相应区域12nd,d,...,d内的概率应为22222211221221212nnn(//.../)/nnppp...ped...待求量最可信赖值的确定，应使得12nl,l,...,l同时出现在真值附近区域的概率P最大。要使P最大应满足2221222212nn...最小一、最小二乘法原理上述条件中用残余误差代替误差可以得到：2221222212nnvvv...最小引入权的符号p可得：2221122nnpvpv...pv最小在等精度测量中：12n...22212nvv...v最小12npp...p则一、最小二乘法原理上式表明，测量结果的最可信赖值应在残余误差平方和(在不等精度测量的情形中应为加权残余误差平方和)为最小的条件下求出，这就是最小二乘法原理。实质上，按最小二乘条件给出最终结果能充分地利用误差的抵偿作用，可以有效地减小随机误差的影响，因而所得结果具有最可信赖性。必须指出，上述最小二乘原理是在测量误差无偏、正态分布和相互独立的条件下推导出的，但在不严格服从正态分布的情形下也常被使用。一、最小二乘法原理一般情况下，最小二乘法可以用于线性参数的处理，也可用于非线性参数的处理。由于测量的实际问题中大量的是属于线性的，而非线性参数借助于级数展开的方法可以在某一区域近似地化成线性的形式。因此，线性参数的最小二乘法处理是最小二乘法理论所研究的基本内容。一、最小二乘法原理11111221ttYaXaX...aX相应的估计量为：线性参数的测量方程一般为：22112222ttYaXaX...aX1122nnnnttYaXaX...aX11111221ttyaxax...ax1122nnnnttyaxax...ax22112222ttyaxax...ax一、最小二乘法原理残余误差方程式为：111111221ttvl(axax...ax)222112222ttvl(axax...ax)1122nnnnnttvl(axax...ax)12nl,l,...,l直接测量结果12nx,x,...,x待求的被测量的估计值12nv,v,...,v直接测量结果的残余误差1112nta,a,...,a残余误差方程的n×t个系数一、最小二乘法原理12nll.L..l12nvv.V..v12txxˆ.X..x111212122212ttnnntaa...aaa...aAaa...a设有列向量和n×t阶矩阵nt一、最小二乘法原理111111212221222212ttnnntnntvlxaa...avlaa...ax.........aa...avlx则线性参数的残余误差方程为则等精度测量时线性参数的残余误差方程为1212nnvv.vv...v..v最小XALVˆ一、最小二乘法原理TVV最小Tˆˆ(LAX)(LAX)最小线性参数的不等精度测量还可以转化为等精度的形式，从而可以利用等精度测量时测量数据的最小二乘法处理的全部结果。一、最小二乘法原理不等精度测量的线性参数最小二乘原理不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：2222221221000000000000nnnnpppP权矩阵最小）（）（最小XALPXALPVVTTˆˆ思路一：一、最小二乘法原理思路二：不等精度等精度iptnntnnnnnnnnttttxpaxpaxpaplpvxpaxpaxpaplpvxpaxpaxpaplpv22112222221221222211211211111111'iv'il'1ia'2ia'ita则有：最小）（）（最小XALXALVVTTˆ''ˆ''''二、正规方程为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目，即所得误差方程式的数目总是要多于未知数的数目。因而直接用一般解代数方程的方法是无法求解这些未知参数的。最小二乘法则可以将误差方程转化为有确定解的代数方程组(其方程式数目正好等于未知数的个数)，从而可求解出这些未知参数。这个有确定解的代数方程组称为最小二乘法估计的正规方程(或称为法方程)。二、正规方程线性参数的最小二乘法处理程序可归结为：首先根据具体问题列出误差方程式；再按最小二乘法原理，利用求极值的方法将误差方程转化为正规方程；然后求解正规方程，得到待求的估计量；最后给出精度估计。对于非线性参数，可先将其线性化，然后按上述线性参数的最小二乘法处理程序去处理。二、正规方程线性残余误差方程式为：111111221ttvl(axax...ax)222112222ttvl(axax...ax)1122nnnnnttvl(axax...ax)22212nini=1v=vv...v最小在等精度测量中，要求得待求量的估计值的最可信赖值必须满足的的条件为：二、正规方程令：2221212ninti=1v=vv...vg(x,x,...,x)11112121111111111221121211112111221122122222222222nnniiiiiiinttnnnnntttiintvvvgvv...vxxxxalal(axaal(xaax(axax...ax)x...ax)al(axax....axaa...)..11ntiitixaa)二、正规方程1111112121111niinniaaaaaaaa1211122122121niinniaaaaaaaa111121211niinttnntiaaaaaaaa111121211niinnialalalal111212122212ttnnntaa...aaa...aAaa...a11112121111112nnnniiiiiitiitiiiigal(xaaxaa...xaa)x12nll.L..l二、正规方程令：2221212ninti=1v=vv...vg(x,x,...,x)22222111212221111212222221122221211111221222222222nnttniiiiiittnnnnnnntitiial(axax...al(axax..al(xaaxaa.vvvgvv...vxxxxal(axax...ax).ax)x).a....21ntiitixaa)二、正规方程2112112221211niinniaaaaaaaa2212122222221niinniaaaaaaaa212122221niinttnntiaaaaaaaa212122221niinnialalalal111212122212ttnnntaa...aaa...aAaa...a21212222111212nnnniiiiiitiitiiiigalx(xaaxaa...xaa)12nll.L..l二、正规方程112211112nnnnitiitiititititiiiitgal(xaaxaa...xaa)x21212222111122nnnniiiiiitiitiiiigal(xaaxaa...xaa)x11112121111112nnnniiiiiitiitiiiigal(xaaxaa...xaa)x二、正规方程2112221111222121220nnnnitiitiititititiiiitnititttntigal(xaaxaa...xaa)xaaaaa22121222221111222222122221220nnnniiiiiitiitiiiiniinigal(xaaxaa...xaa)xaaaaa21111212121111122211112111220nnnniiiiiitiitiiiiniinigal(xaaxaa...xaa)xaaaaa二、正规方程1122111120nnnnitiitiititititiiiitgal(xaaxaa...xaa)x212122221111220nnnniiiiiitiitiiiigal(xaaxaa...xaa)x111121211111120nnnniiiiiitiitiiiigal(xaaxaa...xaa)x令：二、正规方程112211110nnnnitiitiititititiiiial(xaaxaa...xaa)2121222211110nnnniiiiiitiitiiiial(xaaxaa...xaa)1111212111110nnnniiiiiitiitiiiial(xaaxaa...xaa)即：二、正规方程11221111nnnnitiitiitittitiiiiiaaxaax...aaxal