北京大学量子力学课件-第14讲

第十四讲算符的共同本征函数(1)Schwartz不等式如果，,是任意两个平方可积的波函数，则122212211,,,(2)算符“涨落”之间的关系－测不准关系：如令)AAˆ(1)BBˆ(22]Bˆ,Aˆ[iBA例1，所以，这即为海森堡（Heisenberg）的测不准关系的严格证明。xAˆxpˆBˆi]pˆ,x[]Bˆ,Aˆ[x2pxx例2但在特殊态时但这仅是某一特殊态。例3在态下zyxLˆi]Lˆ,Lˆ[41Y00xzyLˆi]Lˆ,Lˆ[lmY0Lx0Ly0LLyx这时(3)算符的共同本征函数组定理1.如果两个力学量相应的算符有一组正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符，必对易，。定理2：如果两力学量所相应算符对易，则它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。0LˆΔ2z2/]m)1l(l[LˆΔ222yAˆBˆ0]Bˆ,Aˆ[0LLzy(4)角动量的共同本征函数组―球谐函数因，它们有共同本征函数组。A.本征值：设：是它们的共同本征函数，则0]Lˆ,Lˆ[z2Lˆ]Lˆ,Lˆ[zLˆ]Lˆ,Lˆ[zlmu的本征值为的本征值为这表明，角动量的本征值是量子化的。它与能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。自由粒子的角动量是量子化的。B.本征函数2Lˆ21)l(lzLˆmlml已求得的共同本征函数组-球谐函数称为缔合勒让德函数（AssociatedLegendrefunction）。zL,Lˆ2immlmlme)(cosP)!ml()!ml()l()(Y4121lmlmlmlmlsin)cosdd(sin)!ml()!ml()l(!l)()(cosP21412211当给定，也就是的本征值给定，那就唯一地确定了本征函数。其性质：1.正交归一2．封闭性z2L,Lˆ),(Ylmmmd),(Y),(Yllml*lm)()(sin1),(Y),(Y0llmlm*lmlmm,l3．所以，)(cosP)!ml()!ml()1()(cosPmlmml0mimmlmmle)(cosP)!ml()!ml(4)1l2()1(Yimmle)(cosP)!ml()!ml(4)1l2(*lmmmlY)1(Y因此，4.宇称即5.递推关系*lmmmlY)1(Y,rr，l)1(1lmlmY)1ml)(ml(YLˆ1lmlmY)1ml)(ml(YLˆml1m1lmY(4)力学量的完全集量子力学描述与经典描述大不一样，在量子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将状态描述完全确定呢？设：是力学量所对应的算符，并且对易如是的本征函数。Bˆ,Aˆ)x(uaAˆ⋆的本征函数不简并，则⋆当的本征值是两重简并。那问题就不一样了。测量取值时，并不知处于那一态，可能为尽管也是的本征态。但一般而言AˆAˆ)2(a2)1(a1uαuα)1(auBˆAˆaaabuuBˆAˆ)2(a22)1(a12)2(aububuBˆ)2(a21)1(a11)1(aububuBˆ)uu)(bbbb()uu(Bˆ)2(a)1(a22122111)2(a)1(a)b(a1)b(a11vbvBˆ)b(a2)b(a22vbvBˆ可求得的本征值。若，则一起就唯一地决定函数)2(a)i(2)1(a)i(1)b(auauavi21bbBˆ,Aˆ)b(aiv0bbbbbb22211211Bˆ的共同本征态没有一个是简并的。力学量完全集：设力学量彼此对易；它们的共同本征函数是不简并的，也就是说，本征值a,b,c…仅对应一个独立的本征函数，则称这一组力学量为力学量完全集。所以，以后要描述一个体系所处的态时，我们首先集中注意力去寻找一组独立的完全集，以给出特解，然后得通解。有了力学量完全集，则可得Bˆ,AˆCˆ,Bˆ,Aˆabcunabcu完全集相应的本征函数为§4.5力学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）恩费斯脱定理（EhrenfestTheorem）（1）力学量的平均值，随时间变化，运动常数rd)0,r()r(uc*nabcnabcz2Lˆ,Lˆ),(Ylmc,b,a,n/tiEnabcnabcneuc)t,r(它随时间演化为))t(Aˆ),t((Ard)t(Aˆ),t(dtddtAd*rdt)t(Aˆ)t(rd)t(tAˆ)t(rd)t(Aˆt)t(***rd)t(Aˆ)t())t(Hˆi1rd)t(HˆAˆ)t(i1rd)t(tAˆ)t(***i]Hˆ,Aˆ[tAˆdtAd若不显含t，则当，则（对体系任何态）不随t变。而取的几率也不随t变。我们称与体系对易的不显含时间的力学量算符为体系的运动常数。Aˆi]Hˆ,Aˆ[dtAd0]Hˆ,Aˆ[0dtAdAˆsAn2nscHˆ运动常数并不都能同时取确定值。因尽管它们都与对易，但它们之间可能不对易。如都是运动常数，但彼此不对易，不能同时取确定值。（2）VivialTheorem维里定理不显含t的力学量，在定态上的平均与t无关。Hˆ)r(Vm2pHˆ2zyx2Lˆ,Lˆ,Lˆ,LˆzyxLˆ,Lˆ,Lˆ,i]Hˆ,pˆr[0dtpˆrd)]r(V,pˆr[i1]m2pˆ,pˆr[i1i]Hˆ,pˆr[2)]r(V,pˆ[ri1pˆ]m2pˆ,r[i12)r(Vrmpˆ2若是x,y,z的n次齐次函数，则例：谐振子势是x,y,z的2次齐次函数例：库仑势是x,y,z的–1次齐次函数)r(VrTˆ2)r(VnTˆ2)z,y,x(V)r(VTˆ)r(VTˆ2(3)能量-时间测不准关系由算符的“涨落”关系，有如，则有若是不显含时间的算符，则有]Bˆ,Aˆ[i21BˆAˆHˆBˆ]Hˆ,Aˆ[i21EAAˆ取则有这即为能量和时间的测不准关系。i]Hˆ,Aˆ[dtAddtAdAA2EΔτA（4）恩费斯脱定理（EhrenfestTheorem）以,表示的平均值。⋆体系的坐标平均值的时间导数等于其速度算符的平均值。xpˆ,xxAˆxxpmpˆdtxdx⋆体系动量算符平均值的时间导数等于作用力的平均值。于是有xxFˆdtpˆdxpˆAˆxVdtxdm22称为的恩费斯脱定理。我们可以看到，上面三个式子与经典力学看起来非常相似。mpdtdxxclclclclxclxVdtdpclcl2cl2xVdtxdm但决不能无条件地认为如果这样，即得但事实上，一般而言clxxx)r(Vdtxdm22但在V(x)随x的变化很缓慢，以及比较小的条件下，上式近似相等.以一维运动来讨论xVx)r(V2xxFˆx)x(V当场随空间变化非常缓慢，且很小时，我们有不等式2)x()x()x()xx(Fˆ!21)xx(FˆFˆ)x(2)x(Fx!21FxV2x23x3xxxV!21xV这样，量子力学中粒子运动与经典力学规律相似。经典运动是一好的近似。当然，根据测不准关系，x)x(VFxV)x(222xx4p因此，当较小时，比较大。所以要有2x2xpx22FˆxVdtxdm)x(Fx)x(Vdtxdmclxclcl2cl2要有两个条件：★势随空间作缓慢变化：★动能很大：23x3xxxV!21xV2x2xppˆ第五章变量可分离型的三维定态问题★不显含t时，有特解HˆψHˆtψi/tiEnnne)r(u)t,r(φ)r(uE)r(u)pˆ,r(Hˆnnn★处理的是变量可分离型的位势问题。§5.1有心势能量本征方程可写为)r(V)r(V)r(uE)r(u))r(Vnnn)rLˆrrr1(m2(222222我们可看到因此，是两两对易。当共同本征函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集（球对称势的体系都有这一特点）。0]Lˆ,Lˆ[z20]Lˆ,Hˆ[20]Lˆ,Hˆ[zz2Lˆ,Lˆ,Hˆ以的本征值（即量子数）对能量本征方程的特解进行标识。于是归结到解具有不同位势的径向方程z2Lˆ,Lˆ,Hˆ),(Y)r(R)r(ulmnlnlm0212222))r(rR())r(VE(m))r(rR(r)l(l))r(rR(drd)r(V首先要研究边条件的共性。对于束缚态，对于，波函数行为？（1）不显含时间的薛定谔方程解在的渐近行为A．若时，仅当0m2时才有束缚态。0u,rnlm0r0rmrA)r(V根据维里定理：如是x,y,z的n次齐次函数，则有（在定态上）。对于上述势即)r(VVnT2VmT2T)m21(VTE在这类位势下，束缚态E0。所以存在束缚态的条件为0m2即仅当时，才有束缚态。B．在时，径向波函数应满足由径向方程0r0)r(rR0))r(rR())r(VE(m2))r(rR(r)1l(l))r(rR(drd22220)r(Vr0r2当时，方程的渐近解为，所以有（2）三维自由粒子运动因，所以可选力学量完全集0)r(rR0r0r1lr~0)r(Vz2Lˆ,Lˆ,Hˆ于是有令0)r(Rk)r(R]r)1l(ldrdr2drd[222222mE2kkr0)(R])1l(l1[)(Rdd2)(Rdd222这即为球贝塞尔函数满足的方程。而在处为有限的解是而在处为无穷的解是0sin)dd1()(c)(cj)(Rlll0cos)dd1())(1(c)(c)(Rlll0])3l2(21[!)!1l2(~)(j2ll])3l2(21[)1(1l2!)!1l2(~)(21ll)2lsin(c~)(cj)(Rl)2lcos(c~)(c)(Rl由于的条件，所以自由粒子的本征函数为对于自由粒子，亦可选作为力学量完全集，其共同本征函数为0)r(rR0r),(Y)kr(j2k),,r(ulmlklm。22klmkm2E)p,p,p(zyx而前述，作为力学量完全集，有共同本征函数组/rpi23pppe)2(1uzyxrki23kkke)2(1uzyxz2Lˆ,Lˆ,Hˆ),(Y)kr(j2k),,r(ulmlklm可按它展开如取方向在z方向（即为z轴），则rkie),,r(uaeklm0lllmlmrki),(Y)kr(jalml0lllmlmk),(Y)kr(jaee0ll0l0lcosikrrkia.对kr求导，得)(cosP)kr(jcll0ll)(cosP)kr(jc)(cosPcos)kr(jcill0llll0ll)](cosP)1l()(coslP[1l21)(cosPcos1l1ll于是有)]k