北京大学量子力学课件-第30讲

第三十讲Ⅰ.周期性微扰下的跃迁率设：微扰随时间作周期性变化与t无关在一级近似下，跃迁率为)ee(Vtcos)r(VVtiti2000VⅡ.辐射场下原子的跃迁率当微扰影响较小时，一级近似很好现考虑原子被置于一个纯辐射场中)EE()2V(2w0k0nf2nk021t0tink12nkdte)t(V1P1nk在原子区域中，无外电场因。于是有（电磁场弱，忽略项）由于满足02V)AˆePˆ(m21Hˆ00APAmeVm2PHˆ02A令0tAc1A2222de)(AA)crnt(i0)(An在电磁波很弱的条件下，一级微扰很小，则可以证明即受激辐射和退激发跃迁几率相等。2)crn(it0t)(i1222nkkPˆen)(AdedtmeP1nkωωωωωnkknPP2012221*)crn(itt)(inPˆek)(Adedtmekn2012221kPˆen)(AdedtmeP)crn(itt)(inknk2012221*)crn(i*tt)(inPˆek)(Adedtmekn2012221*)crn(i*tt)(inPˆek)(Adedtmeknnk)crn(itt)(iPnPˆek)(Adedtmekn2012221同样可以证明在①弱辐射场②长波近似③辐射是非极化的（极化各向同性，等几率）条件下：单位时间跃迁几率，即跃迁率2nknk2202nkr)(u344ew12nknkrncrn其中为能量密度分布，即光强度分布。为单位时间通过垂直传播方向上的单位面积的能量分布。)(unk)(cunk200c1Aμ1H0Ⅲ.磁共振均匀磁场（在Z方向），将使电子的简并态（自旋）发生分裂，其能量差其中当电子吸收一光子，则将电子激发到较高能级，即自旋向上的态。0B,002BEEEBmeB2(1)跃迁几率和跃迁率设：有一垂直于静场的磁场。于是，总磁场为若振荡场比静场小0B0BBtsinbBtcosbBzyx电子的总哈密顿量在表象，即在表象，中0Bb0HˆzSˆHˆHˆHˆ000000BB)Hˆ(BB00tiBtiBbebeHˆ设时刻，电子自旋态的本征值为。在一级近似下，从本征值为的自旋态跃迁到本征值为的自旋态的几率0t222202201000011ttBitiBtiBtdebebePB202201tt)(iBtdeb若为单位频率中的态密度，则总的跃迁几率为20022121t)(tsinbtB)(I0dPIQ(若t足够大或在共振区变化很缓慢)dt)(tsinbtIB200202121tIbB022I所以，单位时间的跃迁几率（跃迁率）为022IbWB022IH(2)两能级间的震荡电子的总哈密顿量在表象，即在表象中为设时刻，电子状态或称自旋态的表示为0HˆzSˆ00BbebeBHˆBtiBtiBBt21cct若，电子处于本征值为的本征态，其表示即为则有解0t0Hˆ0BB10)]tKcos(K)tKsin(iK[Ke)tKsin(eKi)t(/ti/ti244244244222222222222222时刻，处于本征值为的本征态，其表示即为的几率为仍处于本征值为的本征态，其表示即为的几率为t0Hˆ0BB01)t24K(sin4K4P222222B0B0Hˆ0BB10我们直接看到，电子所处的态随时间在这两个态之间以一定的几率震荡。)t24K(sin4KK)t24K(cosP222222222B0B(3)一级近似公式的精确性我们能直接看到，在时，精确解和一级近似解才符合。1t§8.4散射（1）一般描述：在束缚态问题中，我们是解本征值问题，以期与实验的能量测量值比较。而在散射问题中，能量是连续的，初始能量是我们给定的（还有极化）。这时有兴趣的问题是粒子分布（即散射到各个方向的强度）。所以散射问题（特别是弹性散射），主要关心的是散射强度，即关心远处的波函数。A．散射截面定义：用散射截面来描述粒子被一力场或靶散射作用是很方便的。反之，知道散射截面的性质，可以推出力场的许多性质。而我们对原子核和基本粒子性质，很多是这样推出的。这也是量子力学中的逆问题。一束不宽的（与散射区域比），具有一定能量的粒子，轰击到一个靶上（当然与散射中心尺度比较起来，是宽的）。为简单起见，达到散射中心时，可用一平面波描述。tirkie相对通量，，定义为：单位时间通过与靶相对静止的垂直于传播方向上的单位面积的入射粒子数（对于单粒子，显然即为几率流密度）这时，单位时间，经散射而到达方向中的粒子数为即比例常数一般是的函数；如入射方向为轴（且束和靶都不极化），仅为的函数，它的量纲为，即面积量纲),(z2Ld),(dnddn),(d散射微分截面定义：在单位时间内，单个散射中心将入射粒子散射到方向上的单位立体角中的粒子数与入射粒子的相对通量（几率流密度）之比。ddn),(),(ddn),(而散射总截面对于固定散射中心，实验室坐标系和质心坐标系是一样的。但如果两个粒子散射，则不一样理论上处理问题一般在质心坐标系（较简单），而实验上常常靶是静止的。所以在比较时，需要将这两个坐标系进行换算。d),(总B．散射振幅：我们现在讨论一种稳定情况，即入射束的粒子不断入射，长时间后体系达到稳定状态的情况考虑一个质量为的粒子被一位势散射（当，趋向0比快）。感兴趣的是满足这一条件的物理问题。至于库仑散射这里不讨论。实验室系：)r(Vr)r(Vr12110vm21E质心系：所以，如是两粒子散射，则约化质量为，而221112221121)mmvm(m21)mmvm(m21E0121Emv212121mmmm01EmE薛定谔方程其定态解为当粒子以一定动量入射，经位势散射后，在很大处，解的渐近形式（弹性散射）为)t,r(ti)t,r()]r(V2[22tiEe)r()t,r(krre),(fe)r(ikrrkik这时，被称为定态散射波函数。事实上，将其代入的本征方程，在很大时，保留次幂tiEkke)r()t,r(Hˆrr1]re),(frLˆe),(fdrdr[ek{Hˆikrikrrkir22222222122大时保留到所以，当很大时/tiEikrrkike}re),(f)r(Ve)r(Vr1]e),(fre[kikrrki1222kkkEHˆr大时rkHˆ]e),(fr1e[Eikrrkik我们称为散射振幅,为散射波.当入射粒子沿方向入射，则散射与无关（束、靶都是非极化），即下面我们给出的物理意义：对于渐近解的通量（对单粒子，即为几率流密度）),(fre),(fikrz)(f),(f)(f]re)(fe[]re)(fe{[2ijikrrkiikr*rki]}re)(fe[]re)(fe[ikr*rkiikrrkir22nˆr)(fkk)cos1(ikr*e)(f[r1k]e)(f)cos1(ikr)cos1(ikrre)(f[rnˆk应注意，我们是在很远地方测量（），而且测量始终是在一个小的，但是有一定大小的立体角中进行。因此，上式的一些项的贡献可表为]e)(f)cos1(ikr*)r1(03项微商对微商对r10当很大时，振荡很快，而是一光滑函数，这一积分比快。所以包含这一因子的项比快。ddsin)(ge)cos1(ikr)cos1(ikre)(g0r102r1r例：22)cos(cose)(gddsinee)cos(cos)cos(ikr221ddsineee)cos(cos)cos(cosikr)cos(ikr221ddsinee)]cos(cosikr)cos[(cos)cos(ikr2221于是，在远处，对于渐近解的几率流密度矢ddsineee]ikrcos[cosrk)cos(ikr2222222412224rkAer22nˆr)(fkkjθμμ而当无位势时，，无散射仅有沿方向的平面波。大处，在渐近区域对径向通量无贡献，所以，对散射没贡献。在远处，单位时间散射到方向上立体角中的几率为（为所张立体角对应的面积）0)(fkrk),(dddsinrr1)(fkdn222dr2k于是所以，散射振幅的模的平方，即为散射微分截面。而散射总截面为22i),(fdkd),(fkdjdn),(φθΩμΩφθμΩφθσd),(fd),()k(2T现在问题是要从出发，求具有很远处的渐近形式为的解，从而获得E)r(V222φre),(feikrrki),(),(f理（2）玻恩近似；Rutherford散射现在讨论如何近似求解，以至.假设产生一个散射（对自由粒子）.根据Fermi’sGoldenRule，从开始为动量本征态跃迁到末态动量本征态跃迁率为由于平面波是取为（）)(f)()r(VP'P)E()r(V2w2P'P'PPrPiePr因此,即密度为（在空间）于是3)2()'PP('PP1P)2(PdP33)2(1PdEd)2(mE2m)2('PddE)E(333对于跃迁到中的跃迁率为而入射粒子通量为（入射波函数为）dd)2(mE2mrde)r(Ve2dw323rPirPi'PPmpj/rpiejdwddn),(dpp所以，散射微分截面称为散射振幅的一级玻恩近似。2/r)pp(i22rde)r(V2m)(rde)r(V2m)(f/r)pp(i2)1(当位势为有心势令（转移波矢）则)r(V)r(V)'PP(q'kk'drdr)r(Ve2m)(f2'cosiqr2)1(p（计算时，取方向为轴）现为有心势于是有qz)ee(rdr)r(Viq122m)(fiqriqr21p02)1(prdr)qrsin()r(Vqm2)(fθ或这即为有心势下的一级玻恩近似的散射振幅。