北京大学量子力学课件-第20讲

第二十讲I.算符及其表示A.算符的自然展开：在量子力学中，可观测力学量是以厄密算符表示，其本征方程为则或nnnLLLLˆLLLLˆ或nnnnLLLLˆdLLLLLˆ称为算符的自然展开。B.算符的表示算符是将一态矢量变为另一态矢量而是将态矢量表示变到态矢量表示，所以它起到算符同样的作用。LˆLˆNLˆRmmmnnmnLˆRNLˆ的全体称为算符在表象中的矩阵表示。显然，计算这一表示，其结果与在那一个表象中计算是无关的mnLˆAˆmnmnrrdrLˆrrdrLˆrdrd)r(V)Lˆ)(r(Vmnrr*为力学量在表象中的算符。事实上，矩阵描述了表象中的本征态，即基矢，在算符作用下，所得到的新的态矢量在表象中的表示。rr)Lˆ()rr()i,r(Lˆ)i,r(LˆLˆrnmLAˆmLˆAˆ即这表明，表象中的基矢在作用下所产生的新的态矢量在表象中的表示正是算符在表象中矩阵表示的第列元素集合nnnmnmnnmLLˆLˆm33m22m11mLLLLˆAˆmLˆAˆLˆAˆm于是，我们求算符在某表象中的矩阵表示。只要将它作用于该表象的基矢上，将所得展开系数形成的矩阵转置，即得在该表象中的表示。LˆLˆ3132121111LLLLˆ3232221212LLLLˆ3332321313LLLLˆ其系数矩阵为：转置这即为在表象中的矩阵表示显然，算符在其自身表象中的表示为22122111LLLL22211211LLLL111Aˆ222AˆAˆ系数矩阵为，转置同。所以是对角矩阵，而矩阵元为其本征值。333Aˆ0000000321例：给出方程在表象中的表示式所以在表象中，算符的形式为)x(x)x(xPˆxxpxpapibxPxˆxPiⅡ.不可约张量算符的矩阵元计算简介A.不可约张量算符的G.Racah定义若满足以下的对易关系其中，则称为秩不可约张量算符。LMT1211LMLMT)ML)(ML(T,JLMLMzMTT,JLMTLyxJˆiJˆJˆB.Wigner-Eckart定理维格纳-埃伽定理：矩阵元与投影量子数的关系完全包含在C-G系数中C.一秩张量的投影定理jmTmjLMjTjjmLMmjjLjmTmjLLMmMm)j(jjm)TJ(JmjjmTmjjjMM111Ⅲ.表象变换：（1）同一状态在不同表象中的表示间的关系对于态在表象中，其表示为就是态在表象中的表示FˆnnfannnfffFˆnaFˆ在表象中其表示为则有GˆgbbSagfnn构成一矩阵形式即Sˆ212221121121bbSSSSaaGFSba矩阵的矩阵元正是表象基矢与表象基矢的标积，其第列，是表象中第个基矢在表象中的表示。FˆGˆlGˆlFˆsˆnnfggffffggf)S(S)SS(nnnnnnnnffgggffg)SS(nnngg是一个幺正算符。（2）两表象的基矢之间关系SˆnnfggfISˆSˆSˆSˆnfg)Sˆ(g∴基矢的变换是经来实现（3）力学量在不同表象中的矩阵表示之间的关系。对于算符在表象中的矩阵表示为SSˆgfnnfggg,gf)S()Lˆ(SnnfLˆf§6.4平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵形、式。（1）平均值：A.力学量在体系（处于态）中的平均值设：构成力学量完全集，共同本征矢为，则Lˆrd)r()i,r(Lˆ)r(LˆLˆ*Aˆnmmnm,nnLˆLˆ是在中的表示。若包括力学量m,nmnm*naLaLˆmaAˆAˆ)Mˆ,Nˆ,Lˆ(mnlmnl,mlnmnlm,n,l*mlna)Lˆ(aLˆ)a(LLˆ2nmmlnllB.对于两个算符乘积的平均值（2）本征方程：对于算符的本征方程为ψααfααgααψψgfψ)gf(llmmnl,m,nnlmlnml,m,n*nafga)gf(uLuLˆ在表象，则算符的本征方程在表象中的矩阵形式为AˆuαLuααLˆαkmmmkLˆAˆkmmkmaLaL2,1k从而得要方程组有非零解，即不全为，则要求系数行列式为，即0a)LL(mkmmkm2103,2,1k，，或ma000LLkmkm由这方程求出.然后代入方程组求出相应的例1：某力学量在表象中的矩阵为由系数行列式LLmaxˆzˆ01100L11L01L21L本征函数求该力学量的本征值和,代入方程得代入方程得1L0aa0aa212121aa1L0aa0aa212121aa的本征值所相应的本征矢在表象中的表示为所相应的本征矢在表象中的表示为xˆ1Lzˆ11211Lzˆ1121顺便我们可以看到，对于两个表象所以要求矩阵，只要求表象中的基矢在表象中的表示即可，这相当于矩阵中一个列。GˆFˆs)V,U(gfSgfngfnnSGFˆSˆ具体看的本征矢在中的表示为由表象到表象的变换矩阵为xˆzˆ11211121xˆzˆ111121Sxz而我们知，算符在自身表象中的矩阵表示是对角的，对角元为其本征值1001)(x自身表示表示在（zσx)σ111110011111210110S1001S例2：在表象中，求(在子空间)的本征值，本征矢（即在也就是本征值为子空间）解：首先求在表象中的矩阵)Lˆ,Lˆ(z2xLˆ1l1l2Lˆ22xLˆ)Lˆ,Lˆ(z21m,1)1m1)(m1(m1Lˆ1m,1)1m1)(m1(m1Lˆ)1m,1)1m1)(m1(1m,1)1m1)(m1((2m1Lˆx0220220220220mmxLˆ由本征方程0a]δl)Lˆ[(nmnnxmnx0l22022l22022lxxx0223xxxlll101,,lx如何求在的本征值为的本征态中测量的可取值的几率？101lx121212022112121zLˆ0xLˆ由于在自身表象中的本征值为的表示是于是测得的几率振幅为zLˆ00100,1lx0l,1l,1Czxlx0l,1l,1l,1l,1zzlzxz0101,2,12101020,2210101,2,12122022CCC0所以在中（坐标表象中，的本征值为0的本征态中）测量的可取值的几率为这表明，可在任何一个表象中来处理问题。而(对l=1的子空间）的变换矩阵为),(Y10zLˆxLˆ0xl21021)Lˆ,Lˆ()Lˆ,Lˆ(xz22而从则是12120212121Sxzll)Lˆ,Lˆ()Lˆ,Lˆ(x2z212120212121SSzxzxllllSLˆSSLˆSxx121202121210202020202121202121211012021011212021214（3）薛定谔方程在表象中，基矢为，则100000001HˆtiAˆn这即为表象中的薛定谔方程的矩阵形式。若不显含，而表象就是表象，则从而得mmmnnHˆdtdi)t(aH)t(adtdimnmnAˆHˆtAˆHˆnmmnmEHˆ当不显含t，在表象中的表示为tiE0111ea)t(atiE0222ea)t(aHˆHˆtiE02tiE0121eaea，由初态给出（它是时，在表象中表示），由在任一表象中求出。,a,a02010tHˆ21E,EHˆ0EH§6.5量子态的不同描述由Schrodingerequation它体现了量子力学的因果律，即当知在不受外界干扰下，体系的波函数随的演化是完全确定的。)t,r(Hˆ)t,r(tit,Hˆt,tit)t,r(0而t,Aˆt,At,uuAˆuut,mmnm,nn)t(Ca)t(Cmnmnm,nn*2nnn)t(CannnuauAˆt,u)t(Cnn而波函数和算符不是直接观测量.仅力学量取值，及其几率分布（或几率）是直接观测量。因此，重要的是：①可能取的值②测量取的几率振幅如果用不同方式来描述，但若上面两个量是完全相同的，于是分不清这两种描述的差别，而都是可以接受的。AˆnaAˆna)t(Ct,unn（1）薛定谔绘景（SchrodingerPicture）设：以来表示，遵守薛定谔方程如果和分别演化为和根据态叠加原理可能态将演化为。这表明，可由一线性算符从获得。因此可假设)t(St,SSt,Hˆt,dtdi0t,0t,t,t,0201t,γCt,βCt,Ct,C21t,0,（与无关）而于是有由于是初态，可任意设定SS0,)0,t(Ut,)0,t(US0，100),(USS0,)0,t(UHˆ0,)0,t(UdtdiS0,00,tUt,tU,tU所以时间演化算符满足若不显含，则由于，所以)0,t(U)0,t(UHˆ)0,t(UdtdiHˆttHˆie)0,t(UHˆHˆI)0,t(U)0,t(U)0,t(U)0,t(U所以，这一变换是一幺正变换而本征方程若不显含，那，也与无关时刻，测量取值的几率振幅为SnnSnSaaaAˆSAˆtnattSAˆna)t(bt,anSnSna在薛定谔绘景的描述中，态矢量随t的变化，反映在它的表示随t的变化。而力学量的本征值及本征矢不随t变化。SSSSt,αAˆt,αAˆSmSSmsnSSnSt,αaaAˆaat,α2nnn)t(ba随变化取决于。取之值的几率为但所有这些测量可得值与实验可比较的量的描述并不唯一。上述描述只是一些等价描述方式之一。)t(b)t(bat,aaAˆaatt,Aˆt,n*nnnmmSnn,mnSSAt)t(bnna2n)t(b（2）海森堡绘景（HeisenbergPicture）A.矩阵元：对于薛定谔绘景中的矩阵元，我们看到随t的变化（如不显含）是由于态矢量随变化所致。SSSt,Aˆt,SAˆttSS0,)0,t(Ut,SS0,)0,t(Ut,的矩阵元可表为所以，态矢量可保持不随