北京大学量子力学课件-第23讲

第二十三讲Ⅰ.自旋(1)考虑自旋后，状态和力学量的描述A.自旋波函数（电子的自旋态）对于的本征方程为在其自身表象ssszmmmSˆzSˆ而相应本征态的表示为10012)S(z01)21S(21z10)21S(21z是的本征值为的本征态在表象中的表示；是的本征值为的本征态在表象中的表示。显然正交对于任何一旋量在表象中，其表示为2)S(z2)S(zzSˆ2zSzSˆ2zSβ,zS而和可由与标积获得2()2(2121aa212121212121aaaa21a21a,212121aaa)0,1(B.考虑自旋后状态的描述由于电子除了之外，还有第四个动力学变量，它的特点仅取二个值，而。所以，可在表象中表示体系波函数。对处于某状态的体系可按自旋波函数展开。212121aaa)1,0(z,y,xzSˆ0]Sˆ,r[z)Sˆ,r(z代表体系处于而自旋向上的几率密度代表体系处于而自旋向下的几率密度如同一般变量可分离型一样，当对和是变量可分离型的，则其特解为rd)]t,r()t,r()t,r()t,r([21212121221r221rHˆrzSˆ)S()t,r()t,S,r(zz则表象中的表示为若是归一化的态矢量，则)S,r(z)t,r(ψ)t,r(ψ)t,2,r(ψ)t,2,r(ψ)ψm,r(2121sβ)t,r(ψα)t,r(ψ2121ssmm,rm,rrdsC．考虑自旋后，力学量的表述在表象中，直接由在表象中表示来获得表象中的表示)S,r(z)rr()Pˆ,r(L),Pˆ,r(L)Pˆ,r(L),Pˆ,r(L)S,rLˆS,r(22211211zz)Sˆ,Pˆ,r(LˆizSˆ)S,r(z对任一算符的平均值为dLˆLˆrdLˆLˆLˆLˆ),(212122211211*21*21rdLˆ2111*21rdLˆ2112*21rdLˆ2121*21rdLˆ2122*21（2）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程A.动能项在非相对论极限下，电子的动能为当计及电子的自旋后，波函数是两分量。并注意到2pˆTˆ20Bˆ,ˆAˆ,ˆ)BˆAˆ(ˆiBˆAˆ)Bˆˆ)(Aˆˆ(我们有而置于电磁场中时，则pˆ21pˆTˆ)]Aˆepˆ([21])Aˆepˆ[(Tˆ)Aepˆ()Aepˆ(ˆ2i)Aepˆ(212B.自旋－轨道耦合项由Dirac方程可以证明，当电子在中心力场中运动，哈密顿量（在非相对论极限下）中将出现自旋－轨道耦合项（Thomas项）（核提供的库仑屏敝场和自旋的作用导致），Bˆ2e)AePˆ(212LˆSˆ)r(dr)r(dVr1cm21)r(22eC．电子置于电磁场中的哈密顿量D.处于中心场中的电子，并置于电磁场中的薛定谔方程为)Bˆ(2eLˆSˆ)r()r(Ve)AePˆ(21Hˆ2)Bˆ(eLˆSˆ)r()r(Ve)AePˆ(ti2212应该注意，在表象中，这时是两分量的，即（1，2，3项是对角矩阵）)S,r(z21212121222112112121HHHHtiⅡ.碱金属的双线结构引进电子自旋后，我们就能够利用量子力学理论来解释原子光谱中的复杂结构及在外电磁场中的现象（1）总角动量A.总角动量引入：当考虑电子具有自旋后，电子在中心力场中的Hamiltonian为SˆLˆ)r()r(VPˆ21Hˆ2由于自旋－轨道耦合项，和都不是运动常数.dr)r(dVr1cm21)r(22LˆSˆ]Lˆ,Lˆ[S]Lˆ,Lˆ[S]SˆLˆ,Lˆ[yzyxzxzxyyxSˆLˆiSˆLˆi]Sˆ,Sˆ[Lˆ]Sˆ,Sˆ[Lˆ]SˆLˆ,Sˆ[yzyxzxzxyyxLˆSˆiLˆSˆi因此，()不能构成力学量完全集但即引入而0]SˆLˆ,LˆSˆ[zz0]SˆLˆ,SˆLˆ[SˆLˆJˆkijkjiJˆi]Jˆ,Jˆ[zz2Sˆ,Lˆ,Lˆ,Hˆ由于有心势所以，彼此对易0]SˆLˆ,Jˆ[0]SˆLˆ,Jˆ[20]Lˆ,Jˆ[20]Lˆ,Jˆ[220]Jˆ,Jˆ[20]Jˆ,Hˆ[0]Jˆ,Hˆ[2z22J,Jˆ,Lˆ,Hˆ因此可作为力学量的完全集（如无，可选）B.的共同本征矢的表示（在表象中）)J,J,Lˆ,Hˆ(z22SˆLˆ)Sˆ,Lˆ,Lˆ,Hˆ(zz2)Jˆ,Jˆ,Lˆ(z22zS,,),(),()2,,()2,,()S,,(21z1.它是的本征函数取zJˆ21j21zm)Jˆ(2j1j21z)21m()21m()Lˆ(22j2z11j1z)1m()21m(Lˆm)21m(Lˆ21mmj2．它们是的本征函数因此3．由2Lˆ2122121)l(lLˆ1lmlmzbYaY))S,,(())S,,(())S,,((Jˆz2z2在()表象中矩阵表示xxyyzz2222LˆSˆ2LˆSˆ2LˆSˆ2SˆLˆ)SˆLˆ(JˆzS,,z22yxyxz222Lˆ43Lˆ,)LˆiLˆ()LˆiLˆ(,Lˆ43LˆJˆbaba]1m43)1l(l[,)1ml)(ml()11ml)(1ml(],m43)1l(l[0143111431]m)l(l[,)ml)(ml()ml)(ml(,]m)l(l[0)41l)(43l2l()21l2l2(2222)l)(l()ll(23214322)l)(l()l(2121412即得的本征值1m,lm,lzljmYmlY1ml1l21))S,,((j21lj21mmj1lml21lj2Jˆ21)j(j由此可见，取确定值，而不具有确定值，它们取值为21mmjlm1lzJˆjmzzLˆ,Sˆm21)1m(211m,lm,lY1mlYml1l21))S,,θ(φ(zljmj事实上，上述就是基矢以基矢展开。z222Jˆ,Jˆ,Sˆ,Lˆzz22Sˆ,Lˆ,Sˆ,Lˆ21lj21mmj21,S1m,l1l2ml21,Sm,l1l21mlm,j,S,lj21lj21mmj即从A表象B表象a,b就是平常称的幺正变换系数)S,Sˆ,Lˆ,Lˆ(z2z2)Jˆ,Jˆ,Sˆ,Lˆ(z222AB)S(ABA)S(AB2111212112,Sm,llml,Sm,llmlm,j,S,lj于是在中心势中，考虑了电子的自旋，则其特解sljBAm21,m,lm,j,l21SˆjjljmnljnljmRjjnljm2nljm2)1l(lLˆ例：电四极矩电四极矩算符在原子物理和原子核物理中，测量的电四极矩给出的值的定义为（对于一个电荷均匀分布的带电体，其大小，符号，反映了体系的形状）先看)rxx3(qQˆqQˆij2jiijijjmjzzjjm,j,l,nQˆm,j,l,nQm,l,nQˆm,l,nQzzm,l由)1m,lcosm,l3(l,nrˆl,nq22m,1lam,1lam,lcosm,1lm,l)3l2)(1l2(m)1l(a22m,l]1)aa(3[rqQ2m,1l2m,l2m,l而注意到与自旋无关，而是正交的)3l2)(1l2(m6)1l(l2rq22jljmnljjzRnljmS,r)bYaY(R1lmlmnljzzQˆ,jmjzzjjnljmQˆnljmQ]1lmQˆ1lmblmQˆlma[rqzz2zz22])3l2)(1l2()1m(6)1l(l2b)3l2)(1l2(m6)1l(l2a[rq22222)1j(2j21rq21212121lmljlmljmmjmjj而注意drRrnljrnljr2nlj422由此可见，时，，这是由于算符是角动量为2的算符。当它作用于后，态将从当，则将,21j0QzzQˆjm,jjm,jjm,2jjm,2jzzQˆ21jjm,21jm,25jm,2322222所以,与正交。因此，这时在带电体外，显示“电荷”是球形分布。（2）碱金属的双线结构碱金属原子有一个价电子，它受到来自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场的作用。所以，价电子的哈密顿量为jm,21SˆLˆ)r()r(V2PˆHˆ2如选力学量完全集（运动常数的完全集）则dr)r(dVr1c21)r(22EHˆ)Jˆ,Jˆ,Lˆ,Hˆ(z22),()r(Rjjljmnljnljm由于jjljm222ljm)SˆLˆJˆ(21)LˆSˆ(jljm])l(l)j(j[2431121212121222ljlljljjljmljm可表为jjnljmnljnljmEHˆnljnlj2nlj222R)r(VRr2)1l(l)rR(drdr12212121222ljljRER)r(lR)r(lnljnljnljnlj因为吸引势（它为负值，）所以即。因此，根据Hellmann-Feynman定理可证)r(V0)r(V0)r(Vr0)r()r(21l)r(V)r(2l)r(V222121lnljlnljEE212323211jjEE,j,l则如能级这即观测到纳光谱的双线结构。§7.4两个自旋为的粒子的自旋波函数，，纠缠态(1)表象中,两各自旋为的粒子的自旋波函数设：两粒子的自旋分别为。显然，如2121l,l,nl,l,nnlEEE2121Sˆ,Sˆ)S,S(z2z121选表象，则可能的态为(2)表象中两自旋为的粒子的自旋波函数如令),()(21)()(21),()(21)()(21)Sˆ,Sˆ(z221SSS)S,S(z2z121则满足角动量的对易关系并有可选为力学量的完全集由iSkijkjiSi]S,S[)Sˆ,Sˆ(z20]Sˆ,Sˆ[z22122212212SS2SˆSˆ)SˆSˆ(Sˆ212SS223212212144SˆSˆ6)SˆSˆ)(SˆSˆ(449Sˆ2122122212123