磁悬浮小球仿真报告

磁悬浮小球控制仿真报告一．仿真要求采用根轨迹和频域法仿真磁悬浮小球系统二．系统建模磁悬浮系统方程可以由下面的方程描述：22dx(t)mF(i,x)mgdt动力学方程2iF(i,x)K()x电学力学关联方程(,)Fixmg0边界方程()()1diUtRitLdt电学方程对2xiKxiF)(),(泰勒展开：)x-)(xx,(iF)i-)(ix,(iF)x,F(ix)F(i,000x000i00)x-(xK)i-(iK)x,F(ix)F(i,0x0i00平衡点小球电磁力和重力平衡，有(,)Fixmg0|,00i00iixxF(i,x)F(i,x)i；|,00x00iixxF(i,x)F(i,x)x对2iF(i,x)K()x求偏导数得：20xx00302KiKF(i,x)x0ii00202KiKF(i,x)x此系统的方程式如下：xx2Kiix2Ki)x-(xK)i-(iKdtxdm30202000x0i22拉普拉斯变换后得：1)()()(sxmx2Kisimx2Kissx30202002由边界方程)2020xiK(mg代入得系统的开环传递函数：200x(s)-1=i(s)as-b定义系统对象的输入量为控制电压inU，系统对象输出量为x所反映出来的输出电压为outU，则该系统控制对象的模型可写为：outssa2ina00U(s)Kx(s)-(K/K)G(s)===U(s)Ki(s)as-b00000iia=,b=2gx特征方程为：200as-b=0解得系统的开环极点为：000b2gs==ax取系统状态变量分别为1out2outx=u,x=u系统的状态空间表示法如下：•11ins•2200a010xx=+u2g2g?K0-xxxi?K121xxx01y代入实际参数，可以得到in2121U124990xx0098010xx..系统的状态方程可以写为2CXYBUAXXin故YUin间的传递函数为BA)(sICsUsYsG1Tin0)()()(将以上参数值代入有5250300.0311s77.8421sG20.)(三．根轨迹法仿真根据系统模型，采用根轨迹法设计一个控制器对于传递函数5250300.0311s77.8421sG20.)(的系统，设计控制器，使得校正后系统达到以下指标：调整时间2s(%2)0ts.；最大超调量%10Mp；稳态误差=2%；步骤如下：1)确定闭环期望极点ds的位置，由最大超调量21pMe10(/)%可以得到：=0.591；近似取0.6；由cos()；可以得到：=0.938(弧度)。性能指标与根轨迹关系图3又有：2s04tns.可以得到：3383nω=.，于是可以得到期望的闭环极点为：3383.(cos()jsin())2)未校正系统的根轨迹不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为：cccccTs+1ks-zG(s)=k=αTs+1αs-p)(13)计算超前校正装置应提供的相角，已知期望的闭环主导极点和系统原来的极点的相角和为：-1-1d33.8321Sin(θ)33.8321Sin(θ)G(s)=-tan-tan33.8321Cos(θ)-31.329133.8321Cos(θ)+31.3291=-3.803因此校正装置提供的相角为：31438030661.(.).4)设计超前校正装置，已知：=0.938对于最大的值的角度可由下式计算得到：)(21磁悬浮根轨迹计算图所以有：10.7712()按最佳确定法作图规则，在上图中画出相应的直线，求出超前校正装置的零点和极点，分别为：cz2376.，cp4805.校正后系统的开环传递函数为：ccok(s+23.76)2502.96G(s)G(s)=αs+48.05s+31.33s-31.335)由幅值条件cdodG(s)G(s)=1，得0495.；0308ck.6)系统的校正后开环传递函数4co(s+23.76)2502.96G(s)G(s)=0.622s+48.05s+31.33s-31.33校正后系统的根轨迹如下图所示：校正后的根轨迹图从图中可以看出，系统的三条根轨迹都有位于左半平面的部分，选取适当的K就可以稳定系统。系统的阶跃响应如下所示：根轨迹校正后的阶跃响应可以看出，系统有较好的稳定性，但系统存一定的稳态误差，并且误差过大，为使系统瞬态响应满足要求，可以采用直接对系统增加零点和极点的方法：系统阶跃响应如下：5超前滞后控制器下的系统阶跃响应针对磁悬浮系统，利用simulink搭建仿真结构框图如下：simulink仿真框图分别连接开关，利用示波器可以看到两种控制器下的效果图：超前滞后控制器下的系统阶跃响应6根轨迹校正后的阶跃响应附仿真程序如下：clear;t=0:0.01:1;s=tf('s');G1=0.622*(s+23.76)/(s+48.05)*2502.96/((s+31.33)*(s-31.33));G2=0.991*(s+23.424)/(s+48.8648)*2502.96/((s+31.33)*(s-31.33));G3=1*(s+23.424)*(s+1)/((s+48.8648)*(s+0.3))*2502.96/((s+31.33)*(s-31.33));figure(1);rlocus(G1);G22=G2/(1+G2);G33=G3/(1+G3);figure(2);step(G22,t)gridon;figure(3);step(G33,t)gridon;7四、频率法仿真依系统模型，采用频率法设计一个超前校正控制器，单位负反馈系统，其开环传递函数为：5250300.0311s77.8421sG20.)(设计控制器Gc(s)，使得系统的静态位置误差常数为2%，相位裕量为50°，增益裕量等于或大于10分贝。控制器设计如下：1)选择控制器，由系统的Bode图系统oG的Bode图可以看出，给系统增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为：cccTs+1ks+1/TGS=k=αTs+1αs+1/Tα已校正系统具有开环传递函数coc2Τs+177.8421G(S)G(S)=kαΤs+10.0311s-30.52502)根据稳态误差要求计算增益公式pcoC2s?0s?0Ts+1/77.8421K=limG(s)G(s)==limkαΤs+10.0311s-30.5250可以得到：c1-Δk==0.3082.55Δ，Δ=0.568于是有1277.840.308G(s)=0.0311s-30.52503)在MATLAB中分别画出1G(s)的Bode图和Nyquist图1G(s)的Bode图1G(s)的Nyquist图4)可以看出，系统的相位裕量为0°，根据设计要求，需要增加的相位裕量为50°，增加超前校正装置会改变Bode图的幅值曲线，必须对增益交界频率增加所造成的1G(s)的相位滞后增量进行补偿。假设需要的最大相位超前量m近似等于55°。因为m1sin1，公式计算可以得到：0133.5)确定了衰减系统，就可以确定超前校正装置的转角频率T1/和9T)1/(，可以看出，最大相位超前角m发生在两个转角频率的几何中心上，即T)1/(，在T)1/(点上，由于包含1)Ts1)/((Ts项，所以幅值的变化为：又20log1876/.db并且)(jG1=－8.76分贝对应于3269.rad/s，我们选择此频率作为新的增益交界频率c，这一频率相应于T)1/(，即T)1c/(，于是c11921.Tc8964.1αT6)于是校正装置确定为：cΤs+11s+11.92s+11.92G(s)===7.52αΤs+1αs+89.64s+89.64频率法设计的原理就是设计系统的控制器，增加系统的零极点，使系统开环Bode图的相角裕度在30度到60度之间，即可保证系统的稳定性。根据设计后的频率法控制器，用程序进行仿真，增加校正后系统的Bode图如下：控制器后的磁悬浮Bode图从Bode图中可以看出,系统具有要求的相角裕度和幅值裕度，因此校正后的系统稳定。得到系统的单位阶跃响应如下：1j11j1Tj1Tj1T1)/(10频率响应方法校正后系统的单位阶跃响应增加控制器增益时，系统响应稳态误差减小，如下图。校正后系统的单位阶跃响应(控制器增益取10)增加控制器零点的模时，系统响应速度变快，但超调增大，如下图。校正后系统的单位阶跃响应(控制器零点取-20)增加控制器极点的模时，系统震荡次数减少，但超调增大，如下图。11校正后系统的单位阶跃响应(控制器极点取-100)利用simulink搭建仿真框图如下：Simulink仿真框图分别配置加入不同的控制器可以得到：加入控制器的系统阶跃响应12配置不同零极点控制的阶跃响应附仿真程序如下：clear;t=0:0.01:1;s=tf('s');G0=77.84/(0.0311*s^2-30.5250);G1=0.308*77.84/(0.0311*s^2-30.5250);G2=7.52*(s+11.92)/(s+100)*77.84/(0.0311*s^2-30.5250);figure(1);bode(G0);figure(2);bode(G1);figure(3);nyquist(G1);figure(4);bode(g2);G22=G2/(1+G2);figure(5);step(G22,t);gridon;