2012高二下学期期中文科数学测试题(选修1-2、选修4-4综合测试题)

1依兰县高级中学2011-2012学年度下学期期中考试高二数学试题（文科）考试时间120分钟，满分150分一、选择题（共12道题，每题5分，共60分）1．复数设i为虚数单位，则5－i1＋i＝()A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3i2．已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程为axby必过点()A.(2,2)B.(1.5,4)C.(1.5,0)D.(1,2)3.实数系的结构图为右图所示其中1、2、3三个方格中的内容分别为()A.有理数、整数、零B.有理数、零、整数C.零、有理数、整数D.整数、有理数、零4.用反证法证明命题“220,0(abaa若则、b全为、bR)”,其反设正确的是()A.0ab、至少有一个为B.0ab、至少有一个不为C.0ab、全不为D.0ab、中只有一个为5.若复数iaaaz)3()32(2为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）A．3B．3或1C．3或1D．16.设有一个回归方程为y=2－3x，变量x增加1个单位时，则y平均()A.增加2个单位B.减少2个单位C.增加3个单位D.减少3个单位7．设点P对应的复数为i33，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可能为()A.(3，43)B.(3，45)C.(23，43)D.(23,45)8.极坐标系中，以（9，3）为圆心，9为半径的圆的极坐标方程为()A.）（-3cos18B.）（-3cos18C.）（-3sin18D.）（-3cos99.曲线sin4cos5yx(为参数)的焦距是()A.3B.6C.8D.1010．在同一坐标系中，将曲线xy3sin2变为曲线xysin的伸缩变换是（）''23.Ayyxxyyxx23.B''yyxx213.C''''213.Dyyxx11．若实数yx、满足：221169xy，则x+y+10的取值范围是()A．[5,15]B．[10,15]C．[-15,10]D．[-15,35]12．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4。给出如下四个结论：①2013∈[3]②－3∈[2]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”。其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4二、填空题（共4道题，每题5分，共20分）13.计算：12|3＋4i|－10（i2010+i2011+i2012＋i2013）＝______.（其中i为虚数单位）14．曲线8cos7sin62222关于直线4对称的曲线的极坐标方程是.15．圆锥曲线为参数tan4sec3yx的离心率是.16.半径为r的圆的面积2()Srr,周长()2Crr，若将r看作(0,＋∞)上的变量，则有○1:2()2rr，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子：（已知球的体积公式为：343VR球）考场：座位号：班级：姓名：2三、解答题（共6道题，共70分）17.（本题满分12分）（1）把下列的极坐标方程化为直角坐标方程(并说明对应的曲线)：○1sin2cos4○224cos）（（2）把下列的参数方程化为普通方程（并说明对应的曲线）：○3为参数）（sec3ytan4x○4为参数）（7-cosysinx218.（本题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x(℃)101113128发芽y(颗)2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，剩下的2组数据用于回归方程检验．回归直线方程参考公式：1221niiiniixynxybxnx,xbyaˆˆ（1）若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程axby；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？（3）请预测温差为14℃的发芽数。19.（本题满分12分）（1）已知：实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求证：a、b、c中至少有一个数不大于31.（2）已知：实数a、b、c满足a＋b＋c＝2013，求证：a、b、c中至少有一个数不小于671.（3）根据（1）（2）请猜想一般性的结论并证明。20．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为4cos4sinxy（为参数），直线l经过点P（2,2），倾斜角3。（1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程；（2）设l与圆C相交于A、B两点，求||||PAPB的值。21.（本题满分12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f(n)个小正方形.（Ⅰ）求出f(5)；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出1)f(n与f(n)的关系式，（Ⅲ）根据你得到的关系式求f(n)的表达式.22.（本题满分12分）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为x3cosysin（为参数）．（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，2π），判断点P与直线l的位置关系；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最值．（Ⅲ）请问是否存在直线m，m∥l且m与曲线C的交点A、B满足43AOBS；若存在请求出满足题意的所有直线方程，若不存在请说明理由。考场：座位号：班级：姓名：3依兰县高级中学2011-2012学年度下学期期中考试高二数学（文科）参考答案一、选择题（共12道题，每题5分，共60分）题号123456789101112答案CBABDDCABCAD二、填空题（共4道题，每题5分，共20分）13.6014.8sin7cos6222215.3516.32443RR（）＝三、解答题（共6道题，第20题10分，其余每题12分，共70分）17.（1）○151y2x22）（）（…………2分表示的曲线为圆。………………………………3分○2x+y=2………………………………5分表示的曲线为直线………………………………6分（2）○314x9y22………………………………8分表示的曲线为双曲线……………………………9分○46-xy2(）（1x1-………………………11分表示的曲线为抛物线的一部分。……………………12分18.(1)由数据求得，x＝12，y＝27，………………2分由公式求得．b^＝52，a^＝y－b^x＝－3.…………………4分所以y关于x的线性回归方程为y^＝52x－3.…………………6分(2)当x＝10时，y^＝52×10－3＝22，|22－23|2；当x＝8时，y^＝52×8－3＝17，|17－16|2.所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的．…………………10分（3）当x=14时，有y^＝52x－3=35-3=32所以当温差为14℃的发芽数约为32颗。………………12分19.解析：（1）假设a、b、c都大于31，则a＋b＋c1，这与已知a＋b＋c＝1矛盾．故a、b、c中至少有一个不大于31。………………………3分（2）假设a、b、c都小于671，则a＋b＋c2013，这与已知a＋b＋c=2013矛盾．故a、b、c中至少有一个不小于671。……………………6分(3)猜想:实数a、b、c满足a＋b＋c＝d，则a、b、c中至少有一个数不大于3d且至少有一个不小于3d.…………9分证明:一方面:假设a、b、c都大于3d，则a＋b＋cd，这与已知a＋b＋c＝d矛盾．故a、b、c中至少有一个不大于3d。另一方面:假设a、b、c都小于3d，则a＋b＋cd，这与已知a＋b＋c=d矛盾．故a、b、c中至少有一个不小于3d。…………………12分即猜想的结论成立.20.（Ⅰ）圆的标准方程为2216xy.直线l的参数方程为2cos32sin3xtyt，即122322xtyt（t为参数）………………5分（Ⅱ）把直线的方程122322xtyt代入2216xy，………………6分得2213(2)(2)1622tt，22(31)80tt，…………8分所以128tt，即=8PAPB．………………10分21.解：（Ⅰ）f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,………………………2分4f(5)=25+4×4=41.……………………………4分（Ⅱ）f(2)-f(1)=4=4×1.f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,………………………6分由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.……………………………………………………8分f(2)-f(1)=4×1,f(3)-f(2)=4×2,f(4)-f(3)=4×3,f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),f(n)-f(n-1)=4·(n-1)……………………………10分f(n)-f(1)=4[1+2+…+（n-2）+（n-1)]=2(n-1)·n,f(n)=2n2-n+1………………………………12分22.本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。解：（I）把极坐标系下的点(4,)2P化为直角坐标，得P（0，4）。……2分因为点P的直角坐标（0，4）满足直线l的方程40xy，所以点P在直线l上.………………………4分（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(3cos,sin)，……5分从而点Q到直线l的距离为2cos()4|3cossin4|62cos()22622d，…6分由此得，当cos()16时，d取得最小值，且最小值为2.当时，d取得最大值，且最大值为32.……8分（Ⅲ）设l平行线m方程：x-y+n=0……9分243n-32AB，由弦长公式得椭圆与直线方程联立再设O到直线m的距离为d，则2nd……………………10分2n43n-3221dAB2143S2AOB1n3n或经验证均满足题意所以满足题意直线m有4条，方程为：，，01y-x03y-x…12分