二项式定理知识归纳与总结

新东方优能中学1二项式定理重点、难点解析：1．熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律：二项式定理:*222110,)(NnbCbaCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnnnn,),,2,1,0(nrCrn叫二项式系数（0≤r≤n）.通项用1rT表示，为展开式的第r+1项，且1rT＝rrnrnbaC,注意项的系数和二项式系数的区别.2．掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式.①②),,2,1,0(nrCrn先增后减.n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为2nnC；n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为.③nnrnnnnnCCCCC210)11(.即各二项式系数的和为n2.131202nnnnnCCCC3．二项式从左到右使用为展开，从右到左使用为化简，从而可用来求和或证明.掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想.一、求二项式展开式中指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式1rT，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。1.求常数项例1（2006山东卷）已知(xx12)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为143，则展开式中常数项是（）(A)－1(B)1(C)－45(D)452.求有理项例2已知*41(),2nxnNx的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。新东方优能中学23.求幂指数为整数的项例3（2006年湖北卷）在2431()xx的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有（）A．3项B．4项C．5项D．6项4.求系数最大的项例4已知*41(),2nxnNx的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。例5（2005年湖北卷）5)212(xx的展开式中整理后的常数项为.例6（2005年浙江卷）在8765)x1()x1()x1()x1(展开式中，含3x的项的系数是（）A.74B.121C.－74D.－121三、求展开式中某一项的二项式系数或系数此类问题仍然是利用二项式的通项公式1rT来加以求解，但在解题中要注意某一项的二项式系数与系数的区别。例7（2006年北京卷））在72()xx的展开式中,2x的系数是________（用数字作答）例8在多项式nnnnnnxCxCxCxCxf)1(...)1()1()1()(33221的展开式中，含6x项的系数为.新东方优能中学3四、求展开式中的系数和在涉及到求展开式中所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和的问题时，通常可以根据题目的结构特征，选择“赋值法”来加以解决。例8（2004年天津卷）若）（Rxxaxaxaa)x21(2004200422102004，则)aa()aa()aa()aa(20040302010=______________（用数字作答）。五、近似计算、证明整除及求余数问题近似计算要首先注意精确度，然后选取展开式中前几项进行计算。用二项式定理证明整除及求余数问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式来展开，常采用“配凑法”，“消去法”，结合整除的有关知识来解决。例9（2002年全国卷）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（）A.115000亿元B.120000亿元C.127000亿元D.135000亿元例109291除以100的余数是___________。习题：1.已知),()21()21()(Nnmxxxfnm的展开式中含x项的系数为24，求展开式中含2x项的系数的最小值.2．（湖北理1文3）如果2323nxx的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）Ａ．3Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．103.（湖南文5）在1nxnN的二项展开式中，若只有5x的系数最大，则n()A．8B.9C.10D.11新东方优能中学44．(江西理4)已知33nxx展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）Ａ．4Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．75.（全国1理10）21()nxx的展开式中，常数项为15，则n=()A．3B．4C．5D．66.（辽宁文14）841()xx展开式中含x的整数次幂的项的系数之和为7.（全国2，理7）．64(1)(1)xx的展开式中x的系数是8.（重庆文）若(x+12x)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为(A)6(B)7(C)8(D)99.（辽宁卷文15）已知231(1)nxxxx的展开式中没有．．常数项，n*N，且2≤n≤8，则n=______．10.（湖北，文13）记nxx)12(的展开式中第m项的系数为mb，若432bb，则n=__________.11.（湖南，文15）．设x表示不超过x的最大整数，（如145,22）。对于给定的Nn,定义,,1,)1()1()1()2)(1(xxxxxxnnnnCxn则328C________;当3,2x时，函数xC8的值域是____________________新东方优能中学512.（江西文6）．若122nnnnnCxCxCx能被7整除，则,xn的值可能为()A．4,3xnB．4,4xnC．5,4xnD．6,5xn13.（2009陕西卷文9）若20092009012009(12)()xaaxaxxR,则20091222009222aaa的值为()（A）2（B）0（C）1(D)212.（湖北，文11）.已知5255(1)110...axxbxax,则b=.13.（2009全国卷Ⅱ理13）4xyyx的展开式中33xy的系数为14.(2009湖南卷理)在3333(1)(1)(1)xxx的展开式中，x的系数为___15.（2009江西卷理7）(1)naxby展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则,,abn的值可能为()A．2,1,5abnB．2,1,6abnC．1,2,6abnD．1,2,5abn.