武大12-13第2学期高数B2试卷及解答

!!武汉大学2012-2013学年第二学期期末考试高等数学B2（A卷答题卡）四、（9分）计算二重积分22max{,}dd,xyDexy∫∫，其中{(,)|01,01}.Dxyxy=≤≤≤≤。考生学号姓名班级!0000000000000!1111111111111五、（9分）求三重积分IzdvΩ=∫∫∫，其中Ω是由平面2xyz++=与三个坐标平面围成的区域。!注意事项1.答题前，考生先将自己的姓名、学号填写清楚，并填涂相应的考号信息点。2.解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔作解答题：字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卷面清洁，不要折叠、不要弄破。2222222222222!3333333333333!4444444444444!5555555555555!6666666666666!7777777777777!8888888888888!9999999999999一、（9分）已知三个向量,,,abc其中,,acbc⊥⊥又a与b的夹角为,3π且||2,||1,||3,abc===求().abc×⋅六、（9分）已知2()d[()1]dCxyyxyxxϕϕ++∫在全平面上与路径无关，其中()xϕ具有连续的一阶导数，并当C是起点在()0,0，终点为()1,1的有向曲线时，该曲线积分值为1/2，试求函数()xϕ．二、（9分）求AB,，使平面π:AxByz++−=670与直线lxyz:−=+−=+425413垂直。三、（9分）设()yxzz,=是由方程()222[]xyzxyzϕ−=−+−所确定的函数，其中ϕ具有二阶导数，且1ϕ′≠−，求（1）dz；（2）记()1,zzuxyxyxy∂∂=−+∂∂，求ux∂∂。七、（9分）计算曲面积分()dxyzSS+∫∫，其中S为锥面22zxy=+在柱体222xyx+≤内的部分。1!!!八、（7分）试求幂级数111(1)4nnnnxn−∞+=−⋅∑的收敛域及和函数()Sx.十一、（8分）试在曲面S:22221xyz++=上求一点，使得函数222),,(zyxzyxf++=沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)的方向导数具有最大值。!九、（9分）求曲面2222321xyz++=上平行于平面460xyz++=的切平面方程。十、（7分）设函数zzyxu32121344−++=，求向量场ugradA=穿过曲面S流向外侧的通量，其中S是曲面221zxy=−−)0(≥z的上侧。十二、（6分）设正项数列{}na单调减少，且1(1)nnna∞=−∑发散，试问级数111nnna∞=+∑是否收敛？并说明理由。2!!武汉大学数学与统计学院2012-2013学年二学期《高等数学B2》期末试卷(A卷)参考解答一、（9分）解：首先3||||||sin(,),2ababab×==而,acbc⊥⊥可知,cab×所以cab×与的夹角为0或π，所以333()||||cos(,)=31=22abcabcabc×⋅=××××±±（）二、（9分）解π法向量为nAB={,,}6，l方向向量为S=−{,,}243，l与π垂直，nS//，故AB2463=−=，解得：AB==−48,三、（9分）解(1)()()xdxydydzxyzdxdydzϕ′−=−+−⋅+−，()()1xdxydydzϕϕϕ′′++−=′+,(2)1()zzxyxyxyzϕ∂∂+−=′∂∂++−,()11,1()zzuxyxyxyxyzϕ∂∂=−=′+∂∂++−223(1)(1)(12)1(1)(1)(1)xzuxxxϕϕϕϕϕϕϕϕϕ′+∂′′−+′′−+′′′′∂−+++∂===′′′∂+++四、（9分）解：因为2222,max{,},(,),,xxyxyxyDyxy≥=∈≤于是用yx=将区域分成两块：22222121110002221xyxxxxDDDIedxdyedxdyedxdydxedyxedxe=+====−∫∫∫∫∫∫∫∫∫五、（9分）22200023xxyzdvdxdyzdz−−−Ω==∫∫∫∫∫∫六、（9分）解由xQyp∂∂=∂∂，得()2[()1]xyxyxϕϕ′=+，21ln[()1]xxCϕ+=+,即221()11xCxxeCeϕ+=−=−，所以有22(1,1)2(0,0)1(1)2xxCeydyCxyedx−+=∫22(1,1)2(0,0)(1)xxCeydyCxyedx−+∫=101-1)(1)2CeydyCe=−∫(.故有(1)1Ce−=，即2Ce=所以有21()21xxeϕ−=−七、（9分）解：dxdydxdyyxyyxxdS21222222=++++=，因为积分区域关于xoz平面对称，xy关于y是奇函数，所以()IxyzdSzdSSS=+=∫∫∫∫222xyDxydxdy=+∫∫2cos2202drdrπθπθ−=∫∫320822cos3dπθθ=∫3229=八、（7分）解1141limlim(1)44nnnnnnanan++→∞→∞⋅==+⋅,∴收敛半径为4R=,当4x=−时,14nn∞=∑发散;试卷答案第1页（共2页）当4x=时,11(1)4nnn−∞=−⋅∑收敛，收敛域为(4,4]−,设11111(1)()(1)44nnnnnnnnxSxxxnn−∞∞+−==−==−⋅⋅∑∑1110011[(1)][(1)()]444nxxnnnnnntxtxdtdtn∞∞−−−==′=−=−⋅∑∑∫∫01ln(1)4414xxxdtxt==++∫,(4,4]x∈−九、（9分）解：设切点000(,,)Pxyz,由已知条件得：000246:146xyzλ===，得到0001,,,2xyzλλλ===代入曲面方程解得2,λ=±0001,2,2.xyz=±=±=±切平面方程为(1)4(2)6(2)0xyz±+±+±=,即4621xyz++=±十、（7分）解：,dd)1(3dd2dd2233∫∫−++Syxzxzyzyx不封闭：)0(122≥−−=zyxzS补充下侧，)1(0:221≤+=yxzS则.1封闭，取外侧SS+()]dd)1(3dd2dd2[dd)1(3dd2dd211233S233∫∫∫∫∫∫−++−=−++=+SSSyxzxzyzyxyxzxzyzyxI由高斯公式，得zyxzyxyxzxzyzyxSddd)(6dd)1(3dd2dd222S2331++=−++∫∫∫∫∫Ω+π2d)(dd6210210π20=+=∫∫∫−zzρρρθρ22133212dd2dd3(1)dd(3)dd3πSxyxyzyzxzxyxy+≤++−=−−=∫∫∫∫而因此2π3ππI=−=−十一、（8分）解：由曲面S的方程为12222=++zyx，给定的方向)0,21,21(0−=l方向导数函数)(2coscoscosyxzfyfxflf−=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα设)12()(2222−+++−=zyxyxLλ，令=++==∂∂=+−=∂∂=+=∂∂1202022042222zyxzzLyyLxxLλλλ,解之得==−=02242zyxλλ23±=λ,23=λ，得S上的点为)0,36,66(−，此时3−=∂∂lf23−=λ，得S上的点为)0,36,66(−，此时3=∂∂lf,所以，所求的S上的点为)0,36,66(−十二、（6分）解：因为{}na单调下降且有下界0，所以lim0.nnaa→∞=≥若0,a=由莱布尼茨法则交错级数1(1)nnna∞=−∑收敛，与假设矛盾，所以0.a因此由根值判别法，11lim1,11nnnnaa→∞=++所以原级数收敛。试卷答案第2页（共2页）